Противоположное кольцо

В математике , в частности в абстрактной алгебре , противоположностью кольца . является другое кольцо с теми же элементами и операцией сложения, но с умножением, выполняемым в обратном порядке Более явно, противоположностью кольца ( R , +, ⋅ ) является кольцо ( R , +, ∗), умножение ∗ которого определяется формулой a ∗ b = b ⋅ a для всех a , b в R . Противоположное кольцо можно использовать для определения мультимодулей , обобщения бимодулей . Они также помогают прояснить связь между левым и правым модулями (см. § Свойства ).

Моноиды , группы , кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом . Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу , противоположное кольцо и т. д.

Отношение к автоморфизмам и антиавтоморфизмам

В этом разделе символ умножения в противоположном кольце заменен со звездочки на ромб, чтобы не путать его с некоторыми унарными операциями.

Кольцо называется самопротивоположным, если оно изоморфно противоположному кольцу: какое имя указывает на то, что $R^{\text{op}}$ по сути то же самое, что ⁠ $R$⁠ .

Все коммутативные кольца самопротиворечивы.

Определим антиизоморфизм

⁠ $\iota :(R,\diamond )\to (R,\cdot )$⁠ , где $\iota (a)=a$ для ⁠ $a\in R$⁠ .

Это действительно антиизоморфизм, поскольку ⁠ $\iota (a\diamond b)=a\diamond b=b\cdot a=\iota (b)\cdot \iota (a)$⁠ .Антиизоморфизм $\iota$ в общем случае может быть определен для полугрупп, моноидов, групп, колец, градуировок, алгебр. В случае колец (и грегс) мы получаем общую эквивалентность.

Кольцо самопротивоположна тогда и только тогда, когда она имеет хотя бы один антиавтоморфизм.

Доказательство: ⁠ $\Rightarrow$⁠ : Пусть $(R,\cdot )$ быть противоположностью себе. Если $f:(R,\cdot )\to (R,\diamond )$ является изоморфизмом, то ⁠ $\iota \circ f$⁠ , являясь композицией антиизоморфизма и изоморфизма, является антиизоморфизмом из $(R,\cdot )$ самому себе, следовательно, антиавтоморфизм.

⁠ $\Leftarrow$⁠ : Если $g:(R,\cdot )\to (R,\cdot )$ является антиавтоморфизмом, то $(\iota ^{-1}\circ g):(R,\cdot )\to (R,\diamond )$ является изоморфизмом как композиция двух антиизоморфизмов. Так $(R,\cdot )$ является самопротивоположным.

и

Если $(R,\cdot )$ самопротивоположна, а группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} (R,\cdot )$ конечно, то число антиавтоморфизмов равно числу автоморфизмов.

Доказательство. По предположению и указанной выше эквивалентности существуют антиавтоморфизмы. Если мы выберем один из них и обозначим его ⁠ $q$⁠ , то карта ⁠ $h\mapsto q\circ h$⁠ , где $h$ наезжает ⁠ $\operatorname {Aut} (R,\cdot )$⁠ , очевидно, инъективен, но также и сюръективен, поскольку каждый антиавтоморфизм $g=q\circ (q^{-1}\circ g)=q\circ h$ для некоторого автоморфизма ⁠ $h$⁠ .

Аналогично доказывается, что при тех же предположениях число изоморфизмов из $(R,\cdot )$ к $(R,\diamond )$ равно количеству антиавтоморфизмов ⁠ $(R,\cdot )$⁠ .

Если некоторый антиавтоморфизм $g$ также является автоморфизмом, то для каждого $a,b\in (R,\cdot )$

$g(a\cdot b)=g(b)\cdot g(a)=g(b\cdot a)$

С $g$ является биективным, $a\cdot b=b\cdot a$ для всех $a$ и ⁠ $b$⁠ , поэтому кольцо коммутативно и все антиавтоморфизмы являются автоморфизмами. Напротив, если кольцо некоммутативно (и самопротивоположно), то никакой антиавтоморфизм не является автоморфизмом.

Обозначим через $G$ группа всех автоморфизмов вместе со всеми антиавтоморфизмами. Из приведенных выше замечаний следует, что $\vert G\vert =2\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert$ если кольцо (или кольцо) некоммутативно и самопротивоположно. Если он коммутативен или несамопротивоположен, то ⁠ $\vert G\vert =\vert \mathrm {Aut} (R,\cdot )\vert$⁠ .

