Гиперкомплексное число

Не путать с сверхкомплексным числом .

«Гиперномер» перенаправляется сюда. Для расширения действительных чисел, используемых в нестандартном анализе , см. Гипердействительное число .

В математике гиперкомплексное число — традиционный термин для обозначения элемента конечномерной единичной алгебры над полем действительных чисел . Изучение гиперкомплексных чисел в конце 19 века составляет основу современной теории представления групп .

История

В девятнадцатом веке системы счисления, называемые кватернионами , тессаринами , кокватернионами , бикватернионами и октонионами, стали устоявшимися понятиями в математической литературе, добавленными к действительным и комплексным числам . Концепция гиперкомплексного числа охватывала их все и требовала дисциплины для их объяснения и классификации.

Проект каталогизации начался в 1872 году, когда Бенджамин Пирс впервые опубликовал свою «Линейную ассоциативную алгебру» , и был продолжен его сыном Чарльзом Сандерсом Пирсом . Самое главное, они определили нильпотентные и идемпотентные элементы как полезные гиперкомплексные числа для классификаций. Конструкция Кэли-Диксона использовала инволюции для создания комплексных чисел, кватернионов и октонионов из действительной системы счисления. Гурвиц и Фробениус доказали теоремы, налагающие ограничения на гиперсложность: теорема Гурвица гласит, что конечномерные вещественные композиционные алгебры являются действительными числами. $\mathbb {R}$, комплексы $\mathbb {C}$, кватернионы $\mathbb {H}$, и октонионы $\mathbb {O}$, а теорема Фробениуса гласит, что единственными действительными ассоциативными алгебрами с делением являются $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, и $\mathbb {H}$. В 1958 году Дж. Франк Адамс опубликовал дальнейшее обобщение в терминах инвариантов Хопфа на H -пространствах, которое по-прежнему ограничивает размерность 1, 2, 4 или 8.

Именно матричная алгебра использовала гиперкомплексные системы. 2x2, вещественные матрицы Например, были найдены изоморфные кокватернионам . Вскоре матричная парадигма начала объяснять несколько других парадигм, поскольку они были представлены матрицами и их операциями. В 1907 году Джозеф Веддерберн показал, что ассоциативные гиперкомплексные системы могут быть представлены квадратными матрицами или прямыми произведениями алгебр квадратных матриц. С этого момента предпочтительным термином для обозначения гиперкомплексной системы стала ассоциативная алгебра , как видно из названия диссертации Веддерберна в Эдинбургском университете . Однако обратите внимание, что неассоциативные системы, такие как октонионы и гиперболические кватернионы, представляют собой другой тип гиперкомплексных чисел.

В роли Томаса Хокинса объясняет, что гиперкомплексные числа являются ступеньками к познанию групп Ли и теории представления групп . Например, в 1929 году Эмми Нётер написала о «гиперкомплексных величинах и теории представлений». В 1973 году Кантор и Солодовников опубликовали учебник по гиперкомплексным числам, который был переведен в 1989 году.

Карен Паршалл написала подробное изложение эпохи расцвета гиперкомплексных чисел. включая роль математиков, в том числе Теодора Мольена и Эдуард Стью . Для перехода к современной алгебре Бартель ван дер Варден посвящает гиперкомплексным числам тридцать страниц в своей « Истории алгебры» .

Определение

Определение гиперкомплексного числа дано Кантором и Солодовниковым (1989) как элемента единичной , но не обязательно ассоциативной или коммутативной , конечномерной алгебры над действительными числами. Элементы генерируются с действительными числовыми коэффициентами. $(a_{0},\dots ,a_{n})$ за основу $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$. Там, где это возможно, принято выбирать базис так, чтобы $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$. Технический подход к гиперкомплексным числам в первую очередь обращает внимание на числа размерности два.

Двумерные вещественные алгебры

Теорема: С точностью до изоморфизма существует ровно три двумерные алгебры с единицей над действительными числами: обычные комплексные числа , расщепляемые комплексные числа и двойственные числа . В частности, каждая двумерная алгебра с единицей над вещественными числами ассоциативна и коммутативна.

