Нильпотентная матрица

В линейной алгебре нильпотентной матрицей называется квадратная матрица N такая, что

$N^{k}=0\,$

для некоторого положительного целого числа $k$. Самый маленький такой $k$ называется индексом ​ $N$, иногда степень ​ $N$.

В более общем смысле нильпотентное преобразование — это линейное преобразование. $L$ векторного пространства такого, что $L^{k}=0$ для некоторого положительного целого числа $k$ (и поэтому, $L^{j}=0$ для всех $j\geq k$). Обе эти концепции являются частными случаями более общего понятия нильпотентности , применимого к элементам колец .

Примеры

Пример 1

Матрица

$A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

нильпотентен с индексом 2, так как $A^{2}=0$.

Пример 2

В более общем смысле любой $n$-мерная треугольная матрица с нулями на главной диагонали нильпотентна, с индексом $\leq n$ . Например, матрица

$B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

нильпотентен, причем

$B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

Индекс $B$ следовательно, 3.

Пример 3

Хотя в приведенных выше примерах имеется большое количество нулевых элементов, в типичной нильпотентной матрице их нет. Например,

$C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

хотя в матрице нет нулевых элементов.

Пример 4

Кроме того, любые матрицы вида

${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}$

такой как

${\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}$

или

${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}$

квадрат к нулю.

Пример 5

Возможно, одними из наиболее ярких примеров нильпотентных матриц являются $n\times n$ квадратные матрицы вида:

${\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}$

Первые несколько из них:

${\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots$

Эти матрицы нильпотентны, но в любой из степеней, меньших индекса, нет нулевых элементов.

Пример 6

Рассмотрим линейное пространство многочленов ограниченной степени. Оператор производной представляет собой линейное отображение. Мы знаем, что применение производной к многочлену уменьшает его степень на единицу, поэтому при итеративном применении мы в конечном итоге получим ноль. Следовательно, на таком пространстве производная представима нильпотентной матрицей.

Характеристика

Для $n\times n$ квадратная матрица $N$ с действительными (или комплексными ) записями следующие действия эквивалентны:

• $N$ является нильпотентным.
• Характеристический полином для $N$ является $\det \left(xI-N\right)=x^{n}$.
• Минимальный полином для $N$ является $x^{k}$ для некоторого положительного целого числа $k\leq n$.
• Единственное комплексное собственное значение для $N$ равен 0.

Последняя теорема справедлива для матриц над любым полем характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср. тождества Ньютона )

Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:

• Индекс $n\times n$ нильпотентная матрица всегда меньше или равна $n$. Например, каждый $2\times 2$ нильпотентную матрицу приравниваем к нулю.
• Определитель . и след нильпотентной матрицы всегда равны нулю Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимой .
• Единственная нильпотентная диагонализуемая матрица — это нулевая матрица.

См. также: Разложение Жордана – Шевалле # Критерий нильпотентности .

Классификация

Рассмотрим $n\times n$ (верхняя) матрица сдвига :

$S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

Эта матрица имеет единицы вдоль супердиагонали и нули повсюду. В качестве линейного преобразования матрица сдвига «сдвигает» компоненты вектора на одну позицию влево, при этом в последней позиции появляется ноль:

$S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).$

Эта матрица нильпотентна со степенью $n$, – каноническая нильпотентная матрица.

В частности, если $N$ — любая нильпотентная матрица, то $N$ аналогична блочно матрице -диагональной вида

${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$

где каждый из блоков $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}$— матрица сдвига (возможно, разных размеров). Эта форма является частным случаем жордановой канонической формы матриц.

Например, любая ненулевая нильпотентная матрица размера 2 × 2 аналогична матрице

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

То есть, если $N$ — любая ненулевая нильпотентная матрица размера 2 × 2, то существует базис b ₁ , b ₂ такой, что N b ₁ = 0 и N b ₂ = b ₁ .

Эта классификационная теорема справедлива для матриц над любым полем . (Поле не обязательно должно быть алгебраически замкнутым.)

Флаг подпространств

Нильпотентное преобразование $L$ на $\mathbb {R} ^{n}$ естественным образом определяет флаг подпространств

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$

и подпись

$0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$

Подпись характеризует $L$ до обратимого линейного преобразования . Кроме того, оно удовлетворяет неравенствам

$n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.$

И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является признаком нильпотентного преобразования.

Дополнительные свойства

• Если $N$ нильпотентен относительно индекса $k$ , затем $I+N$ и $I-N$ обратимы , где $I$ это $n\times n$ единичная матрица . Обратные значения определяются выражением

  ${\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots +(-N)^{k}\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots +N^{k}\\\end{aligned}}$

• Если $N$ нильпотентен, то
  $\det(I+N)=1.$

  И наоборот, если $A$ представляет собой матрицу и

  $\det(I+tA)=1\!\,$

  для всех значений $t$, затем $A$является нильпотентным. Фактически, поскольку $p(t)=\det(I+tA)-1$ является полиномом степени $n$, этого достаточно для $n+1$ отдельные ценности $t$.
• Любую сингулярную матрицу можно записать как произведение нильпотентных матриц.
• Нильпотентная матрица является частным случаем сходящейся матрицы .

Обобщения

оператор Линейный $T$ , локально нильпотентна если для любого вектора $v$, существует $k\in \mathbb {N}$ такой, что

$T^{k}(v)=0.\!\,$

Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.

Ссылки

• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN  0-395-14017-Х
• Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), John Wiley & Sons
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646

Внешние ссылки

• Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование в PlanetMath .