Jump to content

Центратор и нормализатор

(Перенаправлено с Коммутанта )

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом) [1] [2] ) подмножества S в группе G это множество элементов G , которые коммутируют с каждым элементом S или, что то же самое, такие, что сопряжение с помощью оставляет каждый элемент S фиксированным. Нормализатор S в G это набор элементов группы G , удовлетворяющие более слабому условию выхода из множества фиксируется при конъюгации. Централизатор и нормализатор S являются подгруппами группы G. группы Многие методы теории групп основаны на изучении централизаторов и нормализаторов подходящих S. подмножеств

При соответствующей формулировке определения применимы и к полугруппам .

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно полугрупповой операции (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца R является подкольцом кольца R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализатор . в полугруппе или кольце — это еще одна конструкция, построенная в том же духе, что и централизатор и нормализатор

Определения

[ редактировать ]

Группа и полугруппа

[ редактировать ]

Централизатор подмножества S определяется группы (или полугруппы) G как [3]

где к полугруппам применимо только первое определение.Если нет никакой двусмысленности в отношении рассматриваемой группы, букву G можно исключить из обозначения. Когда S = { a } является одноэлементным множеством, мы пишем C G ( a ) вместо C G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора — Z( a ), которое соответствует обозначению центра . С этим последним обозначением нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между группы G , Z( G ), и централизатором элемента g центром в G , Z( g ).

Нормализатор G S определяется группе (или полугруппе) в как

где опять же к полугруппам применимо только первое определение. Если набор является подгруппой , то нормализатор является самой крупной подгруппой где является нормальной подгруппой . Определения централизатора и нормализатора схожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S , а s находится в S , то должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t , возможно, отличается от s . То есть элементы централизатора S должны поточечно коммутировать с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же соглашения об обозначениях, упомянутые выше для централизаторов, также применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием .

Четко и обе являются подгруппами .

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

[ редактировать ]

Если R — кольцо или алгебра над полем , а S подмножество R , то централизатор S точно такой, как определен для групп, с R вместо G.

Если алгебра Ли (или кольцо Ли ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S из определяется как [4]

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L R , то очевидно, что централизатор S кольцевой в R равен кольцевому централизатору Ли S в L R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) дается [4]

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, на самом деле эта конструкция является идеализатором множества S в . Если S — аддитивная подгруппа группы , затем — наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от обстоятельств), в котором S Ли — идеал . [5]

Рассмотрим группу

(симметричная группа перестановок трех элементов).

Возьмем подмножество H группы G:

Обратите внимание, что [1, 2, 3] — это тождественная перестановка в G, сохраняющая порядок каждого элемента, а [1, 3, 2] — это перестановка, которая фиксирует первый элемент и меняет местами второй и третий элементы.

Нормализатором H по отношению к группе G являются все элементы G, которые дают набор H (потенциально перестановочный) при применении групповой операции.Разработка примера для каждого элемента G:

применительно к H => ; следовательно, [1, 2, 3] находится в нормализаторе (H) относительно G.
применительно к H => ; следовательно, [1, 3, 2] находится в нормализаторе (H) относительно G.
применительно к H => ; следовательно, [2, 1, 3] не входит в нормализатор (H) относительно G.
применительно к H => ; следовательно, [2, 3, 1] не входит в нормализатор (H) относительно G.
применительно к H => ; следовательно, [3, 1, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.
применительно к H => ; следовательно, [3, 2, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.

Следовательно, нормализатор(H) относительно G равен поскольку оба этих элемента группы сохраняют множество H.

Группа считается простой, если нормализатором по отношению к подмножеству всегда является единица и она сама. Здесь ясно, что S 3 — непростая группа.

Централизатор группы G — это множество элементов, оставляющих неизменным каждый элемент группы H. Понятно, что единственным таким элементом в S3 является единица [1, 2, 3].