Доказательство: поскольку алгебра двумерна, мы можем выбрать базис {1, u } . Поскольку алгебра замкнута относительно возведения в квадрат, невещественный базисный элемент u приводит в квадрат линейную комбинацию 1 и u :

$u^{2}=a_{0}+a_{1}u$

некоторых действительных 0 ₁ и чисел _. для

Используя обычный метод заполнения квадрата путем вычитания a ₁ u и добавления квадратичного дополнения a ²
_1/4 в обе стороны дает выход

$u^{2}-a_{1}u+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.$

Таким образом ${\textstyle \left(u-{\frac {1}{2}}a_{1}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$ где ${\textstyle {\tilde {u}}^{2}~=a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}.}$ От этого реального значения зависят три случая:

• Если 4 а ₀ = − а ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² = 0 . Следовательно, ũ можно непосредственно отождествить с нильпотентным элементом $\epsilon$ основы $\{1,~\epsilon \}$ из двойственных чисел.
• Если 4 а ₀ > − а ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² > 0 . Это приводит к расщепленным комплексным числам, которые имеют нормированный базис. $\{1,~j\}$ с $j^{2}=+1$. Чтобы получить j из ũ , последнее необходимо разделить на положительное действительное число ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {a_{0}+{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}}}}$ который имеет тот же квадрат, что и ũ .
• Если 4 а ₀ < − а ₁ ² , приведенная выше формула дает ũ ² < 0 . Это приводит к комплексным числам, имеющим нормализованный базис. $\{1,~i\}$ с $i^{2}=-1$. Чтобы получить i из ũ , последнее нужно разделить на положительное действительное число. ${\textstyle a\mathrel {:=} {\sqrt {{\frac {1}{4}}a_{1}^{2}-a_{0}}}}$ что соответствует отрицательному значению ũ ² .

Комплексные числа — единственная двумерная гиперкомплексная алгебра, являющаяся полем . Алгебры, такие как расщепленные комплексные числа, которые включают недействительные корни из 1, также содержат идемпотенты. ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1\pm j)}$ и делители нуля $(1+j)(1-j)=0$, поэтому такие алгебры не могут быть алгебрами с делением . Однако эти свойства могут оказаться очень значимыми, например, при описании преобразований Лоренца в специальной теории относительности .

В выпуске журнала Mathematics Magazine за 2004 год двумерные действительные алгебры были названы «обобщенными комплексными числами». Идею перекрестного отношения четырех комплексных чисел можно распространить на двумерные вещественные алгебры.

Примеры более высокого измерения (более одной нереальной оси)

Алгебры Клиффорда

Алгебра Клиффорда — это ассоциативная алгебра с единицей, порожденная базовым векторным пространством, снабженным квадратичной формой . Для действительных чисел это эквивалентно возможности определить симметричное скалярное произведение u ⋅ v = 1/2 : , ( uv + vu ) который можно использовать для ортогонализации квадратичной формы, чтобы задать базис { e ₁ , ..., e _k } такой, что

$${\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}$$

Наложение замыкания при умножении создает многовекторное пространство, охватываемое базисом 2. ^к элементы, {1, е ₁ , е ₂ , е ₃ , ..., е ₁ е ₂ , ..., е ₁ е ₂ е ₃ , ...}. Их можно интерпретировать как основу гиперкомплексной системы счисления. В отличие от базиса { e ₁ , ..., e _k }, остальные элементы базиса не обязательно должны быть антикоммутирующими, в зависимости от того, сколько простых обменов необходимо выполнить, чтобы поменять местами два фактора. Итак е ₁ е ₂ знак равно - е ₂ е ₁ , но е ₁ ( е ₂ е ₃ ) знак равно + ( е ₂ е ₃ ) е ₁ .

Оставляя в стороне базы, содержащие элемент e _i такой, что e _i ² = 0 (т.е. направления в исходном пространстве, по которым квадратичная форма вырождалась ) , остальные алгебры Клиффорда можно идентифицировать по метке Cl _{p , q} ( $\mathbb {R}$ что алгебра построена из p простых базисных элементов с ei _{), что указывает на то ,} ² = +1 , q с e _i ² = −1 и где $\mathbb {R}$ указывает, что это должна быть алгебра Клиффорда над действительными числами, т. е. коэффициенты элементов алгебры должны быть действительными числами.

Эти алгебры, называемые геометрическими алгебрами , образуют систематический набор, который оказывается очень полезным в физических задачах, связанных с вращением , фазами или спинами , особенно в классической и квантовой механике , электромагнитной теории и теории относительности .

