Симплектическое представление

В математической области теории представлений симплектическое представление — это представление группы или алгебры Ли в симплектическом векторном пространстве ( V , ω ), которое сохраняет симплектическую форму ω . Здесь ω — невырожденная кососимметричная билинейная форма

$\omega \colon V\times V\to \mathbb {F}$

где F — поле скаляров. Представление группы G сохраняет ω, если

$\omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)$

для всех g в G и v , w в V , тогда как представление алгебры Ли g сохраняет ω, если

$\omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0$

для ξ в g и v , w в V. всех Таким образом, представление G или g эквивалентно гомоморфизму группы или алгебры Ли из G или g в симплектическую группу Sp( V , ω ) или ее алгебру Ли sp ( V , ω ).

Если G — компактная группа (например, конечная группа ), а F — поле комплексных чисел, то, введя совместимую унитарную структуру (существующую по аргументу усреднения), можно показать, что любое комплексное симплектическое представление является кватернионное представление . Кватернионные представления конечных или компактных групп часто называют симплектическими представлениями и могут быть идентифицированы с помощью индикатора Фробениуса – Шура .

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 . .