Теорема плотности Джейкобсона

В математике , а точнее в некоммутативной теории колец , современной алгебре и теории модулей , теорема плотности Джекобсона — это теорема, касающаяся модулей над кольцом $R.$ простых ^[1]

Теорему можно применить, чтобы показать, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. ^[2]^[3] Впервые эта теорема появилась в литературе в 1945 году, в знаменитой статье Натана Джейкобсона «Теория структуры простых колец без предположений конечности» . ^[4] Это можно рассматривать как своего рода обобщение вывода теоремы Артина-Веддерберна о строении простых артиновых колец .

Мотивация и официальное заявление [ править ]

Пусть $R —$ кольцо и $U$ — простой правый $R$ -модуль. Если $u$ — ненулевой элемент $U$ , $u • R = U$ (где $u • R$ — циклический подмодуль $U$ , порожденный $u$ ). Следовательно, если $u, v$ — ненулевые элементы $U$ , существует элемент $R$ , который индуцирует эндоморфизм , $U$ преобразующий $u$ в $v$ . Теперь возникает естественный вопрос: можно ли это обобщить на произвольные (конечные) наборы элементов. Точнее, найти необходимые и достаточные условия для набора $(x 1, ..., x n)$ и $(y 1, ..., y n)$ отдельно, чтобы существовал элемент $R$ со свойством, что $x i • р знак равно y я$ для всех $я$ . Если $D$ — множество всех $R$ эндоморфизмов $-модулей U$ , то лемма Шура утверждает, что $D$ теорема плотности Джекобсона отвечает на вопрос о кортежах утвердительно, при условии, что $xi тело, а$ линейно независимы над $D.$ —

Учитывая вышеизложенное, теорему можно сформулировать так:

Теорема плотности Джекобсона. Пусть

U

— простой правый

R

-модуль,

D = End(UR —)

и

X \subset U

конечное и

D

-линейно независимое множество. Если

A

—

D

-линейное преобразование на

U

то существует

r \in R

такой, что

A (x) = x • r

для всех

x

в

X.

, ^[5]

Доказательство [ править ]

теореме о плотности Джекобсона правый $R$ -модуль $U$ одновременно рассматривается как левый $D$ -модуль, где $D = End(UR В)$ , естественным образом: $g • u = g (u)$ . Можно проверить, что это действительно структура левого модуля на $U$ . ^[6] Как отмечалось ранее, лемма Шура доказывает, $что D$ является телом, если $U$ простое, и поэтому $U$ является векторным пространством над $D$ .

Доказательство также опирается на следующую теорему, доказанную в ( Isaacs 1993 ), с. 185:

Теорема. Пусть

U

— простой правый

R

-модуль,

D = End(UR —)

и

X \subset U

конечное множество. Напишите

I ann R (X)

для аннулятора X

​

в

R.

= Пусть

u

находится в

U

с

u • I = 0

. Тогда

u

находится в

XD

; D

​

- промежуток X.

​

теоремы Джекобсона Доказательство плотности

Используем индукцию по $| Х |$ . Если $X$ пусто, то теорема бессмысленно верна и базовый случай индукции проверен.

Предположим, $что X$ непусто, пусть $x$ — элемент $X$ и пишет $Y = X \ { x }.$ Если $A$ — любое $D$ линейное преобразование на $U$ , то по предположению индукции существует $s \in R$ такое, что $A (y) = y • s$ для всех $y$ из $Y.$ - Напишите $I = ann R (Y)$ . Легко видеть, что $x • I$ — подмодуль $U$ . Если $x • I = 0$ , то из предыдущей теоремы следует, что $x$ будет находиться в $D$ -промежутке $Y$ , что противоречит $D$ -линейной независимости $X$ , поэтому $x • I \neq 0$ . Поскольку $U$ простой, имеем: $x • I = U$ . Поскольку $A (x) - x • s \in U = x • I$ , существует $i$ в $I$ такой, что $x • i = A (x) - x • s$ .

