Полином Лорана

В математике полином Лорана (названный по Пьеру Альфонсу Лорану ) в одной переменной над полем $\mathbb {F}$ представляет собой линейную комбинацию положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами в $\mathbb {F}$. полиномы Лорана в $X$ образуют кольцо , обозначаемое $\mathbb {F} [X,X^{-1}]$. Они отличаются от обычных полиномов тем, что могут иметь члены отрицательной степени. Построение полиномов Лорана можно повторять, что приводит к кольцу полиномов Лорана от нескольких переменных. Полиномы Лорана имеют особое значение при изучении комплексных переменных .

Определение

Полином Лорана с коэффициентами в поле $\mathbb {F}$ является выражением формы

$p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F}$

где $X$ – формальная переменная, индекс суммирования $k$ целое число (не обязательно положительное) и только конечное число коэффициентов $p_{k}$ненулевые. Два полинома Лорана равны, если их коэффициенты равны. Такие выражения можно складывать, умножать и приводить к прежней форме за счет сокращения похожих членов. Формулы сложения и умножения точно такие же, как и для обычных многочленов, с той лишь разницей, что как положительные, так и отрицательные степени $X$ может присутствовать:

${\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}+{\bigg (}\sum _{i}b_{i}X^{i}{\bigg )}=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}$

и

${\bigg (}\sum _{i}a_{i}X^{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\sum _{j}b_{j}X^{j}{\bigg )}=\sum _{k}{\Bigg (}\sum _{i,j \atop i+j=k}a_{i}b_{j}{\Bigg )}X^{k}.$

Поскольку лишь конечное число коэффициентов $a_{i}$ и $b_{j}$ отличны от нуля, все суммы фактически имеют лишь конечное число членов и, следовательно, представляют собой полиномы Лорана.

Свойства

• Полином Лорана по $\mathbb {C}$ можно рассматривать как ряд Лорана , в котором лишь конечное число коэффициентов отличны от нуля.
• Кольцо полиномов Лорана $R\left[X,X^{-1}\right]$ является расширением кольца полиномов $R[X]$ полученный путем «инвертирования $X$". Более строго, это локализация кольца многочленов в мультипликативном множестве , состоящем из неотрицательных степеней $X$. Многие свойства кольца полиномов Лорана следуют из общих свойств локализации.
• Кольцо полиномов Лорана является подкольцом рациональных функций .
• Кольцо полиномов Лорана над полем нётерово (но не артиново ).
• Если $R$ — область целостности , единицы кольца полиномов Лорана $R\left[X,X^{-1}\right]$ иметь форму $uX^{k}$, где $u$ является единицей $R$ и $k$является целым числом. В частности, если $K$ является полем, то единицы измерения $K[X,X^{-1}]$ иметь форму $aX^{k}$, где $a$ является ненулевым элементом $K$.
• Кольцо полиномов Лорана $R[X,X^{-1}]$ изоморфно ​ групповому кольцу группы ​ $\mathbb {Z}$ целых чисел более $R$. В более общем смысле, кольцо полиномов Лорана в $n$ переменных изоморфно групповому кольцу свободной абелевой группы ранга $n$. Отсюда следует, что кольцо полиномов Лорана можно наделить структурой коммутативной кокоммутативной алгебры Хопфа .

См. также

• Полином Джонса

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR 1878556