Теорема фон Неймана о бикоммутанте

В математике , особенно в функциональном анализе , теорема фон Неймана о бикоммутанте связывает замыкание набора ограниченных операторов в гильбертовом пространстве в некоторых топологиях с бикоммутантом этого набора. По сути, это связь между алгебраической и топологической сторонами теории операторов .

Формальная формулировка теоремы такова:

Теорема фон Неймана о бикоммутанте. Пусть M — алгебра, состоящая из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H , содержащая тождественный оператор, и замкнутая относительно сопряженных . Тогда замыкания M равны и, в свою очередь в слабой операторной топологии и сильной операторной топологии , равны бикоммутанту M ' из M .

Эта алгебра называется алгеброй фон Неймана, порожденной M .

В пространстве ограниченных операторов существует несколько других топологий, и можно задаться вопросом, какие *-алгебры замкнуты в этих топологиях. Если M замкнуто в топологии нормы , то это C*-алгебра , но не обязательно алгебра фон Неймана. Одним из таких примеров является С*-алгебра компактных операторов (на бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые *-алгебры, содержащие единицу, являются алгебрами фон Неймана; это относится, в частности, к топологиям слабого оператора, сильного оператора, *-сильного оператора, сверхслабой , сверхсильной и *-сверхсильной топологии.

Это связано с теоремой плотности Джекобсона .

Доказательство

Пусть H — гильбертово пространство и L ( H ) — ограниченные операторы H. в Рассмотрим самосопряженную унитарную подалгебру M в L ( H ) (это означает, что M содержит сопряженные к ее членам и тождественный оператор на H ).

Теорема эквивалентна комбинации следующих трех утверждений:

(i) cl _W ( M ) ⊆ M »

(ii) cl _S ( M ) ⊆ cl _W ( M )

(iii) M » ⊆ cl _S ( M )

где индексы W и S обозначают замыкания в слабой и сильной операторной топологии соответственно.

Доказательство (i)

Для любых x и y в H отображение T → < Tx , y > непрерывно в слабой операторной топологии по своему определению. Следовательно, для любого фиксированного оператора O справедливо и отображение

$T\to \langle (OT-TO)x,y\rangle =\langle Tx,O^{*}y\rangle -\langle TOx,y\rangle$

Пусть S — любое подмножество L ( H ) , а S ’ — его коммутант . Для любого оператора T в S ′ эта функция равна нулю для всех O в S . Для любого T, не входящего в S , оно должно быть ненулевым для некоторого O в S и некоторых x и y в H . Ввиду ее непрерывности существует открытая окрестность T для слабой операторной топологии, на которой она отлична от нуля и, следовательно, также не находится в S ′. Следовательно, любой коммутант S ′ замкнут в слабой операторной топологии. В частности, так же и М » ; поскольку он содержит M , он также содержит его слабое операторное замыкание.

Доказательство (ii)

Это непосредственно следует из того, что топология слабого оператора более грубая, чем топология сильного оператора: для каждой точки x в cl _S ( M ) каждая открытая окрестность точки x в топологии слабого оператора также открыта в топологии сильного оператора и, следовательно, содержит член из М ; следовательно, x также является членом cl _W ( M ) .

Доказательство (iii)

Зафиксировать X ∈ M » . Мы должны показать, что X ∈ cl _S ( M ) , т.е. для каждого h ∈ H и любого ε > 0 существует T в M такой, что || Xh − Th || < е .

Исправьте h в H . Циклическое подпространство M h = { Mh : M ∈ M } инвариантно относительно действия любого T из M . Его замыкание cl( M h ) в норме H представляет собой замкнутое линейное подпространство с соответствующей ортогональной проекцией P : H → cl( M h ) в L ( H ). этот P находится в M ′ На самом деле, как мы сейчас покажем, .

Лемма. п ∈ M ′ .

Доказательство. Зафиксируйте x ∈ H . Поскольку Px ∈ cl( M h ) , это предел последовательности O _n h с O _n в M . Для любого T ∈ M также TO _n h находится в M h , и в силу непрерывности T эта последовательность сходится к TPx . Итак, TPx ∈ cl( M h ) и, следовательно, PTPx = TPx . Поскольку x был произвольным, мы имеем PTP = TP для всех T в M .

Поскольку M замкнуто относительно присоединенной операции, а , для P самосопряжено любых x , y ∈ H имеем

$\langle x,TPy\rangle =\langle x,PTPy\rangle =\langle (PTP)^{*}x,y\rangle =\langle PT^{*}Px,y\rangle =\langle T^{*}Px,y\rangle =\langle Px,Ty\rangle =\langle x,PTy\rangle$

Итак, TP = PT для всех T ∈ M , что означает, что P лежит в M ′ .

По определению бикоммутанта должно быть XP = PX . Так как унитален , h ∈ Mh M , и поэтому h = Ph . Следовательно, Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h ) . Итак, для каждого ε > 0 существует T в M с || Xh − Th || < ε , т. е. находится в сильном операторном замыкании M. X

Неединичный случай

AC*-алгебра M , действующая на H, Говорят, что действует невырожденно , если для h в H из M h = {0} следует h = 0 . можно показать В этом случае с помощью приближенного тождества в M , что тождественный оператор I лежит в сильном замыкании M . Следовательно, заключение теоремы о бикоммутанте справедливо для M .

Ссылки

• У. Б. Арвесон, Приглашение к C*-алгебрам , Спрингер, Нью-Йорк, 1976.