Блочное разложение LU

В линейной алгебре блочное разложение представляет собой матричное разложение блочной матрицы на нижнюю блочную треугольную матрицу L и верхнюю блочную треугольную матрицу U. LU - Это разложение используется в численном анализе , чтобы уменьшить сложность формулы блочной матрицы.

Блочное разложение LDU

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix}}$

Блочное разложение Холецкого

Рассмотрим блочную матрицу :

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\CA^{-1}\end{pmatrix}}\,A\,{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}},$

где матрица ${\begin{matrix}A\end{matrix}}$ предполагается неособым, ${\begin{matrix}I\end{matrix}}$ является единичной матрицей правильной размерности, и ${\begin{matrix}0\end{matrix}}$ матрица, все элементы которой равны нулю.

Мы также можем переписать приведенное выше уравнение, используя полуматрицы:

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}\\CA^{-{\frac {*}{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}},$

где Шура дополнение ${\begin{matrix}A\end{matrix}}$в блочной матрице определяется выражением

${\begin{matrix}Q=D-CA^{-1}B\end{matrix}}$

а полуматрицы можно рассчитать с помощью разложения Холецкого или разложения ЛПНП .Полуматрицы удовлетворяют этому

${\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{\frac {*}{2}}=A;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{-{\frac {1}{2}}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{-{\frac {*}{2}}}\,A^{\frac {*}{2}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}Q^{\frac {1}{2}}\,Q^{\frac {*}{2}}=Q.\end{matrix}}$

Таким образом, мы имеем

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=LU,$

где

$LU={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.$

Матрица ${\begin{matrix}LU\end{matrix}}$ можно алгебраически разложить на

$L={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\mathrm {~~and~~} U={\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.$

См. также

• Разложение матрицы