Настоящее закрытое поле

В математике вещественное замкнутое поле — это поле F , обладающее теми же свойствами первого порядка, что и поле действительных чисел . Некоторыми примерами являются поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гипердействительных чисел .

Определение

Вещественное замкнутое поле — это поле F, в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

F действительным элементарно эквивалентно числам. Другими словами, оно обладает теми же свойствами первого порядка, что и вещественные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в вещественных числах.
существует полный порядок, В F его упорядоченным полем , так что в этом порядке каждый положительный элемент F имеет квадратный корень из F , а любой многочлен нечетной степени из с коэффициентами F делающий имеет хотя бы один корень из F .
F — формально вещественное поле такое, что каждый многочлен нечетной степени с коэффициентами из F имеет хотя бы один корень из F и для каждого элемента a из F существует элемент b в F такой, что a = b ² или а = - б ².
F не является алгебраически замкнутым , но его алгебраическое замыкание является конечным расширением .
F не является алгебраически замкнутым, но расширение поля $F({\sqrt {-1}}\,)$ алгебраически замкнуто.
Существует порядок на F , который не продолжается до порядка на каком-либо собственном расширении F алгебраическом .
F — формально вещественное поле такое, что никакое собственное алгебраическое расширение F не является формально действительным. (Другими словами, поле максимально в алгебраическом замыкании относительно свойства формальной реальности.)
существует порядок, На F делающий его упорядоченным полем, такой, что в этом порядке теорема о промежуточном значении справедлива для всех многочленов над F со степенью ≥ 0.
F — слабо o-минимальное упорядоченное поле. ^[1]

Примеры реальных закрытых полей

поле действительных алгебраических чисел
поле вычислимых чисел
поле определимых чисел
поле действительных чисел
поле ряда Пюизо с действительными коэффициентами
месторождение Леви-Чивита
гипердействительных чисел поля
сверхдействительных чисел поля
поле сюрреалистических чисел

Настоящее закрытие

Если F — упорядоченное поле, теорема Артина–Шрайера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое вещественным замыканием K поля F , такое, что K — действительное замкнутое поле, порядок которого является расширением заданного порядка на F , и является единственна с точностью до единственного изоморфизма полей, тождественных на F ^[2] (обратите внимание, что каждый гомоморфизм колец между вещественными замкнутыми полями автоматически сохраняет порядок , поскольку x ≤ y тогда и только тогда, когда ∃ z : y = x + z ²). Например, реальным замыканием упорядоченного поля рациональных чисел является поле $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ действительных алгебраических чисел. Теорема Эмиля названа в честь Артина и Отто Шрайера , доказавших ее в 1926 году.

Если ( F , P ) — упорядоченное поле, а E — расширение Галуа поля , F то по лемме Цорна существует максимальное расширение упорядоченного поля ( M , Q ) с M — E подполем содержащим , F , и порядок на M, расширяющий П. Это M вместе с его упорядочением называется относительным вещественным замыканием ( F , P ) в E. Q Мы называем ( F , P ) вещественно замкнутым относительно E, M — это просто F. если Когда E является алгебраическим замыканием F, относительное вещественное замыкание F в E на самом деле является вещественным замыканием F , описанным ранее. ^[3]

Если F — поле (не предполагается упорядочение, совместимое с операциями над полем, и не предполагается, что F можно упорядочить), то F все равно имеет реальное замыкание, которое может больше не быть полем, а просто настоящее закрытое кольцо . Например, реальное закрытие поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ это кольцо $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ (две копии соответствуют двум порядкам $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ). С другой стороны, если $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ рассматривается как упорядоченное подполе из $\mathbb {R}$ , его настоящее замыкание – это снова поле $\mathbb {R} _{\mathrm {alg} }$ .

Разрешимость и устранение кванторов

Язык реальных закрытых полей ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ включает символы операций сложения и умножения, константы 0 и 1, а также отношение порядка $\leq$ (а также равенство, если это не считается логическим символом). На этом языке теория (первого порядка) действительных замкнутых полей ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ , состоит из всех предложений, которые следуют из следующих аксиом:

аксиомы упорядоченных полей ;
аксиома, утверждающая, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
за каждое нечетное число $d$ , аксиома, утверждающая, что все многочлены степени $d$ иметь хотя бы один корень.

Все эти аксиомы могут быть выражены в логике первого порядка (т.е. количественная оценка распространяется только на элементы поля). Обратите внимание, что ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ — это просто набор всех предложений первого порядка, которые истинны в отношении поля действительных чисел.

