Норма оператора

В математике норма оператора измеряет «размер» некоторых линейных операторов , присваивая каждому действительное число, называемое его нормой оператора . Формально это норма , определенная в пространстве ограниченных линейных операторов между двумя заданными нормированными векторными пространствами . Неформально операторная норма $\|T\|$ линейной карты $T:X\to Y$ — максимальный коэффициент, на который он «удлиняет» векторы.

Введение и определение

Учитывая два нормированных векторных пространства $V$ и $W$ (над тем же базовым полем либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$), линейное отображение $A:V\to W$ непрерывно тогда и только тогда, когда существует действительное число $c$ такой, что

$$\|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ for all }}v\in V.$$

Слева указана норма $W$ а норма справа та, что в $V$. Интуитивно, непрерывный оператор $A$ никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в раз. $c.$ Таким образом, образ ограниченного множества при непрерывном операторе также ограничен. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы . Чтобы «измерить размер» $A,$ можно взять нижнюю часть чисел $c$ такое, что указанное выше неравенство справедливо для всех $v\in V.$ Это число представляет собой максимальный скалярный коэффициент, с помощью которого $A$ «удлиняет» векторы. Другими словами, «размер» $A$ измеряется тем, насколько оно «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Итак, мы определим операторную норму $A$ как

$$\|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.$$

Нижняя грань достигается как совокупность всех таких $c$ замкнуто непусто , . и ограничено снизу

Важно иметь в виду, что эта операторная норма зависит от выбора норм нормированных векторных пространств. $V$ и $W$.

Примеры

Каждый настоящий $m$-к- $n$ матрица соответствует линейной карте из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{m}.$ Каждая пара из множества (векторных) норм, применимых к вещественным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для всех $m$-к- $n$ матрицы действительных чисел; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричных норм .

Если мы специально выберем евклидову норму для обоих $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{m},$ тогда матричная норма, заданная матрице $A$ квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы $A^{*}A$ (где $A^{*}$ обозначает транспонирование сопряженное $A$). Это эквивалентно присвоению наибольшего сингулярного значения $A.$

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательностей $\ell ^{2},$ это буква Л ^п пространство , определяемое

$$\ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.$$

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог евклидова пространства. $\mathbb {C} ^{n}.$ Теперь рассмотрим ограниченную последовательность $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.$ Последовательность $s_{\bullet }$ это элемент пространства $\ell ^{\infty },$ с нормой, заданной

$$\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.$$

Определение оператора $T_{s}$ поточечным умножением:

$$\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.$$

Оператор $T_{s}$ ограничено операторной нормой

$$\left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.$$

Это обсуждение распространяется непосредственно на случай, когда $\ell ^{2}$ заменяется генеральным $L^{p}$ пространство с $p>1$ и $\ell ^{\infty }$ заменен на $L^{\infty }.$

определения

Позволять $A:V\to W$ — линейный оператор между нормированными пространствами. Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если дополнительно $V\neq \{0\}$ тогда они все эквивалентны:

${\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}$

Если $V=\{0\}$ то множества в последних двух строках будут пустыми, а следовательно, и их верхние пределы по множеству $[-\infty ,\infty ]$ будет равно $-\infty$ вместо правильного значения $0.$ Если верхняя грань берется по множеству $[0,\infty ]$ вместо этого верхняя грань пустого набора равна $0$ и формулы справедливы для любых $V.$

Важно отметить, что линейный оператор $A:V\to W$ как правило, не гарантируется достижение своей нормы $\|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}$ на замкнутом единичном шаре $\{v\in V:\|v\|\leq 1\},$ это означает, что вектора может не существовать $u\in V$ нормы $\|u\|\leq 1$ такой, что $\|A\|_{\text{op}}=\|Au\|$ (если такой вектор существует и если $A\neq 0,$ затем $u$ обязательно будет иметь единичную норму $\|u\|=1$). Р. К. Джеймс доказал теорему Джеймса в 1964 году, которая гласит, что банахово пространство $V$ рефлексивно тогда и только тогда , когда каждый ограниченный линейный функционал $f\in V^{*}$ достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. Отсюда, в частности, следует, что каждое нерефлексивное банахово пространство имеет некоторый ограниченный линейный функционал (разновидность ограниченного линейного оператора), который не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре.

Если $A:V\to W$ ограничен тогда

$$\|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}$$

и

$$\|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}$$

где ${}^{t}A:W^{*}\to V^{*}$ это транспонирование ​ $A:V\to W,$ который является линейным оператором, определяемым формулой $w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.$

Свойства

Норма оператора действительно является нормой в пространстве всех ограниченных операторов между $V$ и $W$. Это означает

$$\|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,$$

$$\|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,$$

$$\|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.$$

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения:

$$\|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.$$

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если $V$, $W$ и $X$ представляют собой три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, и $A:V\to W$ и $B:W\to X$ являются двумя ограниченными операторами, то это субмультипликативная норма , то есть:

$$\|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.$$

Для ограниченных операторов на $V$, это означает, что операторное умножение является совместно непрерывным.

