Кватернионное представление

В математической области теории представлений кватернионное представление — это представление в комплексном векторном пространстве V с инвариантной кватернионной структурой , т. е. антилинейным эквивариантным отображением.

$j\colon V\to V$

который удовлетворяет

$j^{2}=-1.$

Вместе с мнимой единицей i и антилинейным отображением k := ij j т. е наделяет V структурой кватернионного векторного пространства . V становится модулем над телом кватернионов ( ). С этой точки зрения кватернионное представление группы G — это групповой гомоморфизм φ : G → GL( V , H ), группа обратимых кватернионно-линейных преобразований V. группы В частности, кватернионное матричное представление g присваивает квадратную матрицу кватернионов ρ (g) каждому элементу g из G так, что ρ (e) является единичной матрицей и

$\rho (gh)=\rho (g)\rho (h){\text{ for all }}g,h\in G.$

Кватернионные представления ассоциативных и алгебр Ли можно определить аналогичным образом.

Свойства и связанные понятия

Если V — унитарное представление , а кватернионная структура j — унитарный оператор, то V допускает инвариантную комплексную симплектическую форму ω и, следовательно, является симплектическим представлением . Это всегда верно, если V является представлением компактной группы (например, конечной группы ), и в этом случае кватернионные представления также известны как симплектические представления. Такие представления среди неприводимых представлений можно выделить с помощью индикатора Фробениуса-Шура .

Кватернионные представления подобны действительным представлениям в том смысле, что они изоморфны своему комплексно-сопряженному представлению . Здесь под вещественным представлением понимается комплексное представление с инвариантной вещественной структурой , т. е. антилинейное эквивариантное отображение.

$j\colon V\to V$

который удовлетворяет

$j^{2}=+1.$

Представление, изоморфное своему комплексно-сопряженному, но не являющееся вещественным представлением, иногда называют псевдовещественным представлением .

Реальные и псевдовещественные представления группы G можно понять, рассматривая их как представления вещественной групповой алгебры R [ G ]. Такое представление будет прямой суммой центральных простых R -алгебр, которые по теореме Артина-Веддерберна должны быть матричными алгебрами над действительными числами или кватернионами. Таким образом, реальное или псевдовещественное представление представляет собой прямую сумму неприводимых действительных представлений и неприводимых кватернионных представлений. Это реально, если при разложении не возникает кватернионных представлений.

Примеры

Типичный пример включает кватернионное представление вращения в трех измерениях. Каждое (собственное) вращение представлено кватернионом с единичной нормой . Существует очевидное одномерное кватернионное векторное пространство, а именно пространство H самих кватернионов при левом умножении. Ограничивая это единичными кватернионами, мы получаем кватернионное представление спинорной группы Spin(3).

Это представление ρ : Spin(3) → GL(1, H ) также оказывается унитарным кватернионным представлением, поскольку

$\rho (g)^{\dagger }\rho (g)=\mathbf {1}$

для всех g в Spin(3).

Другой унитарный пример — спиновое представление Spin(5). Примером неунитарного кватернионного представления может быть двумерное неприводимое представление Spin(5,1).

В более общем смысле, спиновые представления Spin( d ) являются кватернионными, когда d равно 3 + 8 k , 4 + 8 k и 5 + 8 k измерениям, где k является целым числом. В физике часто встречаются спиноры Spin ( d , 1). Эти представления имеют тот же тип вещественной или кватернионной структуры, что и спиноры Spin( d − 1).

Среди компактных вещественных форм простых групп Ли неприводимые кватернионные представления существуют только для групп Ли типов A _{4 k +1} , B _{4 k +1} , B _{4 k +2} , C _k , D _{4 k +2} и Е ₇ .

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 . .
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90190-9 .

См. также

• Симплектическое векторное пространство