Реальное представительство

В математической области теории представлений реальное представление обычно представляет собой представление в действительном векторном пространстве U , но оно также может означать представление в комплексном векторном пространстве V с инвариантной вещественной структурой , т. е. антилинейным эквивариантным отображением.

j\colon V\to V

который удовлетворяет

j^{2}=+1.

Эти две точки зрения эквивалентны, потому что если U — вещественное векторное пространство, на которое действует (скажем, группа G ), то V = U ⊗ C — представление в комплексном векторном пространстве с антилинейным эквивариантным отображением, заданным комплексным сопряжением . И наоборот, если V является таким комплексным представлением, то U можно восстановить как неподвижных точек множество j ( собственное пространство с собственным значением 1).

В физике , где представления часто рассматриваются конкретно в терминах матриц, реальным представлением является такое представление, в котором элементы матриц, представляющих элементы группы, являются действительными числами. Эти матрицы могут действовать как на вещественные, так и на комплексные вектор-столбцы.

Вещественное представление в комплексном векторном пространстве изоморфно своему комплексно-сопряженному представлению , но обратное неверно: представление, которое изоморфно своему комплексно-сопряженному представлению, но не является действительным, называется псевдовещественным представлением . Неприводимое псевдовещественное представление V обязательно является кватернионным представлением : оно допускает инвариантную кватернионную структуру , т. е. антилинейное эквивариантное отображение.

j\colon V\to V

который удовлетворяет

j^{2}=-1.

Прямая сумма вещественных и кватернионных представлений вообще не является ни вещественной, ни кватернионной.

Представление в комплексном векторном пространстве также может быть изоморфно двойственному представлению его комплексно-сопряженного объекта. Это происходит именно тогда, когда представление допускает невырожденную инвариантную полуторалинейную форму , например эрмитову форму . Такие представления иногда называют сложными или (псевдо)эрмитовыми.

Индикатор Фробениуса-Шура

Критерий (для компактных групп G ) реальности неприводимых представлений в терминах теории характеров основан на индикаторе Фробениуса-Шура, определяемом формулой

\int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu

где χ — характер представления, а µ — мера Хаара с µ( G ) = 1. Для конечной группы это определяется выражением

{1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).

Индикатор может принимать значения 1, 0 или −1. Если показатель равен 1, то представление реальное. Если показатель равен нулю, представление комплексное (эрмитово), ^[1] и если индикатор равен -1, представление является кватернионным.

Примеры

Все представления симметрических групп вещественны (и фактически рациональны), поскольку мы можем построить полный набор неприводимых представлений, используя таблицы Юнга .

Все представления групп вращения в нечетномерных пространствах вещественны, поскольку все они появляются как подпредставления тензорных произведений копий фундаментального представления, которое действительно.

Дальнейшими примерами вещественных представлений являются спинорные представления спиновых групп в измерениях 8k −1, 8k и 8k + 1 для k = 1, 2, 3... Эта периодичность по модулю 8 известна в математике не только в теория алгебр Клиффорда , но и в алгебраической топологии , в КО-теории ; см. спиновое представление и периодичность Ботта .

Примечания

^ Любое комплексное представление V компактной группы имеет инвариантную эрмитову форму, поэтому значение нулевого индикатора состоит в том, что не существует инвариантной невырожденной комплексной билинейной формы на V .

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . .
Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9 .

[1] Любое комплексное представление V компактной группы имеет инвариантную эрмитову форму, поэтому значение нулевого индикатора состоит в том, что не существует инвариантной невырожденной комплексной билинейной формы на V .

[1]