Двойная норма

В функциональном анализе двойственная норма является мерой размера непрерывной линейной функции, определенной в нормированном векторном пространстве .

Определение

Позволять $X$ быть нормированным векторным пространством с нормой $\|\cdot \|$ и разреши $X^{*}$обозначим его непрерывное двойственное пространство . Двойственная норма непрерывного линейного функционала $f$ принадлежащий $X^{*}$ определяется неотрицательное действительное число по любой из следующих эквивалентных формул:

$${\begin{alignedat}{5}\|f\|&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|\leq 1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~:~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ for all }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1{\text{ or }}0~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ and }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\\end{alignedat}}$$

где $\sup$ и $\inf$обозначаем верхнюю и нижнюю грани соответственно. Константа $0$ карта является источником векторного пространства $X^{*}$ и это всегда норма $\|0\|=0.$ Если $X=\{0\}$ тогда единственный линейный функционал на $X$ константа $0$ map, причем оба множества в последних двух строках будут пустыми и, следовательно, их супремумы будут равны $\sup \varnothing =-\infty$ вместо правильного значения $0.$

Важно отметить, что линейная функция $f$ как правило, не гарантируется достижение своей нормы $\|f\|=\sup\{|fx|:\|x\|\leq 1,x\in X\}$ на замкнутом единичном шаре $\{x\in X:\|x\|\leq 1\},$ это означает, что вектора может не существовать $u\in X$ нормы $\|u\|\leq 1$ такой, что $\|f\|=|fu|$ (если такой вектор существует и если $f\neq 0,$ затем $u$ обязательно будет иметь единичную норму $\|u\|=1$). Р. К. Джеймс доказал теорему Джеймса в 1964 году, которая утверждает, что банахово пространство $X$ рефлексивна тогда и только тогда , когда каждая ограниченная линейная функция $f\in X^{*}$ достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. Отсюда, в частности, следует, что каждое нерефлексивное банахово пространство имеет некоторый ограниченный линейный функционал, который не достигает своей нормы на замкнутом единичном шаре. Однако теорема Бишопа-Фелпса гарантирует, что множество ограниченных линейных функционалов, достигающих своей нормы на единичной сфере банахова пространства, является плотным по норме подмножеством непрерывного дуального пространства .

Карта $f\mapsto \|f\|$ определяет норму на $X^{*}.$(См. теоремы 1 и 2 ниже.) Двойственная норма является частным случаем операторной нормы , определенной для каждого (ограниченного) линейного отображения между нормированными векторными пространствами. Поскольку поле наземное $X$ ( $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$) завершено , $X^{*}$является банаховым пространством . Топология на $X^{*}$ индуцированный $\|\cdot \|$ оказывается более сильной, чем топологияweak-* на $X^{*}.$

Двойной двойник нормированного линейного пространства

Двойной дуал (или второй дуал) $X^{**}$ из $X$ является двойственным нормированному векторному пространству $X^{*}$. Существует естественная карта $\varphi :X\to X^{**}$. Действительно, для каждого $w^{*}$ в $X^{*}$ определять

$$\varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).$$

Карта $\varphi$ является линейным , инъективным и сохраняющим расстояние . В частности, если $X$ полно (т.е. банахово пространство), то $\varphi$ является изометрией замкнутого подпространства $X^{**}$.

В целом карта $\varphi$не является сюръективным. Например, если $X$ это банахово пространство $L^{\infty }$ состоящее из ограниченных функций на вещественной прямой с супремумной нормой, то отображение $\varphi$не является сюръективным. (Видеть $L^{p}$космос ). Если $\varphi$ сюръективно, то $X$называется рефлексивным банаховым пространством . Если $1<p<\infty ,$ тогда пространство $L^{p}$ является рефлексивным банаховым пространством.