Примеры

Наименьшее некоммутативное кольцо с единицей

Самое маленькое такое кольцо $R$ имеет восемь элементов и является единственным некоммутативным кольцом среди 11 колец с единицей порядка 8 с точностью до изоморфизма. Имеет аддитивную группу ⁠ $\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{3}$⁠ . Очевидно $R^{\text{op}}$ антиизоморфен ⁠ $R$⁠ , как всегда, но он также изоморфен ⁠ $R$⁠ . Ниже приведены таблицы сложения и умножения в ⁠. $R$⁠ , и умножение в противоположном кольце, которое представляет собой транспонированную таблицу.

Добавление + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 6 7 5 4 2 3 2 2 6 0 4 3 7 1 5 3 3 7 4 0 2 6 5 1 4 4 5 3 2 0 1 7 6 5 5 4 7 6 1 0 3 2 6 6 2 1 5 7 3 0 4 7 7 3 5 1 6 2 4 0

Умножение $\cdot$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 3 7 5 6 4 3 0 3 5 3 6 5 6 0 4 0 4 4 0 4 0 0 4 5 0 5 3 3 0 5 6 6 6 0 6 6 0 6 0 0 6 7 0 7 7 0 7 0 0 7

Противоположное умножение $\diamond$ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 1 5 4 3 6 7 3 0 3 3 3 0 3 0 0 4 0 4 7 6 4 0 6 7 5 0 5 5 5 0 5 0 0 6 0 6 6 6 0 6 0 0 7 0 7 4 0 4 6 6 7

Чтобы доказать, что два кольца изоморфны, возьмем отображение $f:R^{\text{op}}\to R$ дано по таблице

Изоморфизм между $R$ и $R^{\text{op}}$

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7
$f(x)$	0	1	2	4	3	7	6	5

Карта меняет местами элементы только в двух парах: $3\leftrightarrow 4$ и ⁠ $5\leftrightarrow 7$⁠ . Переименуйте соответственно элементы в таблице умножения для $\diamond$ (аргументы и значения). Затем измените порядок строк и столбцов, чтобы вернуть аргументы в возрастающий порядок. Таблица становится точной таблицей умножения ⁠. $R$⁠ . Подобные изменения в таблице группы добавок дают ту же таблицу, поэтому $f$ является автоморфизмом этой группы, и поскольку $f(1)=1$, это действительно кольцевой изоморфизм.

Карта инволютивна, т.е. ⁠ $f\circ f={\text{id}}$⁠ , так что $f^{-1}$= $f$ и это изоморфизм $R$ к $R^{\text{op}}$ одинаково хорошо.

Итак, перестановка $f$ можно переинтерпретировать для определения изоморфизма $f:(R,\cdot )\rightarrow (R,\diamond )$ а потом $q=\iota \circ f$ является антиавтоморфизмом $(R,\cdot )$ задано той же перестановкой ⁠ $q=(3,4)(5,7)$⁠ .

Кольцо $R$ имеет ровно два автоморфизма: тождество $\operatorname {id} _{R}$ и $p=(3,5)(4,7)$, то есть $\operatorname {Aut} (R)=\{\operatorname {id} _{R},p\}$. Итак, это полная группа $G$ имеет четыре элемента, два из которых являются антиавтоморфизмами. Один из них $q$ а второй обозначим через $r$, можно рассчитать

$r=q\circ p=(3,4)(5,7)(3,5)(4,7)=(3,7)(4,5)$

$G=\{\operatorname {id} _{R},p,q,r\}=\{\operatorname {id} _{R},(3,5)(4,7),(3,4)(5,7),(3,7)(4,5)\}$

Элемента порядка 4 нет, поэтому группа не циклическая и должна быть группой $\mathrm {D} _{2}$ ( группа Клейна ⁠ $\mathrm {K} _{4}$⁠ ), что можно подтвердить расчетом. «Группа симметрии» этого кольца изоморфна группе симметрии прямоугольника.

Некоммутативное кольцо из 27 элементов.

