Теорема Капланского о плотности

В теории алгебр фон Неймана теорема плотности Капланского , принадлежащая Ирвингу Капланскому , является фундаментальной аппроксимационной теоремой. Важность и повсеместное распространение этого технического инструмента побудили Герта Педерсена сделать комментарий в одной из своих книг. ^[1] что,

Теорема плотности — величайший дар Капланского человечеству. Его можно использовать каждый день и дважды по воскресеньям.

Официальное заявление [ править ]

Пусть К ⁻ обозначим сильно-операторное замыкание множества K в B(H) , множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H , и пусть ( K ) ₁ обозначает пересечение K с единичным шаром B(H) .

Теорема Капланского о плотности . ^[2] Если

A

является самосопряженной алгеброй операторов в

B(H)

, то каждый элемент

a

в единичном шаре сильнооператорного замыкания

A

находится в сильном операторном замыкании единичного шара

A

. Другими словами,

(A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}

. Если

h

является самосопряженным оператором в

(A^{-})_{1}

, затем

h

находится в сильном операторном замыкании множества самосопряженных операторов в

(A)_{1}

.

Теорема Капланского о плотности может быть использована для формулировки некоторых приближений относительно топологии сильного оператора .

1) Если h — положительный оператор в ( A ⁻) ₁ , то h находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в ( A ⁺) ₁ , где A ⁺ обозначает множество положительных операторов в A .

2) Если А — С*-алгебра, действующая в гильбертовом пространстве Н , и и — унитарный оператор в А ⁻, то u находится в сильном операторном замыкании множества унитарных операторов в A .

рассматривать шар радиуса r > 0 В теореме о плотности и приведенном выше пункте 1) результаты также справедливы, если вместо единичного шара .

Доказательство [ править ]

Стандартное доказательство использует тот факт, что ограниченная непрерывная вещественная функция f является операторно-непрерывной. Другими словами, для сети { a _α } самосопряженных операторов в A непрерывное функциональное исчисление a → f ( a ) удовлетворяет,

\lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })

в топологии сильного оператора . Это показывает, что самосопряженная часть единичного шара в A ⁻ может быть сильно аппроксимирован самосопряженными элементами из A . Матричное вычисление в M ₂ ( A ) с учетом самосопряженного оператора с элементами 0 на диагонали и a и a ^* в остальных позициях, затем снимает ограничение на самосопряженность и доказывает теорему.

См. также [ править ]

Теорема плотности Джейкобсона

Примечания [ править ]

^ Стр. 25; Педерсен Г.К. , С*-алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, ISBN 978-0125494502 .
^ Теорема 5.3.5; Ричард Кэдисон , Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .

Ссылки [ править ]

Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .
В.Ф.Р.Алгебры Джонса фон Неймана ; неполные конспекты курса.
М. Такесаки Теория операторных алгебр I ISBN 3-540-42248-X

[1] Стр. 25; Педерсен Г.К. , С*-алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, ISBN 978-0125494502 .

[2] Теорема 5.3.5; Ричард Кэдисон , Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .

[1]

[2]