Интеграл Петтиса

В математике интеграл Петтиса или интеграл Гельфанда-Петтиса , названный в честь Израиля М. Гельфанда и Билли Джеймса Петтиса , расширяет определение интеграла Лебега на векторные функции в пространстве с мерой , используя двойственность . Интеграл был введен Гельфандом для случая, когда пространством с мерой является интервал с мерой Лебега . Интеграл также называют слабым интегралом в отличие от интеграла Бохнера , который является сильным интегралом.

Определение

Позволять $f:X\to V$ где $(X,\Sigma ,\mu )$ является пространством меры и $V$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $V'$ разделяющее точки (то есть, если $x\in V$ ненулевое значение, то существует некоторое $l\in V'$ такой, что $l(x)\neq 0$), например, $V$ является нормированным пространством или (в более общем смысле) является хаусдорфовой локально выпуклой TVS. Вычисление функционала можно записать в виде пары двойственности : $$\langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].$$

Карта $f:X\to V$ называется слабо измеримо, если для всех $\varphi \in V',$ скалярная карта $\varphi \circ f$ это измеримая карта . Слабо измеримая карта $f:X\to V$ Говорят, что это слабо интегрируемо на $X$ если существует какой-то $e\in V$ такой, что для всех $\varphi \in V',$ скалярная карта $\varphi \circ f$ интегрируема по Лебегу (т.е. $\varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)$) и $$\varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).$$

Карта $f:X\to V$ Говорят, что это Интегрируемо по Петтису, если $\varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ для всех $\varphi \in V^{\prime }$ а также для каждого $A\in \Sigma$ существует вектор $e_{A}\in V$ такой, что $$\langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'.$$

В этом случае, $e_{A}$ называется Петтиса Интеграл $f$ на $A.$ Общие обозначения интеграла Петтиса $e_{A}$ включать $$\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{and, in case that}}~A=X~{\text{is understood,}}\quad \mu [f].$$

Чтобы понять мотивацию определения «слабо интегрируемого», рассмотрим особый случай, когда $V$ – основное скалярное поле; то есть где $V=\mathbb {R}$ или $V=\mathbb {C} .$ В этом случае каждый линейный функционал $\varphi$ на $V$ имеет форму $\varphi (y)=sy$ для некоторого скаляра $s\in V$ (то есть, $\varphi$ есть просто скалярное умножение на константу), условие $$\varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',$$упрощается до $$se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all scalars}}~s.$$В частности, в этом частном случае $f$ слабо интегрируемо на $X$ тогда и только тогда, когда $f$ интегрируема по Лебегу.

с

Карта $f:X\to V$ Говорят, что это интегрируемо по Данфорду, если $\varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ для всех $\varphi \in V^{\prime }$ а также для каждого $A\in \Sigma$ существует вектор $d_{A}\in V'',$ назвал Данфордский интеграл $f$ на $A,$ такой, что $$\langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'$$ где $\langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).$

Определите каждый вектор $x\in V$ со скалярным функционалом отображения на $V'$ определяется $\varphi \in V'\mapsto \varphi (x).$ Это присвоение порождает карту, называемую картой канонической оценки, и через нее $V$ идентифицируется как векторное подпространство двойного дуального $V''.$ Пространство $V$ является полурефлексивным пространством тогда и только тогда, когда это отображение сюръективно . $f:X\to V$ интегрируема по Петтису тогда и только тогда, когда $d_{A}\in V$ для каждого $A\in \Sigma .$

Свойства

Непосредственным следствием определения является то, что интегралы Петтиса совместимы с непрерывными линейными операторами: если $\Phi \colon V_{1}\to V_{2}$ является линейным и непрерывным и $f\colon X\to V_{1}$ интегрируема ли Петтиса, то $\Phi \circ f$ интегрируема ли Петтиса и $$\int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).$$

Стандартная смета $$\left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)$$ для вещественных и комплекснозначных функций обобщает интегралы Петтиса в следующем смысле: для всех непрерывных полунорм $p\colon V\to \mathbb {R}$ и все интегрируемые по Петтису $f\colon X\to V$, $$p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)$$ держит. Правая часть представляет собой нижний интеграл Лебега $[0,\infty ]$-значная функция, то есть $${\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ is measurable and }}0\leq h\leq g\right\}.$$ Взятие нижнего интеграла Лебега необходимо, поскольку подынтегральная функция $p\circ f$ может быть неизмеримо. Это следует из теоремы Хана-Банаха, поскольку для любого вектора $v\in V$ должен существовать непрерывный функционал $\varphi \in V^{*}$ такой, что $\varphi (v)=p(v)$ и для всех $w\in V$, $|\varphi (w)|\leq p(w)$. Применяя это к $v:=\int _{X}f\,d\mu$ дает результат.