Примеры: комплексные числа Cl _0,1 ( $\mathbb {R}$), расщепленные комплексные числа Cl _1,0 ( $\mathbb {R}$), кватернионы Cl _0,2 ( $\mathbb {R}$), сплит-бикватернионы Cl _0,3 ( $\mathbb {R}$), расщепленные кватернионы Cl _1,1 ( $\mathbb {R}$) ≈ Cl _2,0 ( $\mathbb {R}$) (естественная алгебра двумерного пространства); Cl _3,0 ( $\mathbb {R}$) (естественная алгебра трёхмерного пространства и алгебра матриц Паули ); и алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$).

Элементы алгебры Cl _{p , q} ( $\mathbb {R}$) образуют четную подалгебру Cl ^[0]
_{д +1, р} ( $\mathbb {R}$) алгебры Cl _{q +1, p} ( $\mathbb {R}$), который можно использовать для параметризации вращений в большей алгебре. Таким образом, существует тесная связь между комплексными числами и вращениями в двумерном пространстве; между кватернионами и вращениями в трехмерном пространстве; между расщепленными комплексными числами и (гиперболическими) вращениями ( преобразованиями Лоренца ) в 1+1-мерном пространстве и так далее.

В то время как конструкции Кэли-Диксона и расщепленные комплексы с восемью или более измерениями не ассоциативны относительно умножения, алгебры Клиффорда сохраняют ассоциативность при любом количестве измерений.

В 1995 году Ян Р. Портеус написал «Распознавание подалгебр» в своей книге об алгебрах Клиффорда. Его предложение 11.4 суммирует гиперкомплексные случаи:

Пусть A — вещественная ассоциативная алгебра с единицей 1. Тогда

• 1 генерирует $\mathbb {R}$ ( алгебра действительных чисел ),
• любая двумерная подалгебра, порожденная элементом e ₀ из A таким, что e ₀ ² = −1 изоморфен $\mathbb {C}$ ( алгебра комплексных чисел ),
• любая двумерная подалгебра, порожденная элементом e ₀ из A таким, что e ₀ ² = 1 изоморфно $\mathbb {R}$² (пары действительных чисел с покомпонентным произведением, изоморфные алгебре расщепленных комплексных чисел ),
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { , _e0 e1 } _что взаимно антикоммутирующих элементов A такая, $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ изоморфен $\mathbb {H}$ ( алгебра кватернионов ),
• любая четырехмерная подалгебра, порожденная набором { , _e0 e1 } _что взаимно антикоммутирующих элементов A такая, $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ изоморфно M ₂ ( $\mathbb {R}$) (2×2 вещественные матрицы , кокватернионы ),
• любая восьмимерная подалгебра, порожденная набором { , _e0 e1 , _, e2 } _такая взаимно антикоммутирующих элементов A что $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ изоморфен ² $\mathbb {H}$ ( сплит-бикватернионы ),
• любая восьмимерная подалгебра, порожденная набором { , _e0 e1 , _, e2 } _такая взаимно антикоммутирующих элементов A что $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ изоморфно M ₂ ( $\mathbb {C}$) ( 2×2 комплексные матрицы , бикватернионы , алгебра Паули ).

Для расширения за пределы классических алгебр см. Классификацию алгебр Клиффорда .

Конструкция Кэли-Диксона

Дополнительная информация: конструкция Кэли – Диксона.

График Кэли Q8 умножения кватернионов, показывающий циклы умножения i (красный), j (зеленый) и k (синий). В файле SVG наведите указатель мыши на путь или щелкните его, чтобы выделить его.

Все алгебры Клиффорда Cl _{p , q} ( $\mathbb {R}$) помимо действительных чисел, комплексные числа и кватернионы содержат недействительные элементы, квадрат которых равен +1; и поэтому не могут быть алгебрами с делением. Другой подход к расширению комплексных чисел используется в конструкции Кэли-Диксона . Это генерирует системы счисления размерности 2. ^н , n = 2, 3, 4, ..., с основаниями $\left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}$, где все нереальные базисные элементы антикоммутируют и удовлетворяют $i_{m}^{2}=-1$. В 8 или более измерениях ( n ≥ 3 ) эти алгебры неассоциативны. В 16 или более измерениях ( n ≥ 4 ) эти алгебры также имеют делители нуля .

Первыми алгебрами в этой последовательности являются четырехмерные кватернионы , восьмимерные октонионы и 16-мерные седенионы . Алгебраическая симметрия теряется с каждым увеличением размерности: умножение кватернионов некоммутативно умножение октонионов неассоциативно , а норма седенионов , не мультипликативна.