Примеры

Двойная норма для матриц

Основные статьи: оператор Гильберта – Шмидта и матричная норма § норма Фробениуса

The Норма Фробениуса, определяемая формулой

$$\|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}$$

самодуален, т. е. его двойственная норма равна $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$

The спектральная норма , частный случай индуцированной нормы , когда $p=2$, определяется максимальными сингулярными значениями матрицы, то есть

$$\|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A),$$

имеет ядерную норму как свою двойственную норму, которая определяется формулой

$$\|B\|'_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),$$

для любой матрицы $B$ где $\sigma _{i}(B)$ обозначают сингулярные значения .

Если $p,q\in [1,\infty ]$ тень ​ $\ell ^{p}$-норма на матрицах двойственна норме Шаттена $\ell ^{q}$-норма.

Конечномерные пространства

Позволять $\|\cdot \|$ быть нормой для $\mathbb {R} ^{n}.$ Соответствующая двойственная норма , обозначаемая $\|\cdot \|_{*},$ определяется как

$$\|z\|_{*}=\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|\leq 1\}.$$

(Можно показать, что это норма.) Двойственную норму можно интерпретировать как норму операторную $z^{\intercal },$ интерпретируется как $1\times n$ матрица, с нормой $\|\cdot \|$ на $\mathbb {R} ^{n}$, и абсолютное значение на $\mathbb {R}$:

$$\|z\|_{*}=\sup\{|z^{\intercal }x|:\|x\|\leq 1\}.$$

Из определения двойственной нормы имеем неравенство

$$z^{\intercal }x=\|x\|\left(z^{\intercal }{\frac {x}{\|x\|}}\right)\leq \|x\|\|z\|_{*}$$

что справедливо для всех $x$ и $z.$ Двойственная двойственной норме является исходной нормой: мы имеем $\|x\|_{**}=\|x\|$ для всех $x.$ (Это не обязательно справедливо в бесконечномерных векторных пространствах.)

Двойственной евклидовой норме является евклидова норма, поскольку

$$\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{2}\leq 1\}=\|z\|_{2}.$$

(Это следует из неравенства Коши–Шварца ; при ненулевом $z,$ значение $x$ это максимизирует $z^{\intercal }x$ над $\|x\|_{2}\leq 1$ является ${\tfrac {z}{\|z\|_{2}}}.$)

Двойник $\ell ^{\infty }$-норма – это $\ell ^{1}$-норма:

$$\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{\infty }\leq 1\}=\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=\|z\|_{1},$$

и двойник $\ell ^{1}$-норма – это $\ell ^{\infty }$-норма.

В более общем смысле неравенство Гёльдера показывает, что двойственное неравенство $\ell ^{p}$-норма – это $\ell ^{q}$-норма, где $q$ удовлетворяет ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,$ то есть, $q={\tfrac {p}{p-1}}.$

В качестве другого примера рассмотрим $\ell ^{2}$- или спектральная норма на $\mathbb {R} ^{m\times n}$. Соответствующая двойная норма

$$\|Z\|_{2*}=\sup\{\mathbf {tr} (Z^{\intercal }X):\|X\|_{2}\leq 1\},$$

который оказывается суммой сингулярных значений,

$$\|Z\|_{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal }Z}}),$$

где $r=\mathbf {rank} Z.$ Эту норму иногда называют ядерная норма .

л ^п и ℓ ^п пробелы

См. Также: пространство Lp и теорема о представлении Рисса.

Для $p\in [1,\infty ],$ p -норма (также называемая $\ell _{p}$-норма) вектора $\mathbf {x} =(x_{n})_{n}$ является

$$\|\mathbf {x} \|_{p}~:=~\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.$$

Если $p,q\in [1,\infty ]$ удовлетворить $1/p+1/q=1$ тогда $\ell ^{p}$ и $\ell ^{q}$ нормы двойственны друг другу, и то же самое справедливо и в отношении $L^{p}$ и $L^{q}$ нормы, где $(X,\Sigma ,\mu ),$это некоторое пространство с мерой . В частности, евклидова норма самодвойственна, поскольку $p=q=2.$ Для ${\sqrt {x^{\mathrm {T} }Qx}}$, двойственная норма ${\sqrt {y^{\mathrm {T} }Q^{-1}y}}$ с $Q$ положительно определенный.

