Алгебра деления

В области математики , называемой абстрактной алгеброй , алгебра с делением — это, грубо говоря, алгебра над полем , в котором деление , кроме нуля, всегда возможно.

Определения

Формально мы начинаем с ненулевой алгебры D над полем . Мы называем D делением , если для любого элемента a в D и любого ненулевого элемента b в D существует ровно один элемент x в D с a = bx и ровно один элемент y в D такой, что a = yb .

Для ассоциативных алгебр определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она имеет мультипликативный единичный элемент 1 и каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный (т. е. элемент x с ax = xa = 1 ).

Ассоциативные алгебры с делением

Наиболее известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные действительные алгебры (то есть алгебры над полем R действительных чисел , которые конечномерны как векторное пространство над вещественными числами). Теорема Фробениуса утверждает, что с точностью до изоморфизма существует три таких алгебры: сами действительные числа (размерность 1), поле комплексных чисел (размерность 2) и кватернионы (размерность 4).

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что если D — конечное алгебра с делением, то D — конечное поле . ^[1]

Над алгебраически замкнутым полем K (например, комплексными числами C ) не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, кроме K. самого ^[2]

Ассоциативные алгебры с делением не имеют ненулевых делителей нуля . Конечномерная ( с единицей ассоциативная алгебра над любым полем) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она не имеет ненулевых делителей нуля.

Если A — ассоциативная алгебра с единицей над полем F а S — простой модуль над A , то кольцо эндоморфизмов S , является телом над F ; каждая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.

Центр содержащее ассоциативной алгебры с делением D над полем K это поле, K. — Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, представляет собой полный квадрат : она равна квадрату размерности максимального подполя D над центром. Для данного поля F классы эквивалентности Брауэра простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с центром, которые являются F и которые конечномерны над F, могут быть превращены в группу, группу Брауэра поля F .

Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями — это алгебры кватернионов (см. также кватернионы ).

Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются случаи, когда пространство имеет некоторую разумную топологию . См., например, нормированные алгебры с делением и банаховые алгебры .

Не обязательно ассоциативные алгебры с делением

Если алгебра с делением не предполагается ассоциативной, обычно какое-то более слабое условие (например, альтернативность или степенная ассоциативность вместо этого налагается разделе «Алгебра над полем» ). Список таких условий см. в .

Над вещественными числами существуют (с точностью до изоморфизма) только две унитарные коммутативные конечномерные алгебры с делением: сами вещественные числа и комплексные числа. Они, конечно, оба ассоциативны. В качестве неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определяемым путем комплексного сопряжения обычного умножения:

a*b={\overline {ab}}.

Это коммутативная неассоциативная алгебра с делением размерности 2 над действительными числами, не имеющая единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных конечномерных вещественных дивизионных алгебр, но все они имеют размерность 2.

Фактически, каждая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением является либо 1-, либо 2-мерной. Это известно как теорема Хопфа и было доказано в 1940 году. В доказательстве используются методы топологии . Хотя более позднее доказательство было найдено с использованием алгебраической геометрии , прямого алгебраического доказательства неизвестно. Основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.

Отказавшись от требования коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность степень 2.

Более поздние работы показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишелем Кервером и Джоном Милнором в 1958 году, снова с использованием методов алгебраической топологии , в частности K -теория . Адольф Гурвиц показал в 1898 году, что тождество $q{\overline {q}}={\text{sum of squares}}$ сохраняется только для размерностей 1, 2, 4 и 8. ^[3] (См. теорему Гурвица .) Задача построения трехмерной алгебры с делением решалась несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй исследовал эти попытки в 1966 году. ^[4]

Любая вещественная конечномерная алгебра с делениемнад реальными должно быть

изоморфен R или C, если унитарен и коммутативен (эквивалентно: ассоциативен и коммутативен)
изоморфен кватернионам, если некоммутативный, но ассоциативный
изоморфен октонионам , если неассоциативен, но альтернативен .

О размерности конечномерного тела A над полем K известно следующее :

dim A = 1, если K замкнуто алгебраически ,
dim A = 1, 2, 4 или 8, если K действительно замкнутый , и
Если K не является ни алгебраически, ни вещественно замкнутым, то существует бесконечно много измерений, в которых существуют тела алгебры над K .

Мы можем сказать, что алгебра A имеет мультипликативные обратные , если для любого ненулевого $a\in A$ есть элемент $a^{-1}\in A$ с $aa^{-1}=a^{-1}a=1$ . Ассоциативная алгебра имеет мультипликативные обратные тогда и только тогда, когда она является алгеброй с делением. Однако для неассоциативных алгебр это неверно. Седенионы — это неассоциативная алгебра над действительными числами, имеющая мультипликативные обратные, но не являющаяся алгеброй с делением. С другой стороны, мы можем построить алгебру с делением без мультипликативных обратных, взяв кватернионы и изменив произведение, установив $i^{2}=-1+\epsilon j$ для некоторого небольшого ненулевого действительного числа $\epsilon$ оставив остальную часть таблицы умножения без изменений. Элемент $i$ то имеет как правую, так и левую инверсию, но они не равны.

См. также

Примечания

^ Лам (2001), с. 203
^ Кон (2003), Предложение 5.4.5, с. 150
^ Роджер Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Винтаж. ISBN 0-09-944068-7 . , стр.202
^ Кеннет О. Мэй (1966) «Невозможность алгебры деления векторов в трехмерном пространстве», American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 дои : 10.2307/2315349

Ссылки

Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля . Лондон: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-0-85729-428-9 . ISBN 978-1-85233-587-8 . МР 1935285 .
Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95183-0 .

Внешние ссылки

«Деление алгебры» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Лам (2001), с. 203

[2] Кон (2003), Предложение 5.4.5, с. 150

[3] Роджер Пенроуз (2005). Дорога к реальности . Винтаж. ISBN 0-09-944068-7 . , стр.202

[4] Кеннет О. Мэй (1966) «Невозможность алгебры деления векторов в трехмерном пространстве», American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 дои : 10.2307/2315349

[1]

[2]

[3]

[4]