Характеристики

[ редактировать ]

Полугруппы

[ редактировать ]

Позволять обозначим централизатор в полугруппе ; т.е. Затем образует подполугруппу и ; т.е. коммутант является своим собственным бикоммутантом .

Источник: [6]

  • Централизатор и нормализатор группы S являются подгруппами G. группы
  • Очевидно, CG S ( S NG ( ) ) . Фактически, C G ( S ) всегда является подгруппой NG нормальной ( S ), являясь ядром гомоморфизма ( S S ) → Bij( S ) и группы NG ( S ) /C G ( NG ) действует сопряжением как группа биекций на S . Например, группа Вейля компактной группы Ли G с тором T определяется как W ( G , T ) = NG ( T ) /C G ( T ) , и особенно, если тор максимальный (т. е. C G ( T ) = T ) это центральный инструмент теории групп Ли.
  • CG CG (CG ( S ) ) содержит S , но ( S ) обязательно содержит S. не Удержание происходит именно тогда, когда S абелева.
  • Если H — подгруппа группы G , то NG ( H содержит H. )
  • Если H — подгруппа группы G , то наибольшая подгруппа группы G , в которой H нормальна, — это подгруппа NG ( H).
  • Если S — такое подмножество группы G , что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа группы G , центр которой содержит S, — это подгруппа C G (S).
  • Подгруппа H группы G называется самонормализующаяся подгруппа группы G, если N G ( H ) = H .
  • Центр группы G — это в точности CG ( G), и абелева группа тогда и только тогда, когда ( G G) = Z( G ) = G. CG
  • Для одноэлементных наборов C G ( a ) = NG ( a ) .
  • По симметрии, если S и T — два подмножества G , T ⊆ CG ( S ) тогда и только тогда, когда S CG ( T ) .
  • Для подгруппы H группы G теорема N/C утверждает, что группа NG ) ( H /C G ( H ) изоморфна подгруппе Aut( H ), группе автоморфизмов H. фактор - Поскольку NG G ( G ) = G и CG G ( G ) = Z( G ) , из теоремы N/C также следует, что / Z( G ) изоморфна Inn( ) , подгруппе Aut( G ), состоящей из всех автоморфизмов G . внутренних
  • Если мы определим групповой гомоморфизм T : G → Inn( G ) как T ( x ) ( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , то мы можем описать NG ( S ) и CG ( S ) в терминах группового действия Inn( G ) на G : стабилизатор S в Inn( G ) есть T ( NG ( S )), и подгруппа группы Inn( G ), поточечно фиксирующая S , есть T (CG ( S ) ).
  • Подгруппа H группы G называется C-замкнутой или самобикоммутантной, если H = C G ( S ) для некоторого подмножества S G . Если это так, то на самом деле H = C G (C G ( H )) .

Кольца и алгебры над полем

[ редактировать ]

Источник: [4]

  • Централизаторами в кольцах и в алгебрах над полем являются соответственно подкольца и подалгебры над полем; Централизаторами в кольцах Ли и в алгебрах Ли являются подкольца и подалгебры Ли соответственно.
  • Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
  • CR , (CR ( S ) ) содержит S но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
  • Если S — аддитивная подгруппа кольца Ли A , то NA ( S ) — наибольшее подкольцо Ли кольца A, в котором S — идеал Ли.
  • Если S — подкольцо Ли кольца Ли A , то S NA ( S ) .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: переплетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ИСБН  978-0-19-979373-0 .
  2. ^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных пролиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN  978-3-03719-032-6 .
  3. ^ Джейкобсон (2009), с. 41
  4. ^ Jump up to: а б с Джейкобсон 1979 , с. 28.
  5. ^ Джейкобсон 1979 , с. 57.
  6. ^ Айзекс 2009 , Главы 1-3.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5e4389e631d389af208ae5cee79e5b56__1717251660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5e/56/5e4389e631d389af208ae5cee79e5b56.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Centralizer and normalizer - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)