Кольцо верхних треугольных матриц размера 2 × 2 над полем из 3 элементов ${\text{F}}_{3}$ имеет 27 элементов и является некоммутативным кольцом. Оно единственно с точностью до изоморфизма, т. е. ему изоморфны все некоммутативные кольца с единицей и 27 элементами. Самое большое некоммутативное кольцо $S$ Занесенный в «Книгу колец» содержит 27 элементов и также изоморфен. В этом разделе использованы обозначения из «Книги» для элементов $S$ используется. Следует иметь в виду две вещи: элемент, обозначаемый $18$ это единство $S$ и это $1$ это не единство. Аддитивная группа $S$ это ⁠ $\mathrm {C} _{3}^{3}$⁠ . Группа всех автоморфизмов $\operatorname {Aut} (S)$ имеет 6 элементов:

${\begin{aligned}h_{1}&=\operatorname {id} _{S}\\h_{2}&=(1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\h_{3}&=(1,25,13)(2,14,26)(4,19,16)(5,17,20)(7,22,10)(8,11,23)=h_{2}^{-1}=h_{2}^{2}\\h_{4}&=(4,16)(5,17)(7,22)(8,23)(13,25)(14,26)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{5}&=(1,13)(2,26)(4,19)(8,11)(10,22)(17,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\h_{6}&=(1,25)(2,14)(5,20)(7,10)(11,23)(16,19)(3,15)(6,21)(12,24).\end{aligned}}$

С $S$ самопротивоположна, имеет также 6 антиавтоморфизмов.Один изоморфизм $f:(S,\cdot )\to (S,\diamond )$ это ⁠ $f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)$⁠ , что можно проверить с помощью таблиц операций в «Книге», как и в первом примере, переименовав и переставив. На этот раз изменения следует внести в исходные таблицы операций $S=(S,\cdot )$. В результате получается таблица умножения. $S^{\operatorname {op} }=(S,\diamond )$ и таблица сложения остается неизменной.Таким образом, один антиавтоморфизм

$q_{1}=\iota \circ f=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)$

задаётся той же перестановкой. Остальные пять можно вычислить (в мультипликативной записи символ композиции $\circ$ можно скинуть):

${\begin{aligned}q_{2}&=q_{1}h_{2}=(1,14,13,2,25,26)(4,20,16,17,19,5)(7,8,10,23,22,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&\quad \cdot (1,13,25)(2,26,14)(4,16,19)(5,20,17)(7,10,22)(8,23,11)\\&=[(1,14,13,2,25,26)(1,13,25)(2,26,14)][(4,20,16,17,19,5)(4,16,19)(5,20,17)]\\&\quad \cdot [(7,8,10,23,22,11)(7,10,22)(8,23,11)](3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(13,26)(14,25)(4,17)(5,16)(19,20)(7,23)(8,22)(10,11)(3,15)(6,21)(12,24)\\&=(1,2)(4,17)(5,16)(7,23)(8,22)(10,11)(13,26)(14,25)(19,20)(3,15)(6,21)(12,24)\\q_{3}&=q_{1}h_{3}=(1,26,25,2,13,14)(4,5,19,17,16,20)(7,11,22,23,10,8)(3,15)(6,21)(12,24)=q_{1}^{-1}\\q_{4}&=q_{1}h_{4}=(1,14)(2,25)(4,17)(5,19)(7,11)(8,22)(10,23)(13,26)(16,20)\\q_{5}&=q_{1}h_{5}=(1,2)(4,5)(7,8)(10,11)(13,14)(16,17)(19,20)(22,23)(25,26)\\q_{6}&=q_{1}h_{6}=(1,26)(2,13)(4,20)(5,16)(7,23)(8,10)(11,22)(14,25)(17,19)\end{aligned}}$

$G=\{h_{1},h_{2},h_{3},h_{4},h_{5},h_{6},q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5},q_{6}\}.$
Группа $G$ имеет 7 элементов порядка 2 (3 автоморфизма и 4 антиавтоморфизма) и может быть идентифицирована как группа диэдра. $\mathrm {D} _{6}$ (см. Список малых групп ).По геометрической аналогии кольцо $S$ имеет «группу симметрии» $G$ изоморфен группе симметрии 3-антипризмы , что такое точечная группа $\mathrm {D} _{\mathrm {3d} }$ в обозначениях Шенфлиса или ${\overline {3}}m$ в кратких обозначениях Германа – Могена для трехмерного пространства.

Наименьшие несамопротивоположные кольца с единицей

Все кольца с единицей порядков от 9 до 15 коммутативны, поэтому они противоположны друг другу. Среди колец 16-го порядка впервые появляются кольца, не самопротивоположные. Из общего числа 50 колец с единицей имеется 4 различных несамопротивоположных кольца. имеющий 16 элементов (37 коммутативный и 13 некоммутативный). Они могут быть соединены в две пары колец, противоположных друг другу в паре, и обязательно с одной и той же аддитивной группой, так как антиизоморфизм колец есть изоморфизм их аддитивных групп.

Одна пара колец $R_{1}$ и $R_{2}=R_{1}^{\text{op}}$ имеет аддитивную группу $\mathrm {C} _{4}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$ и другая пара $R_{3}$ и ⁠ $R_{4}=R_{3}^{\text{op}}$⁠ , группа ⁠ $\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}=\mathrm {C} _{2}^{4}$⁠ . Таблицы их операций в данной статье не представлены, так как их можно найти в цитируемом источнике и можно убедиться, что $R_{3}^{\text{op}}=R_{4}$, они противоположны, но не изоморфны. То же самое справедливо и для пары $R_{1}$ и ⁠ $R_{2}$⁠ , однако, кольцо ${\widetilde {R}}_{2}$ указанный в «Книге колец», не равен, а лишь изоморфен ⁠ $R_{2}$⁠ .
Остальные 13 − 4 = 9 некоммутативных колец самопротивоположны.

Свободная алгебра с двумя генераторами

Свободная алгебра $k\langle x,y\rangle$ над полем $k$ с генераторами $x,y$ имеет умножение от умножения слов. Например,

${\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)\cdot (xyxy+1)=&{\text{ }}2x^{2}yx^{2}yxy+2x^{2}yx\\&+3yxyxyxy+3yxy.\end{aligned}}$

Тогда противоположная алгебра имеет умножение, заданное формулой

${\begin{aligned}(2x^{2}yx+3yxy)*(xyxy+1)&=(xyxy+1)\cdot (2x^{2}yx+3yxy)\\&=2xyxyx^{2}yx+3xyxy^{2}xy+2x^{2}yx+3yxy,\end{aligned}}$

которые не являются равноправными элементами.

Кватернионная алгебра

Алгебра кватернионов $H(a,b)$ над полем $F$ с $a,b\in F^{\times }$ - алгебра с делением, определяемая тремя образующими $i,j,k$ с отношениями

$i^{2}=a,\ j^{2}=b,\ k=ij=-ji$

Все элементы $x\in H(a,b)$ имеют форму

$x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k$, где $x_{0},x_{i},x_{j},x_{k}\in F$

Например, если $F=\mathbb {R}$, затем $H(-1,-1)$ — обычная алгебра кватернионов.

Если умножение $H(a,b)$ обозначается $\cdot$, там есть таблица умножения

$\cdot$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$k$	$aj$
$j$	$-k$	$b$	$-bi$
$k$	$-aj$	$bi$	$-ab$

Тогда противоположная алгебра $H(a,b)^{\text{op}}$ с обозначением умножения $*$ есть стол

$*$	$i$	$j$	$k$
$i$	$a$	$-k$	$-aj$
$j$	$k$	$b$	$bi$
$k$	$aj$	$-bi$	$-ab$

Коммутативное кольцо

Коммутативное кольцо $(R,\cdot )$ изоморфно кольцу своему противоположному $(R,*)=R^{\text{op}}$ с $x\cdot y=y\cdot x=x*y$ для всех $x$ и $y$ в ⁠ $R$⁠ . Они даже равны ⁠ $(R,*)=(R,\cdot )$⁠ , поскольку их операции равны, т.е. ⁠ $*=\cdot$⁠ .

Характеристики

• Два кольца R ₁ и R ₂ изоморфны тогда и только тогда , когда соответствующие им противоположные кольца изоморфны.
• Противоположность кольца R идентична R , то есть ( R ^на ) ^на = Р. ​
• Кольцо и кольцо, противоположное ему, антиизоморфны .
• Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его операция совпадает с противоположной операцией.
• Левые идеалы кольца — это правые идеалы его противоположности.
• Противоположное кольцо тела является телом.
• Левый модуль над кольцом является правым модулем над своей противоположностью, и наоборот.

Ссылки

• Беррик, Эй Джей; Китинг, Мэн (2000). Введение в кольца и модули с учетом К-теории . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 65. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63274-4 .
• Бурбаки, Николя (1989). Алгебра И. Берлин: Springer Verlag. ISBN  978-3-540-64243-5 . OCLC   18588156 .

См. также

• Противоположная группа
• Противоположная категория