Нильпотентный оператор

В теории операторов ограниченный оператор T в банаховом пространстве называется нильпотентным, если T ^н = 0 для некоторого положительного целого числа n . Его называют квазинильпотентным или топологически нильпотентным, если его спектр σ ( T ) = {0}.

Примеры

В конечномерном случае, т. е. когда T является квадратной матрицей ( нильпотентной матрицей ) с комплексными элементами, σ ( T ) = {0} тогда и только тогда, когда T похож на матрицу, единственные ненулевые элементы которой находятся на супердиагонали. (этот факт используется для доказательства существования жордановой канонической формы ). В свою очередь это эквивалентно T ^н = 0 для некоторого n . Поэтому для матриц квазинильпотентность совпадает с нильпотентностью.

Это неверно, когда H бесконечномерно. Рассмотрим оператор Вольтерра , определенный следующим образом: рассмотрим единичный квадрат X = [0,1] × [0,1] ⊂ R ² , с мерой Лебега m . На X определите функцию ядра K по формуле

$K(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if}}\;x\geq y\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{matrix}}\right.$

Оператор Вольтерра — это соответствующий интегральный оператор T в гильбертовом пространстве L ² (0,1) определяется выражением

$Tf(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)dy.$

Оператор T не является нильпотентным: в качестве f возьмем функцию, всюду равную 1, и непосредственный расчет покажет, что Т ^н f ≠ 0 (в смысле L ² ) для всех n . Однако T квазинильпотентен. Прежде всего заметим, что K находится в L ² ( X , m ), T компактно поэтому . По спектральным свойствам компактных операторов любое ненулевое значение λ в σ ( T ) является собственным значением. Но можно показать, что T не имеет ненулевых собственных значений, поэтому T квазинильпотентен.