Теорема

Важным свойством является то, что интеграл Петтиса по конечной мере содержится в замыкании выпуклой оболочки значений, масштабированных мерой области интегрирования: $$\mu (A)<\infty {\text{ implies }}\int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {\operatorname {co} (f(A))}}$$

Это следствие теоремы Хана-Банаха и обобщает теорему о среднем значении для интегралов вещественных функций : Если $V=\mathbb {R}$, то замкнутые выпуклые множества являются просто интервалами и для $f\colon X\to [a,b]$, имеют место следующие неравенства: $$\mu (A)a~\leq ~\int _{A}f\,d\mu ~\leq ~\mu (A)b.$$

Существование

Если $V=\mathbb {R} ^{n}$ конечномерна, то $f$ интегрируема по Петтису тогда и только тогда, когда каждое из $f$координаты интегрируемы по Лебегу.

Если $f$ интегрируема ли Петтиса и $A\in \Sigma$ является измеримым подмножеством $X$, то по определению $f_{|A}\colon A\to V$ и $f\cdot 1_{A}\colon X\to V$ также интегрируемы по Петтису и $$\int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .$$

Если $X$ является топологическим пространством, $\Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}$ это Борель- $\sigma$-алгебра , $\mu$ мера Бореля , которая присваивает конечные значения компактным подмножествам, $V$ квазиполна если (т. е. любая ограниченная сеть Коши сходится) и $f$ непрерывна с компактным носителем, то $f$ интегрируема по Петтису. В более общем плане: если $f$ слабо измерима и существует компактная выпуклая $C\subseteq V$ и нулевой набор $N\subseteq X$ такой, что $f(X\setminus N)\subseteq C$, затем $f$ интегрируема по Петтису.

Закон больших чисел для интегрируемых по

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ — вероятностное пространство, и пусть $V$ быть топологическим векторным пространством с двойственным пространством, разделяющим точки. Позволять $v_{n}:\Omega \to V$ — последовательность интегрируемых по Петтису случайных величин и запишите $\operatorname {E} [v_{n}]$ для интеграла Петтиса $v_{n}$ (над $X$). Обратите внимание, что $\operatorname {E} [v_{n}]$ является (неслучайным) вектором в $V,$ и не является скалярной величиной.

Позволять $${\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}$$ обозначают выборочное среднее. По линейности, ${\bar {v}}_{N}$ интегрируема ли Петтиса и $$\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.$$

Предположим, что частичные суммы $${\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]$$ абсолютно сходятся в топологии $V,$ в том смысле, что все перестановки суммы сходятся к одному вектору $\lambda \in V.$ Слабый закон больших чисел означает, что $\langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0$ для каждого функционала $\varphi \in V^{*}.$ Следовательно, $\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda$ в слабой топологии на $X.$

Без дальнейших предположений возможно, что $\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]$ не сходится к $\lambda .$ Чтобы получить сильную сходимость, необходимо больше предположений.

См. также

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера
• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Ссылки

• Джеймс К. Брукс, Представления слабых и сильных интегралов в банаховых пространствах , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 63, 1969, 266–270. Полнотекстовый MR 0274697
• Израиль М. Гельфанд , Об одной лемме теории линейных пространств , Сообщ. Инст. наук. Математика. и механик., Univ. Харьков и соц. Математика. Харьков, ИВ. Сер. 13, 1936, 35–40. Збл   0014.16202
• Мишель Талагранд , Интеграл Петтиса и теория меры , Мемуары AMS no. 307 (1984) МР 0756174
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Интеграл Петтиса» , Энциклопедия Математики , EMS Press