Идеализатор

В абстрактной алгебре идеализатор T подполугруппы в полугруппы , S — это наибольшая подполугруппа S которой T — идеал . Такой идеализатор дается формулой

$\mathbb {I} _{S}(T)=\{s\in S\mid sT\subseteq T{\text{ and }}Ts\subseteq T\}.$

В теории колец , если A — аддитивная подгруппа кольца R , то $\mathbb {I} _{R}(A)$ (определенное в мультипликативной полугруппе R ) — наибольшее подкольцо R , в котором A — двусторонний идеал.

В алгебре Ли , если L — кольцо Ли (или алгебра Ли ) с произведением Ли [ x , y ], а S — аддитивная подгруппа L , то множество

$\{r\in L\mid [r,S]\subseteq S\}$

классически называется нормализатором S , однако очевидно, что этот набор на самом деле является кольцевым эквивалентом идеализатора. Нет необходимости указывать, что [ S , r ] ⊆ S , поскольку антикоммутативность произведения Ли приводит к тому, что [ , r ] = −[ r , s ] ∈ S. s «Нормализатор» Ли S — это наибольшее подкольцо L, в котором S — идеал Ли.

Комментарии

Часто, когда правые или левые идеалы являются представляющими интерес аддитивными подгруппами R , идеализатор определяется проще, используя тот факт, что умножение на кольцевые элементы уже поглощено с одной стороны. Явно,

$\mathbb {I} _{R}(T)=\{r\in R\mid rT\subseteq T\}$

если T — правый идеал, или

$\mathbb {I} _{R}(L)=\{r\in R\mid Lr\subseteq L\}$

если L — левый идеал.

В коммутативной алгебре идеализатор связан с более общей конструкцией. Учитывая коммутативное кольцо R и два подмножества A и B правого R -модуля M , проводник или транспортер задается формулой

$(A:B):=\{r\in R\mid Br\subseteq A\}$.

В терминах этого проводникового обозначения аддитивная подгруппа B группы R имеет идеализатор

$\mathbb {I} _{R}(B)=(B:B)$.

Когда A и B идеалами R , проводник является частью структуры образовавшейся решетки идеалов R. являются

Примеры

M Алгебра мультипликатора ( A ) C *-алгебры A изоморфна A идеализатору π ( A ), где — любое точное невырожденное представление в гильбертовом пространстве   H. π

Ссылки

• Гудирл, КР (1976), Теория колец: Несингулярные кольца и модули , Чистая и прикладная математика, № 33, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., стр. viii+206, MR   0429962
• Леви, Лоуренс С.; Робсон, Дж. Крис (2011), Наследственные нетеровы простые кольца и идеализаторы , Математические обзоры и монографии, том. 174, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. iv+228, ISBN.  978-0-8218-5350-4 , МР   2790801
• Михалев Александр Владимирович; Пильц, Гюнтер Ф., ред. (2002), Краткий справочник по алгебре , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xvi+618, ISBN  0-7923-7072-4 , г-н   1966155