Для $p=2,$ тот $\|\,\cdot \,\|_{2}$-норма даже индуцируется каноническим скалярным произведением $\langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,$ означающий, что $\|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ для всех векторов $\mathbf {x} .$Этот внутренний продукт можно выразить через норму, используя тождество поляризации . На $\ell ^{2},$ это Евклидов внутренний продукт, определяемый формулой

$$\langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}$$

а для космоса $L^{2}(X,\mu )$ связанный с пространством меры $(X,\Sigma ,\mu ),$ который состоит из всех интегрируемых с квадратом функций , этот внутренний продукт равен

$$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.$$

Нормы непрерывных дуальных пространств $\ell ^{2}$ и $\ell ^{2}$удовлетворяют идентичности поляризации , и поэтому эти двойственные нормы можно использовать для определения внутренних продуктов. Благодаря этому скалярному произведению это двойственное пространство также является гильбертовым пространством .

Свойства

Учитывая нормированные векторные пространства $X$ и $Y,$ позволять $L(X,Y)$ — совокупность всех ограниченных линейных отображений (или операторов ) $X$ в $Y.$ Затем $L(X,Y)$ может быть задана каноническая норма.

Теорема 1. Пусть $X$ и $Y$быть нормированными пространствами. Присвоение каждому непрерывному линейному оператору $f\in L(X,Y)$ скаляр

$$\|f\|=\sup\{\|f(x)\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}$$

определяет норму $\|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R}$ на $L(X,Y)$ что делает $L(X,Y)$в нормированное пространство. Более того, если $Y$ является банаховым пространством, то так оно и есть $L(X,Y).$

показывать Доказательство

A subset of a normed space is bounded if and only if it lies in some multiple of the unit sphere; thus $\|f\|<\infty$ for every $f\in L(X,Y)$ if $\alpha$ is a scalar, then $(\alpha f)(x)=\alpha \cdot fx$ so that $$\|\alpha f\|=|\alpha |\|f\|.$$ The triangle inequality in $Y$ shows that $${\begin{aligned}\|\left(f_{1}+f_{2}\right)x\|~&=~\|f_{1}x+f_{2}x\|\\&\leq ~\|f_{1}x\|+\|f_{2}x\|\\&\leq ~\left(\|f_{1}\|+\|f_{2}\|\right)\|x\|\\&\leq ~\|f_{1}\|+\|f_{2}\|\end{aligned}}$$ for every $x\in X$ satisfying $\|x\|\leq 1.$ This fact together with the definition of $\|\cdot \|~:~L(X,Y)\to \mathbb {R}$ implies the triangle inequality: $$\|f+g\|\leq \|f\|+\|g\|.$$ Since $\{|f(x)|:x\in X,\|x\|\leq 1\}$ is a non-empty set of non-negative real numbers, $\|f\|=\sup \left\{|f(x)|:x\in X,\|x\|\leq 1\right\}$ is a non-negative real number. If $f\neq 0$ then $fx_{0}\neq 0$ for some $x_{0}\in X,$ which implies that $\left\|fx_{0}\right\|>0$ and consequently $\|f\|>0.$ This shows that $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ is a normed space. Assume now that $Y$ is complete and we will show that $(L(X,Y),\|\cdot \|)$ is complete. Let $f_{\bullet }=\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ be a Cauchy sequence in $L(X,Y),$ so by definition $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\to 0$ as $n,m\to \infty .$ This fact together with the relation $$\left\|f_{n}x-f_{m}x\right\|=\left\|\left(f_{n}-f_{m}\right)x\right\|\leq \left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|$$ implies that $\left(f_{n}x\right)_{n=1}^{\infty }$ is a Cauchy sequence in $Y$ for every $x\in X.$ It follows that for every $x\in X,$ the limit $\lim _{n\to \infty }f_{n}x$ exists in $Y$ and so we will denote this (necessarily unique) limit by $fx,$ that is: $$fx~=~\lim _{n\to \infty }f_{n}x.$$ It can be shown that $f:X\to Y$ is linear. If $\varepsilon >0$, then $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ for all sufficiently large integers n and m. It follows that $$\left\|fx-f_{m}x\right\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$$ for sufficiently all large $m.$ Hence $\|fx\|\leq \left(\left\|f_{m}\right\|+\varepsilon \right)\|x\|,$ so that $f\in L(X,Y)$ and $\left\|f-f_{m}\right\|\leq \varepsilon .$ This shows that $f_{m}\to f$ in the norm topology of $L(X,Y).$ This establishes the completeness of $L(X,Y).$

