Основная диагональ

В линейной алгебре — главная диагональ (иногда главная диагональ , основная диагональ , главная диагональ , большая диагональ или хорошая диагональ ) матрицы . $A$ это список записей $a_{i,j}$ где $i=j$. все недиагональные элементы равны нулю В диагональной матрице . Главные диагонали следующих четырех матриц обозначены красным:

$${\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\\0&0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad$$

Квадратные матрицы

Для квадратной матрицы диагональ ) — это (или главная диагональ или главная диагональ диагональная линия элементов, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу. Для матрицы $A$ с индексом строки, указанным $i$ и индекс столбца, указанный $j$, это будут записи $A_{ij}$ с $i=j$. Например, единичную матрицу можно определить как имеющую элементы 1 на главной диагонали и нули в других местах:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

След матрицы — это сумма диагональных элементов.

Диагональ от верхнего правого до нижнего левого иногда называют малой диагональю или антидиагональю .

Внедиагональные записи — это те , которые не находятся на главной диагонали. — Диагональная матрица это матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю.

Супердиагональный вход — это вход , расположенный непосредственно над и справа от главной диагонали. Точно так же, как диагональные записи - это те $A_{ij}$ с $j=i$, супердиагональные записи - это те, у которых $j=i+1$. Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат на супердиагонали:

${\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

Аналогично, поддиагональная запись — это запись, которая находится непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть запись $A_{ij}$ с $j=i-1$. Общие диагонали матрицы могут быть заданы индексом $k$ измеряется относительно главной диагонали: главная диагональ имеет $k=0$; супердиагональ имеет $k=1$; субдиагональ имеет $k=-1$; и вообще, $k$-диагональ состоит из записей $A_{ij}$ с $j=i+k$.

— Полосатая матрица это матрица, для которой ее ненулевые элементы ограничены диагональной полосой. имеет Трехдиагональная матрица ненулевые только элементы главной диагонали, супердиагонали и поддиагонали.

Антидиагональный

См. Также: Антидиагональная матрица.

Антидиагональ , (иногда противодиагональ , вторичная диагональ (*), конечная диагональ второстепенная диагональ , недиагональ или плохая диагональ ) ордера. $N$ квадратная матрица $B$ это коллекция записей $b_{i,j}$ такой, что $i+j=N+1$ для всех $1\leq i,j\leq N$. То есть он проходит от верхнего правого угла до нижнего левого угла.

${\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}$

(*) Второстепенные (а также конечные , второстепенные и выключенные ) диагонали очень часто также означают (также известные как k -я) диагонали, параллельные главной или главной диагонали т.е. , $A_{i,\,i\pm k}$ для некоторого ненулевого k = 1, 2, 3, ... В более общем и универсальном смысле недиагональные элементы матрицы - это все элементы, не находящиеся на главной диагонали, т. е . с разными индексами i ≠ j .

См. также

• След

Ссылки

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN   70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN   66021267
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646
• Вайсштейн, Эрик В. «Главная диагональ» . Математический мир .