Теорема Банаха–Мазура

В функциональном анализе , области математики , теорема Банаха-Мазура — это теорема, грубо утверждающая, что большинство с хорошим поведением нормированных пространств являются подпространствами пространства непрерывных путей . Он назван в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура .

Заявление

Каждое вещественное сепарабельное || банахово пространство $X, \cdot||)$ изоморфно изометрически замкнутому подпространству C $(0 ([0, 1], R)$ , пространство всех непрерывных функций из единичного интервала в действительную прямую.

С одной стороны, теорема Банаха-Мазура, кажется, говорит нам, что кажущаяся обширной коллекция всех сепарабельных банаховых пространств не так уж велика и с ней сложно работать, поскольку сепарабельное банахово пространство представляет собой «всего лишь» набор непрерывных путей. С другой стороны, теорема говорит нам, что $C 0 ([0, 1], R)$ — «действительно большое» пространство, достаточно большое, чтобы вместить все возможные сепарабельные банаховы пространства.

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вкладываться в сепарабельное пространство $C. 0 ([0, 1],),$ но для любого банахова пространства $X$ можно найти компакт Хаусдорфа $K$ и изометрическое линейное вложение $j$ X $R$ в пространство $C(K)$ скалярных непрерывных функций на $K$ . Самый простой выбор — позволить $K$ быть единичным шаром непрерывного двойственного $X'$ , снабженного w*-топологией . Тогда этот единичный шар $K$ компактен по теореме Банаха–Алаоглу . Вложение $j$ вводится, говоря, что для каждого $x \in X$ непрерывная функция $j (x)$ на $K$ определяется формулой

\forall x'\in K:\qquad j(x)(x')=x'(x).

Отображение $j$ линейно и изометрично по теореме Хана–Банаха .

Другое обобщение было дано Кляйбером и Первином (1969): метрическое пространство плотности , равной бесконечному кардиналу $α$ , изометрично подпространству $C 0 ([0,1] а, R)$ — пространство вещественных непрерывных функций на копий единичного $произведении α$ интервала.

Более сильные версии теоремы

Давайте напишем $С к [0, 1]$ для $C к ([0, 1], R)$ . В 1995 году Луис Родригес-Пьяцца доказал, что изометрия $i : X \to C 0 [0, 1]$ можно выбрать так, чтобы каждая ненулевая функция в изображении $i (X)$ нигде не была дифференцируемой . Другими словами, если $D \subset C 0 [0, 1]$ состоит из функций, которые дифференцируемы хотя бы в одной точке из $[0, 1]$ , то $i$ можно выбрать так, что $i (X) \cap D = {0}.$ Этот вывод справедлив и для пространства $C 0 [0, 1]$ , следовательно, существует линейное отображение $i : C 0 [0, 1] \to С 0 [0, 1]$ , которое является изометрией своего изображения, такое, что изображение под $i$ из $C 0 [0, 1]$ (подпространство, состоящее из функций, всюду дифференцируемых с непрерывной производной) пересекает $D$ только в точке $0$ : таким образом, пространство гладких функций (относительно равномерного расстояния) изометрически изоморфно пространству нигде не дифференцируемых функций . Заметим, что (метрически неполное) пространство гладких функций плотно в $C 0 [0, 1]$ .

Ссылки

Бессага, Чеслав и Пелчинский, Александр (1975). Избранные темы бесконечномерной топологии . Варшава: PWN.
Кляйбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969). «Обобщенная теорема Банаха-Мазура» . Бык. Австрал. Математика. Соц . 1 (2): 169–173. doi : 10.1017/S0004972700041411 – через издательство Cambridge University Press.
Родригес-Пьяцца, Луис (1995). «Всякое сепарабельное банахово пространство изометрично пространству непрерывных нигде не дифференцируемых функций». Учеб. амер. Математика. Соц. 123 (12). Американское математическое общество : 3649–3654. дои : 10.2307/2161889 . JSTOR 2161889 .

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

Заявление

Комментарии

Более сильные версии теоремы

Ссылки