Когда $Y$ является скалярным полем (т.е. $Y=\mathbb {C}$ или $Y=\mathbb {R}$) так что $L(X,Y)$ это двойное пространство $X^{*}$ из $X.$

Теорема 2. Пусть $X$ быть нормированным пространством и для каждого $x^{*}\in X^{*}$ позволять

$$\left\|x^{*}\right\|~:=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x\in X{\text{ with }}\|x\|\leq 1\right\}$$

где по определению $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$является скаляром. Затем

1. $\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ это норма , которая делает $X^{*}$ банахово пространство.
2. Если $B^{*}$ представляет собой замкнутый единичный шар $X^{*}$ тогда для каждого $x\in X,$
   $${\begin{alignedat}{4}\|x\|~&=~\sup \left\{|\langle x,x^{*}\rangle |~:~x^{*}\in B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left|x^{*}(x)\right|~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1{\text{ with }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\\end{alignedat}}$$
   Следовательно, $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ является ограниченным линейным функционалом на $X^{*}$ с нормой $\|x^{*}\|~=~\|x\|.$
3. $B^{*}$ является слабым*-компактным.

показывать Доказательство

Let $B~=~\sup\{x\in X~:~\|x\|\leq 1\}$denote the closed unit ball of a normed space $X.$ When $Y$ is the scalar field then $L(X,Y)=X^{*}$ so part (a) is a corollary of Theorem 1. Fix $x\in X.$ There exists $y^{*}\in B^{*}$ such that $$\langle {x,y^{*}}\rangle =\|x\|.$$ but, $$|\langle {x,x^{*}}\rangle |\leq \|x\|\|x^{*}\|\leq \|x\|$$ for every $x^{*}\in B^{*}$. (b) follows from the above. Since the open unit ball $U$ of $X$ is dense in $B$, the definition of $\|x^{*}\|$ shows that $x^{*}\in B^{*}$ if and only if $|\langle {x,x^{*}}\rangle |\leq 1$ for every $x\in U$. The proof for (c) now follows directly.

Как обычно, пусть $d(x,y):=\|x-y\|$ обозначим каноническую метрику , индуцированную нормой на $X,$ и обозначим расстояние от точки $x$ к подмножеству $S\subseteq X$ к

$$d(x,S)~:=~\inf _{s\in S}d(x,s)~=~\inf _{s\in S}\|x-s\|.$$

Если $f$ — ограниченный линейный функционал в нормированном пространстве $X,$ тогда для каждого вектора $x\in X,$

$$|f(x)|=\|f\|\,d(x,\ker f),$$

где $\ker f=\{k\in X:f(k)=0\}$ обозначает ядро ​ $f.$

См. также

• Выпуклое сопряжение – обобщение преобразования Лежандра.
• Неравенство Гельдера - Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Пространство Lp - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.
• Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
• Поляризационная идентичность - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.

Ссылки

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопщика (3-е изд.). Спрингер. ISBN  9783540326960 .
• Бойд, Стивен ; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521833783 .
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90859-5 . OCLC   9556781 .
• Хасимото, Кадзуо; Накамура, генерал; Охару, Шинноске (1 января 1986 г.). «Лемма Рисса и ортогональность в нормированных пространствах» (PDF) . Хиросимский математический журнал . 16 (2). Университет Хиросимы – математический факультет. дои : 10.32917/hmj/1206130429 . ISSN   0018-2079 .
• Колмогоров А.Н. ; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Внешние ссылки

• Заметки Ливена Ванденберге о проксимальном отображении