Конструкцию Кэли-Диксона можно модифицировать, вставляя на некоторых этапах дополнительный знак. Затем он генерирует «расщепляемые алгебры» в наборе композиционных алгебр вместо алгебр с делением:

расщепленные комплексные числа с основанием $\{1,\,i_{1}\}$ удовлетворяющий $\ i_{1}^{2}=+1$,

расщепленные кватернионы с базисом $\{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}$ удовлетворяющий $\ i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1$, и

сплит-октонионы с базисом $\{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}$ удовлетворяющий $\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$, $\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1.$

В отличие от комплексных чисел, расщепленные комплексные числа не являются алгебраически замкнутыми и, кроме того, содержат нетривиальные делители нуля и нетривиальные идемпотенты . Как и кватернионы, расщепленные кватернионы не коммутативны, но дополнительно содержат нильпотенты ; они изоморфны квадратным матрицам размерности два. Сплит-октонионы неассоциативны и содержат нильпотенты.

Тензорные произведения

Тензорное произведение любых двух алгебр — это еще одна алгебра, которую можно использовать для создания еще многих примеров гиперкомплексных систем счисления.

В частности, взятие тензорных произведений с комплексными числами (рассматриваемыми как алгебры над действительными числами) приводит к четырехмерным бикомплексным числам. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ (изоморфен тессаринам $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D$), восьмимерные бикватернионы $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$и 16-мерные комплексные октонионы $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O}$.

Дальнейшие примеры

• бикомплексные числа : 4-мерное векторное пространство над действительными числами, 2-мерное над комплексными числами, изоморфное тессаринам.
• мультикомплексные числа : 2 ^н -мерные векторные пространства над вещественными числами, 2 ^{п -1} -мерный по комплексным числам
• алгебра композиции : алгебра с квадратичной формой , которая составляет произведение

См. также

• Седенионы
• Томас Киркман
• Георг Шефферс
• Ричард Брауэр
• Гиперкомплексный анализ

Дальнейшее чтение

• Альфсманн, Дэниел (2006), «О семействах 2^N-мерных гиперкомплексных алгебр, подходящих для цифровой обработки сигналов» (PDF) , 14-я Европейская конференция по обработке сигналов, Флоренция, Италия , стр. 1–4
• Артин, Эмиль (1965) [1928], «К теории гиперкомплексных чисел; К арифметике гиперкомплексных чисел», в Ланге, Серж ; Тейт, Джон Т. (ред.), Сборник статей Эмиля Артина , Аддисон-Уэсли , стр. 301–345.
• Баэз, Джон (2002), «Октонионы» , Бюллетень Американского математического общества , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , ISSN   0002 -9904 , S2CID   586512
• Картан, Эли (1908), «Комплексные системы счисления и группы преобразований», Энциклопедия чистых и прикладных математических наук , том. Я 1 . и Ouvres завершает T.2 pt. 1, стр. 107–246.
• Герцбергер, Макс (1923), «Гиперкомплексер Ueber Systeme Grössen» , докторская диссертация , Университет Фридриха Вильгельма , заархивировано из оригинала 30 января 2021 г. , получено 20 сентября 2015 г.
• Ла Дьюк, Жанна (1983), «Исследование линейных ассоциативных алгебр в Соединенных Штатах, 1870–1927», в Шринивасане, Б.; Салли Дж. (ред.), Эмми Нётер в Брин-Мор: материалы симпозиума, спонсируемого Ассоциацией женщин-математиков в честь 100-летия Эмми Нётер , Springer, стр. 147–159, ISBN  978-0-387-90838-0
• Олариу, Сильвиу (2002), Комплексные числа в N измерениях , Математические исследования Северной Голландии, том. 190, Эльзевир , ISBN  0-444-51123-7
• Сабадини, Ирен ; Шапиро, Майкл; Соммен, Фрэнк, ред. (2009), Гиперкомплексный анализ и приложения , Биркхаузер, ISBN  978-3-7643-9892-7
• Табер, Генри (1904), «О гиперкомплексных системах счисления», Труды Американского математического общества , 5 (4): 509–548, doi : 10.2307/1986280 , JSTOR   1986280
• Маклаган Веддерберн, Дж. Х. (1908), «О гиперкомплексных числах» , Труды Лондонского математического общества , s2-6 (1): 77–118, doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77

Внешние ссылки

• «Гиперкомплексное число» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкомплексное число» . Математический мир .
• Этюд, Э., О системах комплексных чисел и их применении к теории групп преобразований (PDF) (английский перевод)
• Фробениус, Г., Теория гиперкомплексных величин (PDF) (перевод на английский)