Из определения следует, что если последовательность операторов сходится в операторной норме, то она сходится равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих норм оператора

Выбирая разные нормы для кодомена, используемого в вычислениях $\|Av\|$и домен, используемый в вычислениях $\|v\|$, мы получаем разные значения нормы оператора. Некоторые общие операторные нормы легко вычислить, а другие NP-сложны . За исключением NP-жестких норм, все эти нормы можно рассчитать в $N^{2}$ операции (для $N\times N$ матрица), за исключением $\ell _{2}-\ell _{2}$ норма (что требует $N^{3}$ операций для точного ответа или меньше, если аппроксимировать его степенным методом или итерациями Ланцоша ).

Вычислимость операторных норм.

		Совместный домен
		$\ell _{1}$	$\ell _{2}$	$\ell _{\infty }$
Домен	$\ell _{1}$	Максимум $\ell _{1}$ норма колонны	Максимум $\ell _{2}$ норма колонны	Максимум $\ell _{\infty }$ норма колонны
	$\ell _{2}$	NP-жесткий	Максимальное единственное значение	Максимум $\ell _{2}$ норма ряда
	$\ell _{\infty }$	NP-жесткий	NP-жесткий	Максимум $\ell _{1}$ норма ряда

Норму сопряженного или транспонированного можно вычислить следующим образом. У нас есть это для любого $p,q,$ затем $\|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}$ где $p',q'$ сопряжены Гёльдеру по $p,q,$ то есть, $1/p+1/p'=1$ и $1/q+1/q'=1.$

Операторы в гильбертовом пространстве

Предполагать $H$ — вещественное или комплексное гильбертово пространство . Если $A:H\to H$ — ограниченный линейный оператор, то имеем

$$\|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}$$

и

$$\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},$$

где $A^{*}$ обозначает сопряженный оператор $A$ (что в евклидовых пространствах со стандартным скалярным произведением соответствует сопряженному транспонированию матрицы $A$).

В целом радиус спектральный $A$ ограничено сверху операторной нормой $A$:

$$\rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.$$

Чтобы понять, почему равенство не всегда может иметь место, рассмотрим йорданову каноническую форму матрицы в конечномерном случае. Поскольку на супердиагонали есть ненулевые записи, равенство может быть нарушено. Квазинильпотентные операторы — один из классов таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор $A$ имеет спектр $\{0\}.$ Так $\rho (A)=0$ пока $\|A\|_{\text{op}}>0.$

Однако, когда матрица $N$ нормален ; , его жордановая каноническая форма диагональна (с точностью до унитарной эквивалентности) это спектральная теорема . В этом случае легко увидеть, что

$$\rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.$$

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления операторной нормы данного ограниченного оператора. $A$: определить эрмитовский оператор $B=A^{*}A,$ определить его спектральный радиус и извлечь квадратный корень , чтобы получить операторную норму $A.$

Пространство ограниченных операторов на $H,$ с топологией, индуцированной операторной нормой, не сепарабельна . Например, рассмотрим пространство Lp $L^{2}[0,1],$ которое является гильбертовым пространством. Для $0<t\leq 1,$ позволять $\Omega _{t}$ быть функцией характеристической $[0,t],$ и $P_{t}$ быть оператором умножения, заданным формулой $\Omega _{t},$ то есть,

$$P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.$$

Затем каждый $P_{t}$ — ограниченный оператор с операторной нормой 1 и

$$\left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.$$

Но $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ представляет собой несчетное множество . Отсюда следует пространство ограниченных операторов на $L^{2}([0,1])$ несепарабельна в операторной норме. Это можно сравнить с тем, что пространство последовательностей $\ell ^{\infty }$ не является разделимым.

Ассоциативная алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве вместе с операторной нормой и присоединенной операцией дает С*-алгебру .

См. также

• Компакт Банаха – Мазура - концепция функционального анализа.
• Непрерывный линейный оператор
• Сжатие (теория операторов) - Ограниченные операторы с субъединичной нормой
• Прерывистая линейная карта
• Двойная норма - измерение в нормированном векторном пространстве.
• Матричная норма - Норма векторного пространства матриц.
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Нормированное пространство — векторное пространство, в котором определяется расстояние. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Операторная алгебра - Раздел функционального анализа.
• Теория операторов - Математическая область исследования
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор - линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве.

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2007), Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом , Springer, стр. 229, ISBN  9783540326960 .
• Конвей, Джон Б. (1990), «III.2 Линейные операторы в нормированных пространствах», Курс функционального анализа , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 67–69, ISBN  0-387-97245-5
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90859-5 . OCLC   9556781 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .