Производная Адамара

В математике производная Адамара — это концепция производной по направлению для отображений между банаховыми пространствами . Он особенно подходит для приложений в стохастическом программировании и асимптотической статистике .

Определение

Карта $\varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {E}$ между банаховыми пространствами $\mathbb {D}$ и $\mathbb {E}$ дифференцируемо ли по Адамару по направлениям в $\theta \in \mathbb {D}$ в направлении $h\in \mathbb {D}$ если существует карта $\varphi _{\theta }':\,\mathbb {D} \to \mathbb {E}$ такой, что $${\frac {\varphi (\theta +t_{n}h_{n})-\varphi (\theta )}{t_{n}}}\to \varphi _{\theta }'(h)$$ для всех последовательностей $h_{n}\to h$ и $t_{n}\to 0$.

Обратите внимание, что это определение не требует непрерывности или линейности производной по направлению $h$. Хотя непрерывность автоматически следует из определения, линейность — нет.

Связь с другими производными инструментами

• Если существует производная Адамара по направлению, то существует и производная Гато , и обе производные совпадают.
• Производная Адамара легко обобщается для отображений Хаусдорфа топологических векторных пространств .

Приложения

Версия функционального дельта-метода справедлива для дифференцируемых по направлениям отображений Адамара. А именно, пусть $X_{n}$ быть последовательностью случайных элементов в банаховом пространстве. $\mathbb {D}$ (оснащенный борелевским сигма-полем ) такой, что слабая сходимость $\tau _{n}(X_{n}-\mu )\to Z$ держится для некоторых $\mu \in \mathbb {D}$, некоторая последовательность действительных чисел $\tau _{n}\to \infty$ и какой-то случайный элемент $Z\in \mathbb {D}$ со значениями, сосредоточенными на отделимом подмножестве $\mathbb {D}$. Тогда для измеримого отображения $\varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {E}$ то есть по Адамару направленно дифференцируемо в $\mu$ у нас есть $\tau _{n}(\varphi (X_{n})-\varphi (\mu ))\to \varphi _{\mu }'(Z)$ (где слабая сходимость осуществляется по борелевскому сигма-полю в банаховом пространстве $\mathbb {E}$).

Этот результат имеет применение в оптимальном выводе для широкого спектра эконометрических моделей , включая модели с частичной идентификацией и слабыми инструментами .

См. также

• Производная по направлению – мгновенная скорость изменения функции.
• Производная Фреше - производная, определенная в нормированных пространствах - обобщение полной производной.
• Производная Гато - обобщение концепции производной по направлению.
• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Полная производная - Тип производной в математике.