Кристаллическая основа

Не путать с кристаллом (математика) .

Кристаллическая основа для изображения квантовой группы на $\mathbb {Q} (v)$- векторное пространство не является базой этого векторного пространства, а скорее $\mathbb {Q}$-база $L/vL$ где $L$ это $\mathbb {Q} (v)$-решетка в этом векторном пространстве. Кристаллические основы появились в работах Кашивары ( 1990 ), а также в работах Люстига ( 1990 ). Их можно рассматривать как специализации, т. $v\to 0$ канонического базиса , определенного Люстигом ( 1990 ).

Определение

Вследствие своих определяющих соотношений квантовая группа $U_{q}(G)$ можно рассматривать как алгебру Хопфа над полем всех рациональных функций неопределенного q над $\mathbb {Q}$, обозначенный $\mathbb {Q} (q)$.

Для простого корня $\alpha _{i}$ и неотрицательное целое число $n$, определять

${\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}$

В интегрируемом модуле $M$, и по весу $\lambda$, вектор $u\in M_{\lambda }$ (т.е. вектор $u$ в $M$ с весом $\lambda$) однозначно разлагается на суммы

$u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},$

где $u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}$, $v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}$, $u_{n}\neq 0$ только если $n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$, и $v_{n}\neq 0$ только если $n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$.

Линейные отображения ${\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M$ можно определить на $M_{\lambda }$ к

${\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},$

${\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.$

Позволять $A$ быть областью целостности всех рациональных функций в $\mathbb {Q} (q)$ которые регулярны в $q=0$ ( т.е. рациональная функция $f(q)$ является элементом $A$ тогда и только тогда, когда существуют многочлены $g(q)$ и $h(q)$ в кольце полиномов $\mathbb {Q} [q]$ такой, что $h(0)\neq 0$, и $f(q)=g(q)/h(q)$).

Кристальная основа для $M$ это упорядоченная пара $(L,B)$, такой, что

• $L$ это бесплатно $A$-субмодуль $M$ такой, что $M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;$
• $B$ это $\mathbb {Q}$-базис векторного пространства $L/qL$ над $\mathbb {Q} ,$
• $L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }$ и $B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }$, где $L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }$ и $B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),$
• ${\tilde {e}}_{i}L\subset L$ и ${\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,$
• ${\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ и ${\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,$
• ${\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.$

Если выразить это в более неформальной обстановке, то действия $e_{i}f_{i}$ и $f_{i}e_{i}$ обычно единичны в $q=0$ на интегрируемом модуле $M$. Линейные отображения ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ на модуле введены так, что действия ${\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}$ регулярно посещают $q=0$ на модуле. Существует $\mathbb {Q} (q)$-основа весовых векторов ${\tilde {B}}$ для $M$, в отношении которого действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ регулярно посещают $q=0$ для всех я . Затем модуль ограничивается бесплатным $A$-модуль, порожденный базисом и базисными векторами, $A$-субмодуль и действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ оцениваются в $q=0$. Кроме того, базис можно выбрать так, что при $q=0$, для всех $i$, ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ представлены взаимным транспонированием и отображают базисные векторы в базисные векторы или 0.

Кристаллическую основу можно представить в виде ориентированного графа с помеченными ребрами. Каждая вершина графа представляет собой элемент $\mathbb {Q}$-базис $B$ из $L/qL$и направленное ребро, помеченное i и направленное из вершины $v_{1}$ в вершину $v_{2}$, представляет собой $b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}$ (и, что то же самое, что $b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}$), где $b_{1}$ является базовым элементом, представленным $v_{1}$, и $b_{2}$ является базовым элементом, представленным $v_{2}$. Граф полностью определяет действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ в $q=0$. Если интегрируемый модуль имеет кристаллическую базу, то модуль неприводим тогда и только тогда, когда граф, представляющий кристаллическую базу, связен (граф называется «связным», если множество вершин не может быть разбито на объединение нетривиальных непересекающихся подмножеств). $V_{1}$ и $V_{2}$ такое, что нет ребер, соединяющих любую вершину в $V_{1}$ в любую вершину в $V_{2}$).

Для любого интегрируемого модуля с кристаллической основой весовой спектр для кристаллической основы такой же, как весовой спектр для модуля, и, следовательно, весовой спектр для кристаллической основы такой же, как и весовой спектр для соответствующего модуля соответствующего модуля. Алгебра Каца–Муди . Кратности весов в кристаллической основе также такие же, как и их кратности в соответствующем модуле соответствующей алгебры Каца–Муди.

Это теорема Кашивары, что каждый интегрируемый модуль старшего веса имеет кристаллическую основу. Точно так же каждый интегрируемый модуль с наименьшим весом имеет кристаллическую основу.

Тензорные произведения кристаллических оснований

Позволять $M$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой $(L,B)$ и $M'$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой $(L',B')$. Для кристаллических основ побочный продукт $\Delta$, заданный

${\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}$

принят. Интегрируемый модуль $M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'$ имеет кристаллическую основу $(L\otimes _{A}L',B\otimes B')$, где $B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}$. Для базисного вектора $b\in B$, определять

$\varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}$

$\varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}$

Действия ${\tilde {e}}_{i}$ и ${\tilde {f}}_{i}$ на $b\otimes b'$ даны

${\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}$

Разложение произведения двух интегрируемых модулей старшего веса на неприводимые подмодули определяется разложением графа кристаллической основы на его связные компоненты (т.е. определяются старшие веса подмодулей и определяется кратность каждого старшего веса) .

Ссылки

• Янцен, Йенс Карстен (1996), Лекции по квантовым группам , Аспирантура по математике , том. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0478-0 , МР   1359532
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристализация q-аналога универсальных обертывающих алгебр» , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260, doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN   0010-3616 , MR   1090425 , S2CID   121695 684
• Люстиг, Г. (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447–498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN   0894-0347 , JSTOR   1990961 , MR   1035415

Внешние ссылки

• Кристаллическая основа в n Lab