Квадратная матрица

Квадратная матрица порядка 4. Элементы $a_{ii}$образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4×4 содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .

В математике квадратная матрица — это матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. Матрица n x размера n известна как квадратная матрица порядка $n$. Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и перемножать.

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований , таких как сдвиг или вращение . Например, если $R$ — квадратная матрица, представляющая вращение ( матрица вращения ) и $\mathbf {v}$ - вектор-столбец , описывающий положение точки в пространстве, произведение $R\mathbf {v}$дает другой вектор-столбец, описывающий положение этой точки после этого поворота. Если $\mathbf {v}$ является вектором-строкой , то же преобразование можно получить, используя $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, где $R^{\mathsf {T}}$ это транспонирование ​ $R$.

Основная диагональ

Основная статья: Основная диагональ

Записи $a_{ii}$( i = 1,..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей из верхнего левого угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4×4 содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 .

Диагональ квадратной матрицы, идущая от правого верхнего угла к левому нижнему, называется антидиагональю или контрдиагональю .

Особые виды

Имя	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Нижняя треугольная матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Верхняя треугольная матрица	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Диагональная или треугольная матрица

Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, $A$называется диагональной матрицей . Если все записи ниже (соответственно выше) главной диагонали равны нулю, $A$ называется верхней (соответственно нижней) треугольной матрицей .

Матрица идентичности

Матрица идентичности $I_{n}$ размера $n$ это $n\times n$ матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, например

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

Это квадратная матрица порядка $n$, а также особый вид диагональной матрицы . Термин единичная матрица относится к свойству умножения матриц, которое

$$I_{m}A=AI_{n}=A$$

для любого $m\times n$ матрица $A$.

Обратимая матрица и ее обратная

Квадратная матрица $A$ называется обратимым или неособым, если существует матрица $B$ такой, что

$$AB=BA=I_{n}.$$

Если $B$ существует, она единственна и называется обратной матрицей $A$, обозначенный $A^{-1}$.

Симметричная или кососимметричная матрица

Квадратная матрица $A$ что равно его транспонированию, т. е. $A^{\mathsf {T}}=A$, является симметричной матрицей . Если вместо этого $A^{\mathsf {T}}=-A$, затем $A$ называется кососимметричной матрицей .

Для сложной квадратной матрицы $A$, часто подходящим аналогом транспонирования является сопряженное транспонирование $A^{*}$, определяемый как транспонирование комплексно-сопряженного числа $A$. Сложная квадратная матрица $A$ удовлетворяющий $A^{*}=A$называется эрмитовой матрицей . Если вместо этого $A^{*}=-A$, затем $A$ называется косоэрмитовой матрицей .

По спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т. е. каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны.

Определенная матрица

Положительно определенный	Бессрочный
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q ( Икс , У ) = 1/4 Икс 2 + и 2	Q ( Икс , У ) = 1/4 Икс 2 − 1/4 и 2
Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Эллипс ).	Точки такие, что Q ( x , y ) = 1 ( Гипербола ).

Симметричная n × n -матрица называется положительно определенной (соответственно отрицательно определенной; неопределенной), если для всех ненулевых векторов $x\in \mathbb {R} ^{n}$ соответствующая квадратичная форма, заданная формулой

$$Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x}$$

принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, то симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица является неопределенной именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. В таблице справа показаны две возможности для матриц 2×2.

Разрешение в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A :

$$B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .$$

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормированными векторами). Эквивалентно, матрица A ортогональна, если ее транспонирование равно обратному :

$$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$$

что влечет за собой

$$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$$

где I — единичная матрица .

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратной A ⁻¹ = А ^Т ), унитарный ( А ⁻¹ = A * ) и нормальный ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Специальная ортогональная группа $\operatorname {SO} (n)$ состоит из ортогональных матриц размера n × n с определителем +1.

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица .

Нормальная матрица

Действительная или комплексная квадратная матрица $A$ называется нормальным , если $A^{*}A=AA^{*}$. Если действительная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то она нормальна. Если комплексная квадратная матрица является эрмитовой, косоэрмитовой или унитарной, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес главным образом потому, что они включают только что перечисленные типы матриц и образуют самый широкий класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема .

Операции

След

След tr ( A ) квадратной матрицы A представляет собой сумму ее диагональных элементов. Хотя умножение матриц не является коммутативным, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей:

$$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$$

Это следует из определения умножения матриц:

$$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).$$

Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т. е.

$$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$$

Определить

Основная статья: Определитель

Линейное преобразование на $\mathbb {R} ^{2}$заданной указанной матрицей. Определитель этой матрицы равен -1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию на противоположную , поскольку она меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на ориентацию по часовой стрелке.

Определитель ​ $\det(A)$ или $|A|$ квадратной матрицы $A$— число, кодирующее определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в $\mathbb {R} ^{2}$) или объём (в $\mathbb {R} ^{3}$) образа единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующего линейного отображения: определитель положителен тогда и только тогда, когда ориентация сохраняется.

Определитель матриц 2 × 2 определяется выражением

$$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$$

Определитель матриц 3×3 включает 6 слагаемых ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей:

$$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$$

Добавление кратного числа любой строки в другую строку или кратного числа любого столбца в другой столбец не меняет определитель. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. С помощью этих операций любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, причем для таких матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали; это обеспечивает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель через миноры , т. е. определители меньших матриц. Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве начального случая определитель матрицы 1×1, который является ее уникальным элементом, или даже определитель матрицы 0×0, который равен 1), который можно считается эквивалентной формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы.

Собственные значения и собственные векторы

Основная статья: Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор $\mathbf {v}$ удовлетворяющий

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$$

называются собственным значением и вектором собственным $A$, соответственно. Число λ является собственным значением n × n -матрицы A тогда и только тогда, когда − λ I _n не обратима, что эквивалентно A

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

Полином p _A от неопределенного X , заданный вычислением определителя det( XI _n − A ), называется характеристическим многочленом A . Это монический степени n . полином Следовательно, полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, т. е. собственных значений матрицы. Они могут быть сложными, даже если записи A реальны. Согласно теореме Кэли-Гамильтона , p _A ( A ) = 0 , то есть результат подстановки самой матрицы в собственный характеристический полином дает нулевую матрицу .

См. также

• Матрица Картана

Ссылки

• Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN  978-0-8247-8419-5
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру , Courier Dover Publications, ISBN  978-0-486-66434-7

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с квадратными матрицами, на Викискладе?