Примитивное кольцо

В разделе абстрактной алгебры, известном как теория колец , левое примитивное кольцо — это кольцо , имеющее точный простой левый модуль . Хорошо известные примеры включают кольца эндоморфизмов векторных пространств и алгебры Вейля над полями характеристики нулевой .

Определение

Кольцо R называется левым примитивным кольцом, если оно имеет точный простой левый R -модуль . Правое примитивное кольцо определяется аналогично правым R -модулям. Есть кольца, примитивные с одной стороны, но не с другой. Первый пример был построен Джорджем М. Бергманом ( Bergman 1964 ). Другой пример, найденный Джатегаонкаром и показывающий это различие, можно найти у Роуэна (1988 , стр. 159).

Внутренняя характеризация левопримитивных колец такова: кольцо является левопримитивным тогда и только тогда, когда существует максимальный левый идеал , не содержащий ненулевых двусторонних идеалов . Аналогичное определение для правопримитивных колец также справедливо.

Структура левопримитивных колец полностью определяется теоремой плотности Джекобсона : кольцо является левопримитивным тогда и только тогда, когда оно плотному подкольцу изоморфно кольца эндоморфизмов левого векторного пространства над телом .

Другое эквивалентное определение гласит, что кольцо является примитивным слева тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом с точным левым модулем конечной длины ( Lam 2001 , Ex. 11.19, стр. 191 ).

Свойства

Односторонние примитивные кольца являются как полупримитивными , так и первичными кольцами . Поскольку кольцо произведения двух или более ненулевых колец не является простым, ясно, что произведение примитивных колец никогда не является примитивным.

Для левого артинова кольца известно, что условия «левая примитивная», «правая примитивная», «простая» и « простая » эквивалентны, и в этом случае это полупростое кольцо, изоморфное кольцу квадратных матриц над разделительное кольцо. В более общем смысле, в любом кольце с минимальным односторонним идеалом «левый примитив» = «правый примитив» = «простой».

Коммутативное кольцо является примитивным слева тогда и только тогда, когда оно является полем .

Оставаться примитивным — это свойство инварианта Мориты .

Примеры

Каждое простое кольцо R с единицей является примитивным одновременно слева и справа. (Однако простое неединичное кольцо не может быть примитивным.) Это следует из того, что R имеет максимальный левый идеал M , а также из того факта, что фактор-модуль R / M является простым левым R -модулем и что его аннулятор — собственный двусторонний идеал в R . Поскольку R — простое кольцо, этот аннулятор — это {0} и, следовательно, R / M — точный левый R -модуль.

Алгебры Вейля над полями нулевой характеристики примитивны и, поскольку они являются областями , являются примерами без минимальных односторонних идеалов.

Полные линейные кольца

Особым случаем примитивных колец являются полные линейные кольца . Полное слева линейное кольцо — это кольцо всех линейных преобразований бесконечномерного левого векторного пространства над телом. ( Правое полное линейное кольцо отличается тем, что вместо него используется правое векторное пространство.) В символах $R=\mathrm {End} (_{D}V)$ где V векторное пространство над телом D. — Известно, что R — полное линейное слева кольцо тогда и только тогда, когда R регулярно по фон Нейману , самоинъективно слева с цоколем soc( _R R ) ≠ {0}. С помощью аргументов линейной алгебры можно показать, что $\mathrm {End} (_{D}V)\,$ изоморфно кольцу конечных по строкам матриц $\mathbb {RFM} _{I}(D)\,$, где I размер которого равен размерности V над D. — набор индексов , Аналогично, полные справа линейные кольца могут быть реализованы как конечные по столбцу матрицы над D .

Используя это, мы видим, что существуют непростые левопримитивные кольца. Согласно характеристике плотности Джекобсона, полное слева линейное кольцо R всегда является примитивным слева. Когда dim _D V конечно, R является кольцом квадратных матриц над D , но когда dim _D V бесконечно, множество линейных преобразований конечного ранга является собственным двусторонним идеалом R , и, следовательно, R не является простым.

См. также

• первобытный идеал

Ссылки

• Бергман, GM (1964), «Примитивное кольцо справа, но не слева», Proceedings of the American Mathematical Society , 15 (3), American Mathematical Society: 473–475, doi : 10.1090/S0002-9939-1964 -0167497-4 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2034527 , MR   0167497 стр. 1000 ошибок
• Гудирл, КР (1991), регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. xviii+412, ISBN  0-89464-632-Х , МР   1150975
• Лам, Ци-Юэнь (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике, том. 131 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  9781441986160 , МР   1838439
• Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец. Том. Я , Чистая и прикладная математика, вып. 127, Бостон, Массачусетс: Academic Press Inc., стр. xxiv+538, ISBN.  0-12-599841-4 , МР   0940245