Интеграл Стратоновича

В случайных процессах или интеграл Стратоновича интеграл Фиска–Стратоновича (разработанный одновременно Русланом Стратоновичем и Дональдом Фиском ) — стохастический интеграл , наиболее распространенная альтернатива интегралу Ито . Хотя интеграл Ито является обычным выбором в прикладной математике, интеграл Стратоновича часто используется в физике.

В некоторых случаях интегралами в определении Стратоновича легче манипулировать. В отличие от исчисления Ито , интегралы Стратоновича определяются так, что выполняется цепное правило обычного исчисления.

Возможно, наиболее распространенная ситуация, в которой они встречаются, — это решение стохастических дифференциальных уравнений Стратоновича (СДУ). Они эквивалентны SDE Itô, и их можно конвертировать, когда одно определение оказывается более удобным.

Определение [ править ]

Интеграл Стратоновича можно определить аналогично интегралу Римана , то есть как предел сумм Римана . Предположим, что $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ является винеровским процессом и $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ представляет собой семимартингал, адаптированный к естественной фильтрации процесса Винера. Тогда интеграл Стратоновича

\int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}

это случайная величина $:\Omega \to \mathbb {R}$ определяется как предел в среднем квадрате ^[1]

\sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)

как сетка перегородки $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ из $[0,T]$ стремится к 0 (в стиле интеграла Римана–Стилтьеса ).

Расчет [ править ]

Для расчета интеграла Стратоновича можно использовать многие методы интегрирования обычного исчисления, например: если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция, то

\int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})

и вообще, если $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — гладкая функция, то

\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).

Последнее правило похоже на цепное правило обычного исчисления.

Численные методы [ править ]

Стохастические интегралы редко можно решить в аналитической форме, что делает стохастическое численное интегрирование важной темой во всех случаях использования стохастических интегралов. Различные численные аппроксимации сходятся к интегралу Стратоновича, и их вариации используются для решения СДУ Стратоновича ( Kloeden & Platen 1992 ).Однако обратите внимание, что наиболее широко используемая схема Эйлера ( метод Эйлера-Маруямы ) для численного решения уравнений Ланжевена требует, чтобы уравнение было в форме Ито. ^[2]

Дифференциальная запись [ править ]

Если $X_{t},Y_{t}$ , и $Z_{t}$ являются случайными процессами, такими что

X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t

для всех $T>0$ , мы тоже пишем

\mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.

Это обозначение часто используется для формулирования стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), которые на самом деле представляют собой уравнения стохастических интегралов. Он совместим с обозначениями обычного исчисления, например

\mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.

Сравнение с интегралом Ито [ править ]

Ито Интеграл процесса $X$ относительно винеровского процесса $W$ обозначается

\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}

(без круга). Для его определения используется та же процедура, что и выше при определении интеграла Стратоновича, за исключением выбора значения процесса

X

в левой конечной точке каждого подинтервала, т. е.

X_{t_{i}}

вместо

(X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2

Этот интеграл не подчиняется обычному цепному правилу, как это делает интеграл Стратоновича; вместо этого приходится использовать несколько более сложную лемму Ито .

Преобразование между интегралами Ито и Стратоновича можно выполнить по формуле

\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},

где $f$ — любая непрерывно дифференцируемая функция двух переменных $W$ и $t$ и последний интеграл — это интеграл Ито ( Kloeden & Platen 1992 , стр. 101).

Уравнения Ланжевена иллюстрируют важность указания интерпретации (Стратоновича или Ито) в данной задаче. Предполагать $X_{t}$ представляет собой однородную во времени диффузию Ито с непрерывно дифференцируемым коэффициентом диффузии $\sigma$ , т.е. оно удовлетворяет СДУ $\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ . Чтобы получить соответствующую версию Стратоновича, термин $\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ (в интерпретации Ито) следует перевести как $\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}$ (в интерпретации Стратоновича) как

\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.

Очевидно, если $\sigma$ не зависит от $X_{t}$ , две интерпретации приведут к одной и той же форме уравнения Ланжевена. В этом случае шумовой член называется «аддитивным» (поскольку шумовой член $dW_{t}$ умножается только на фиксированный коэффициент). В противном случае, если $\sigma =\sigma (X_{t})$ , уравнение Ланжевена в форме Ито может вообще отличаться от уравнения в форме Стратоновича, и в этом случае шумовой член называется мультипликативным (т. е. шумовой член $dW_{t}$ умножается на функцию $X_{t}$ то есть $\sigma (X_{t})$ ).

В более общем смысле для любых двух семимартингалов $X$ и $Y$

\int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},

где $[X,Y]_{T}^{c}$ является непрерывной частью ковариации .

в приложениях Интегралы Стратоновича

Интеграл Стратоновича лишен того важного свойства интеграла Ито, который не «заглядывает в будущее». Во многих реальных приложениях, таких как моделирование цен на акции, имеется информация только о прошлых событиях, и, следовательно, интерпретация Ито более естественна. В финансовой математике обычно используется интерпретация Ито.

Однако в физике стохастические интегралы встречаются как решения уравнений Ланжевена . Уравнение Ланжевена представляет собой более грубую версию более микроскопической модели ( Рискен, 1996 ); в зависимости от рассматриваемой проблемы подходят интерпретации Стратоновича или Ито или даже более экзотические интерпретации, такие как изотермическая интерпретация. Интерпретация Стратоновича является наиболее часто используемой интерпретацией в физических науках.

Теорема Вонга – Закаи утверждает, что физические системы со спектром небелого шума характеризуются конечным временем корреляции шума. $\tau$ может быть аппроксимирована уравнениями Ланжевена с белым шумом в интерпретации Стратоновича в пределе $\tau$ стремится к нулю. ^{[ нужна ссылка ]}

Поскольку исчисление Стратоновича удовлетворяет обычному цепному правилу, стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) в смысле Стратоновича проще определить на дифференцируемых многообразиях , а не только на $\mathbb {R} ^{n}$ . Хитрое цепное правило исчисления Ито делает его более неудобным выбором для многообразий.

СДУ Стратоновича и суперсимметричная Интерпретация теория

В суперсимметричной теории СДУ рассматривается оператор эволюции, полученный усреднением обратного образа, индуцированного на внешней алгебре фазового пространства стохастическим потоком, определяемым СДУ. В этом контексте естественно использовать интерпретацию СДУ Стратоновича.

Примечания [ править ]

^ Гардинер (2004), с. 98 и комментарий к с. 101
^ Перес-Карраско Р.; Санчо Дж. М. (2010). «Стохастические алгоритмы для разрывного мультипликативного белого шума» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 81 (3): 032104. Бибкод : 2010PhRvE..81c2104P . дои : 10.1103/PhysRevE.81.032104 . ПМИД 20365796 .

Ссылки [ править ]

Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Шпрингер, Берлин. ISBN 3-540-04758-1 .
Гардинер, Криспин В. (2004). Справочник по стохастическим методам (3-е изд.). Шпрингер, Берлин Гейдельберг. ISBN 3-540-20882-8 .
Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Конспект лекций IMS Монография . 45 : 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632 .
Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Приложения математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-54062-5 . .

Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера-Планка . Спрингеровская серия по синергетике. Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61530-9 . .

[1] Гардинер (2004), с. 98 и комментарий к с. 101

[2] Перес-Карраско Р.; Санчо Дж. М. (2010). «Стохастические алгоритмы для разрывного мультипликативного белого шума» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 81 (3): 032104. Бибкод : 2010PhRvE..81c2104P . дои : 10.1103/PhysRevE.81.032104 . ПМИД 20365796 .

[1]

[2]