Теорема Макки – Аренса

Теорема Макки-Аренса — важная теорема функционального анализа , которая характеризует те локально выпуклые векторные топологии , которые имеют некоторое заданное пространство линейных функционалов в качестве своего непрерывного двойственного пространства . По мнению Наричи (2011), этот глубокий результат занимает центральное место в теории дуальности ; теория, которая является «центральной частью современной теории топологических векторных пространств».

Предварительные условия

Основные статьи: полярная топология и топология Макки

Пусть X — векторное пространство, а Y — векторное подпространство двойственного к X которое разделяет точки на X. алгебраического пространства , Если 𝜏 — любая другая топология локально выпуклого топологического векторного пространства Хаусдорфа на X , то мы говорим, что 𝜏 совместимо с двойственностью между X и Y , если, когда X снабжено 𝜏 , тогда Y является его непрерывным двойственным пространством. Если мы дадим X слабую топологию 𝜎( X , Y ) , то X _{𝜎( X , Y )} является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) и 𝜎( X , Y ) совместимо с двойственностью между X и Y (т.е. $X_{\sigma (X,Y)}^{\prime }=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)^{\prime }=Y$). Теперь мы можем задать вопрос: какие все локально выпуклые ТВС-топологии Хаусдорфа, которые мы можем разместить на X , совместимы с двойственностью между X и Y ? Ответ на этот вопрос называется теоремой Макки–Аренса.

Теорема Макки – Аренса

Теорема Макки – Аренса — Пусть X — векторное пространство, а 𝒯 — локально выпуклая топология векторного пространства Хаусдорфа на X . Пусть X ' обозначает непрерывное двойственное пространство к X и пусть $X_{\mathcal {T}}$ обозначим X с топологией 𝒯. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. 𝒯 идентичен ${\mathcal {G}}^{\prime }$-топология на X , где ${\mathcal {G}}^{\prime }$ есть покрытие < X ', состоящее из выпуклых сбалансированных σ( X ' , X ) -компактных множеств со свойствами,
   1. Если $G_{1}^{\prime },G_{2}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ тогда существует $G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ такой, что $G_{1}^{\prime }\cup G_{2}^{\prime }\subseteq G^{\prime }$, и
   2. Если $G_{1}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ и $\lambda$ является скаляром, то существует $G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ такой, что $\lambda G_{1}^{\prime }\subseteq G^{\prime }$.
2. Непрерывный двойник $X_{\mathcal {T}}$ идентичен X ' .

И более того,

1. топология 𝒯 идентична топологии ε( X , X ' ) , т. е. топологии равномерной по сходимости на равностепенных подмножествах X ' .
2. топология Макки τ( X , X ' ) — это тончайшая локально выпуклая TVS-топология Хаусдорфа на X , совместимая с двойственностью между X и $X_{\mathcal {T}}^{\prime }$, и
3. слабая топология σ( X , X ' ) - это самая грубая локально выпуклая TVS-топология Хаусдорфа на X , совместимая с двойственностью между X и $X_{\mathcal {T}}^{\prime }$.

См. также

• Двойная система
• Топология Макки
• Полярная топология

Источники

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .