Противоположная группа

Это естественное преобразование бинарной операции из группы в ее противоположность. ⟨ g ₁ , g ₂ ⟩ обозначает упорядоченную пару двух элементов группы. *' можно рассматривать как естественное добавление +.

В теории групп , разделе математики , противоположная группа — это способ создания группы из другой группы, который позволяет определить правильное действие как частный случай левого действия .

Моноиды , группы, кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом. Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу, противоположное кольцо и т. д.

Определение

Позволять $G$ быть группой в рамках операции $*$. Противоположная группа $G$, обозначенный $G^{\mathrm {op} }$, имеет тот же базовый набор, что и $G$, и его групповая операция ${\mathbin {\ast '}}$ определяется $g_{1}{\mathbin {\ast '}}g_{2}=g_{2}*g_{1}$.

Если $G$ абелева , то она равна своей противоположной группе. Также каждая группа $G$ (не обязательно абелева) естественно изоморфна своей противоположной группе: изоморфизм $\varphi :G\to G^{\mathrm {op} }$ дается $\varphi (x)=x^{-1}$. В более общем смысле любой антиавтоморфизм $\psi :G\to G$ порождает соответствующий изоморфизм $\psi ':G\to G^{\mathrm {op} }$ с помощью $\psi '(g)=\psi (g)$, с

$\psi '(g*h)=\psi (g*h)=\psi (h)*\psi (g)=\psi (g){\mathbin {\ast '}}\psi (h)=\psi '(g){\mathbin {\ast '}}\psi '(h).$

Групповое действие

Позволять $X$ быть объектом в некоторой категории, и $\rho :G\to \mathrm {Aut} (X)$ быть правильным действием . Затем $\rho ^{\mathrm {op} }:G^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Aut} (X)$ — левое действие, определяемое формулой $\rho ^{\mathrm {op} }(g)x=x\rho (g)$, или $g^{\mathrm {op} }x=xg$.

См. также

• Противоположное кольцо
• Противоположная категория

Внешние ссылки

• http://planetmath.org/oppositegroup