Теорема Веддерберна – Артина

В алгебре теорема Веддерберна -Артина является классификационной теоремой для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа n _i размером на n _i матричных колец над телами D _i для некоторых целых чисел n _i , оба из которых определяются однозначно с точностью до перестановки индекса i . В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно n на n размера над матричному кольцу телом D , где и n, и D определены однозначно.

Теорема

Пусть R — (артиново) полупростое кольцо . Тогда теорема Веддерберна–Артина утверждает, что изоморфно произведению конечного числа n _i -n i _R колец матриц. $M_{n_{i}}(D_{i})$ над телами D _i , для некоторых целых чисел n _i , оба из которых определяются однозначно с точностью до перестановки индекса i .

Существует также версия теоремы Веддерберна–Артина для алгебр над полем k . Если R — конечномерная полупростая k -алгебра, то каждый D _i в приведенном выше утверждении является конечномерной алгеброй с делением над k . Центр быть каждого D _i не обязательно должен k ; может быть конечное расширение k . это

Обратите внимание, что если R конечномерная простая алгебра над телом E , D не обязательно содержится в E. — Например, кольца матриц над комплексными числами представляют собой конечномерные простые алгебры над действительными числами .

Доказательство

Существуют различные доказательства теоремы Веддерберна – Артина. Обычный современный использует следующий подход.

Предположим, кольцо $R$ является полупростым. Тогда право $R$-модуль $R_{R}$ изоморфна конечной прямой сумме простых модулей (которые совпадают с минимальными идеалами правыми $R$). Запишите эту прямую сумму как

$R_{R}\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}I_{i}^{\oplus n_{i}}$

где $I_{i}$ взаимно неизоморфны простые правые $R$-модули, i -й появляется с кратностью $n_{i}$. Это дает изоморфизм эндоморфизмов колец

$\mathrm {End} (R_{R})\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}\mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}$

и мы можем идентифицировать $\mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}$ с кольцом матриц

$\mathrm {End} {\big (}I_{i}^{\oplus n_{i}}{\big )}\;\cong \;M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}$

где кольцо эндоморфизмов $\mathrm {End} (I_{i})$ из $I_{i}$ является телом по лемме Шура , так как $I_{i}$ это просто. С $R\cong \mathrm {End} (R_{R})$ мы заключаем

$R\;\cong \;\bigoplus _{i=1}^{m}M_{n_{i}}{\big (}\mathrm {End} (I_{i}){\big )}\,.$

Здесь мы использовали правильные модули, потому что $R\cong \mathrm {End} (R_{R})$; если бы мы использовали левые модули $R$ было бы изоморфно алгебре противоположной $\mathrm {End} ({}_{R}R)$, но доказательство все равно пройдет. Чтобы увидеть это доказательство в более широком контексте, см. «Разложение модуля» . Доказательство важного частного случая см. в Простом артиновом кольце .

Последствия

Поскольку конечномерная алгебра над полем является артиновой, из теоремы Веддерберна–Артина следует, что каждая конечномерная простая алгебра над полем изоморфна кольцу n размером на n матриц над некоторой конечномерной алгеброй D над $k$, где и n , и D определены однозначно. Это показал Джозеф Веддерберн . Позднее Эмиль Артин обобщил этот результат на случай простых левых или правых артиновых колец .

Поскольку единственной конечномерной алгеброй с делением над алгебраически замкнутым полем является само поле, теорема Веддерберна – Артина имеет в этом случае сильные последствия. Пусть R — полупростое кольцо , являющееся конечномерной алгеброй над алгебраически замкнутым полем. $k$. Тогда R — конечное произведение $\textstyle \prod _{i=1}^{r}M_{n_{i}}(k)$ где $n_{i}$ являются целыми положительными числами и $M_{n_{i}}(k)$ это алгебра $n_{i}\times n_{i}$ матрицы над $k$.

Более того, теорема Веддерберна–Артина сводит задачу классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем $k$ к проблеме классификации конечномерных с центральным телом над алгебр $k$: то есть алгебры с делением над $k$ чей центр $k$. Отсюда следует, что любая конечномерная центральная простая алгебра над $k$ изоморфна матричной алгебре $\textstyle M_{n}(D)$где $D$ является конечномерной центральной алгеброй с делением над $k$.

См. также

• Теорема Машке
• Группа Брауэра
• Теорема плотности Джейкобсона
• Гиперкомплексное число
• Эмиль Артин
• Джозеф Веддерберн

Ссылки

• Бичи, Джон А. (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям . Издательство Кембриджского университета. п. 156 . ISBN  978-0-521-64407-5 .
• Кон, премьер-министр (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . стр. 137–139.
• Хендерсон, Д.В. (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». Американский математический ежемесячник . 72 (4): 385–386. дои : 10.2307/2313499 . JSTOR   2313499 .
• Николсон, Уильям К. (1993). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна – Артина» (PDF) . Новая Зеландия Дж. Математика . 22 : 83–86.
• Веддерберн, JHM (1908). «О гиперкомплексных числах» . Труды Лондонского математического общества . 6 : 77–118. дои : 10.1112/plms/s2-6.1.77 .
• Артин, Э. (1927). «К теории гиперкомплексных чисел». Трактаты математического семинара Гамбургского университета . 5 : 251-260. дои : 10.1007/BF02952526 . ЖФМ   53.0114.03 .