Дифференцирование в пространствах Фреше

В математике , в частности в функциональном анализе и нелинейном анализе , можно определить производную функции между двумя пространствами Фреше . Это понятие дифференциации, поскольку оно является производной Гато между пространствами Фреше, значительно слабее, чем производная в банаховом пространстве , даже между общими топологическими векторными пространствами . Тем не менее, это самое слабое понятие дифференцирования, для которого справедливы многие известные теоремы исчисления . В частности, правило цепочки верно . С некоторыми дополнительными ограничениями на пространства и функции Фреше существует аналог теоремы об обратной функции, называемый теоремой Нэша – Мозера об обратной функции , имеющий широкое применение в нелинейном анализе и дифференциальной геометрии .

Математические детали

Формально определение дифференцирования идентично производной Гато . Конкретно, пусть $X$ и $Y$ быть пространствами Фреше, $U\subseteq X$ быть открытым множеством , и $F:U\to Y$ быть функцией. Производная по направлению $F$ в направлении $v\in X$ определяется $$DF(u)v=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+v\tau )-F(u)}{\tau }}$$ если предел существует. Один говорит, что $F$ непрерывно дифференцируема, или $C^{1}$ если предел существует для всех $v\in X$ и отображение $$DF:U\times X\to Y$$ представляет собой непрерывное отображение.

Производные более высокого порядка определяются индуктивно через $$D^{k+1}F(u)\left\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k+1}\right\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {D^{k}F(u+\tau v_{k+1})\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}-D^{k}F(u)\left\{v_{1},\ldots ,v_{k}\right\}}{\tau }}.$$ Говорят, что функция $C^{k}$ если $D^{k}F:U\times X\times X\times \cdots \times X\to Y$ является непрерывным. Это $C^{\infty },$ или гладкий , если это так $C^{k}$ для каждого $k.$

Характеристики

Позволять $X,Y,$ и $Z$ быть пространствами Фреше. Предположим, что $U$ является открытым подмножеством $X,$ $V$ является открытым подмножеством $Y,$ и $F:U\to V,$ $G:V\to Z$ являются парой $C^{1}$ функции. Тогда выполняются следующие свойства:

• Основная теорема исчисления . Если отрезок от $a$ к $b$ лежит целиком внутри $U,$ затем $$F(b)-F(a)=\int _{0}^{1}DF(a+(b-a)t)\cdot (b-a)dt.$$
• Правило цепочки . Для всех $u\in U$ и $x\in X,$ $$D(G\circ F)(u)x=DG(F(u))DF(u)x$$
• Линейность . $DF(u)x$ линейна по $x.$ В более общем смысле, если $F$ является $C^{k},$ затем $DF(u)\left\{x_{1},\ldots ,x_{k}\right\}$ является полилинейным в $x$х.
• Теорема Тейлора с остатком . Предположим, что отрезок между $u\in U$ и $u+h$ лежит целиком внутри $U.$ Если $F$ является $C^{k}$ затем $$F(u+h)=F(u)+DF(u)h+{\frac {1}{2!}}D^{2}F(u)\{h,h\}+\cdots +{\frac {1}{(k-1)!}}D^{k-1}F(u)\{h,h,\ldots ,h\}+R_{k}$$ где остаточный член определяется выражением $$R_{k}(u,h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}D^{k}F(u+th)\{h,h,\ldots ,h\}dt$$
• Коммутативность производных по направлению . Если $F$ является $C^{k},$ затем $$D^{k}F(u)\left\{h_{1},\ldots ,h_{k}\right\}=D^{k}F(u)\left\{h_{\sigma (1)},\ldots ,h_{\sigma (k)}\right\}$$ для каждой перестановки σ из $\{1,2,\ldots ,k\}.$

Доказательства многих из этих свойств в основном основаны на том факте, что можно определить интеграл Римана непрерывных кривых в пространстве Фреше.

Плавные сопоставления

Удивительно, но отображение между открытым подмножеством пространств Фреше является гладким (бесконечно часто дифференцируемым), если оно отображает гладкие кривые в гладкие кривые; см. Удобный анализ . Более того, гладкие кривые в пространствах гладких функций — это всего лишь гладкие функции еще одной переменной.

Следствия в дифференциальной геометрии

Существование цепного правила позволяет определить многообразие, смоделированное на пространстве Фреше: многообразие Фреше . Более того, из линейности производной следует существование аналога касательного расслоения для многообразий Фреше.

Прирученные пространства Фреше

Основная статья: Пространство Тейм Фреше

Часто пространства Фреше, возникающие при практических применениях производной, обладают дополнительным свойством: они являются ручными . Грубо говоря, ручное пространство Фреше — это почти банаховое пространство . В ручных пространствах можно определить предпочтительный класс отображений, известный как ручные отображения. В категории ручных пространств под ручными отображениями основная топология достаточно сильна, чтобы поддерживать полноценную теорию дифференциальной топологии . В этом контексте применимы многие другие методы исчисления. В частности, существуют версии теорем об обратной и неявной функции.

См. также

• Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства - Дифференцируемая функция в функциональном анализе Страницы с краткими описаниями целей перенаправления
• Бесконечномерная векторная функция - функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Гамильтон, РС (1982). «Теорема Нэша и Мозера об обратной функции» . Бык. амер. Математика. Соц . 7 (1): 65–222. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 . МР   0656198 .