Определим $r = s + i$ и заметим, что для всех $y$ из $Y$ имеем:

{\begin{aligned}y\cdot r&=y\cdot (s+i)\\&=y\cdot s+y\cdot i\\&=y\cdot s&&({\text{since }}i\in {\text{ann}}_{R}(Y))\\&=A(y)\end{aligned}}

Теперь мы делаем тот же расчет для $x$ :

{\begin{aligned}x\cdot r&=x\cdot (s+i)\\&=x\cdot s+x\cdot i\\&=x\cdot s+\left(A(x)-x\cdot s\right)\\&=A(x)\end{aligned}}

Следовательно, $A (z) = z • r$ для всех $z$ в $X$ , как и хотелось. На этом индуктивный этап доказательства завершается. Теперь из математической индукции следует, что теорема верна для конечных множеств $X$ любого размера.

характеристика Топологическая

кольцо $R$ Говорят, что плотно действует на простом правом $R$ -модуле $U,$ если оно удовлетворяет заключению теоремы о плотности Якобсона. ^[7] Существует топологическая причина описывать $R$ как «плотный». -первых, $R$ можно отождествить с подкольцом $End(DU Во)$ путем идентификации каждого элемента $R$ с $линейным преобразованием D$ , которое он вызывает путем умножения справа. Если $U$ задана дискретная топология и если $U В$ задана топология произведения , а $End(D U)$ рассматривается как подпространство $U В$ и задана топология подпространства , то $R$ действует плотно на $тогда$ и только тогда, когда $R$ является плотным множеством в $End(DU U)$ с этой топологией. ^[8]

Последствия [ править ]

Теорема о плотности Джекобсона имеет различные важные следствия в структурной теории колец. ^[9] Примечательно, вывод теоремы Артина–Веддерберна о строении простых справа артиновых колец что восстановлен . Теорема о плотности Джекобсона также характеризует правые или левые примитивные кольца как плотные подкольца кольца $D$ -линейных преобразований на некотором $D$ -векторном пространстве $U$ , где $D$ — тело. ^[3]

Связь с другими результатами [ править ]

Этот результат связан с теоремой фон Неймана о бикоммутанте , которая утверждает, что для *-алгебры $A$ операторов в гильбертовом пространстве $H$ двойной коммутант $A''$ может быть аппроксимирован $A$ на любом заданном конечном наборе векторов. Другими словами, двойной коммутант — это замыкание $A$ в слабой операторной топологии . См. также теорему о плотности Капланского в контексте алгебры фон Неймана.

Примечания [ править ]

^ Айзекс, с. 184
^ Такие кольца линейных преобразований также известны как полные линейные кольца .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, следствие 13.16, с. 187
^ Джейкобсон, Натан «Теория структуры простых колец без предположений конечности»
^ Айзекс, Теорема 13.14, с. 185
^ Между прочим, это также $D - R$ структура бимодуля .
^ Херштейн, Определение, с. 40
^ Оказывается, в данном случае эта топология такая же, как и компактно-открытая топология . Херштейн, с. 41 использует это описание.
^ Херштейн, с. 41

Ссылки [ править ]

И. Н. Герштейн (1968). Некоммутативные кольца (1-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-015-Х .
Айзекс, И. Мартин (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-19002-2 .
Джейкобсон, Н. (1945), «Теория структуры простых колец без предположений конечности», Trans. амер. Математика. Соц. , 57 (2): 228–245, doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8 , ISSN 0002-9947 , MR 0011680

Внешние ссылки [ править ]

Страница ПланетыМатематики

[1] Айзекс, с. 184

[2] Такие кольца линейных преобразований также известны как полные линейные кольца .

[Isaacs187-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Айзекс, следствие 13.16, с. 187

[4] Джейкобсон, Натан «Теория структуры простых колец без предположений конечности»

[5] Айзекс, Теорема 13.14, с. 185

[6] Между прочим, это также $D - R$ структура бимодуля .

[7] Херштейн, Определение, с. 40

[8] Оказывается, в данном случае эта топология такая же, как и компактно-открытая топология . Херштейн, с. 41 использует это описание.

[9] Херштейн, с. 41

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]