Тарский показал, что ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ является полным , что означает, что любой ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ -предложение может быть доказано как истинное, так и ложное, исходя из приведенных выше аксиом. Более того, ${\mathcal {T}}_{\text{rcf}}$ является разрешимым , что означает, что существует алгоритм для определения истинности или ложности любого такого предложения. Это было сделано путем демонстрации исключения кванторов : существует алгоритм, который при любом ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ - формула , которая может содержать свободные переменные , создает эквивалентную формулу без кванторов в тех же свободных переменных, где эквивалент означает, что две формулы верны для одних и тех же значений переменных. Доказательство Тарского использует обобщение теоремы Штурма . Поскольку истинность бескванторных формул без свободных переменных можно легко проверить, это дает желаемую процедуру решения. Эти результаты были получены c. 1930 г. и опубликовано в 1948 г. ^[4]

Теорема Тарского-Зейденберга расширяет этот результат до следующей теоремы о проекции . Если $R$ — действительное замкнутое поле, формула с $n$ свободными переменными определяет подмножество $R н$ , набор точек, удовлетворяющих формуле. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством . Учитывая подмножество $k$ переменных, проекция из $R н$ в $Р к$ — это функция , которая отображает каждый $n-$ кортеж в $k$ -кортеж компонентов, соответствующих подмножеству переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством и что существует алгоритм, который по заданной бескванторной формуле, определяющей полуалгебраическое множество, выдает бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, теорема о проекции эквивалентна исключению кванторов, поскольку проекция полуалгебраического множества, определенного формулой $p (x, y),$ определяется формулой

(\exists x)P(x,y),

где $x$ и $y$ представляют собой соответственно набор исключенных переменных и набор сохраненных переменных.

Разрешимость теории действительных чисел первого порядка существенно зависит от рассматриваемых примитивных операций и функций (в данном случае сложения и умножения). Добавление символов других функций, например синуса или показательной функции , может привести к появлению неразрешимых теорий; см. теорему Ричардсона и Разрешимость теорий действительных чисел первого порядка .

Более того, полнота и разрешимость теории действительных чисел первого порядка (с использованием сложения и умножения) резко контрастирует с результатами Гёделя и Тьюринга о неполноте и неразрешимости теории натуральных чисел первого порядка (с использованием сложение и умножение). Противоречия нет, поскольку утверждение « х есть целое число» не может быть сформулировано как формула первого порядка в языке ${\mathcal {L}}_{\text{rcf}}$ .

Сложность принятия решения 𝘛 _rcf

Оригинальный алгоритм Тарского для исключения кванторов имеет неэлементарную вычислительную сложность , а это означает, что ни одна башня

2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}

может ограничить время выполнения алгоритма, если $n$ — размер входной формулы. Цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом , обеспечивает гораздо более практичный алгоритм сложности.

d^{2^{O(n)}}

где $n$ — общее количество переменных (свободных и связанных), $d$ — произведение степеней полиномов, входящих в формулу, а $(n) —$ обозначение большого O. O

Давенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность наихудшего случая почти оптимальна для устранения кванторов, создавая семейство $Φ n$ формул длины $O (n)$ с $n$ кванторами и включающее полиномы постоянной степени, такие, что любой квантор свободная формула, эквивалентная $Φ n,$ должна включать многочлены степени $2^{2^{\Omega (n)}}$ и длина $2^{2^{\Omega (n)}},$ где $\Omega (n)$ это большая нотация Omega . Это показывает, что как временная, так и пространственная сложность устранения кванторов по своей сути являются двойной экспонентой .

Что касается проблемы решения, Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) утверждали, что доказали, что теория реальных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве и, следовательно, в двойном экспоненциальном времени, но их аргумент (в случае более чем одна переменная) обычно считается ошибочной; см. обсуждение в Renegar (1992).

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида

\exists x 1, x ... \exists, x 1, ..., x k) ⋈ 0 \land ... \land P s (x 1, ..., x k k

где $⋈$ означает $<, >$ или $=$ , сложность ниже. Басу и Рой (1996) предложили хорошо работающий алгоритм для определения истинности такой экзистенциальной формулы со сложностью $s. к +1 д Хорошо )$ арифметические операции и полиномиальное пространство .

Заказать недвижимость

Важнейшим свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле , то есть оно обладает архимедовым свойством, заключающимся в том, что для любого действительного числа существует целое число , большее его по абсолютному значению . Обратите внимание, что это утверждение невозможно выразить на языке упорядоченных полей первого порядка, поскольку на этом языке невозможно количественно оценить целые числа.

Существуют вещественно-замкнутые поля, которые не являются архимедовыми ; например, любое поле гипердействительных чисел действительно замкнуто и неархимедово. Эти поля содержат бесконечно большие (больше любого целого числа) и бесконечно малые (положительные, но меньшие любого положительного рационального числа) элементы.

Архимедово свойство связано с понятием конфинальности . Множество X, содержащееся в упорядоченном множестве F, является конфинальным в F, если для каждого y в F существует такой x в X , что y < x . Другими словами, — неограниченная последовательность в F. X Конфинальность F — это мощность наименьшего конфинального множества, то есть размер наименьшей мощности, дающей неограниченную последовательность. Например, натуральные числа конфинальны в действительных числах, поэтому конфинальность действительных чисел равна $\aleph _{0}$ .

Таким образом, мы имеем следующие инварианты, определяющие природу вещественного замкнутого поля F :

Мощность F .
Конфинальность F .

К этому мы можем добавить

Вес F , который является минимальным размером плотного подмножества F .

Эти три кардинальных числа многое говорят нам о свойствах порядка любого реального замкнутого поля, хотя может быть трудно выяснить, что они из себя представляют, особенно если мы не готовы ссылаться на гипотезу обобщенного континуума . Существуют также определенные свойства, которые могут выполняться, а могут и не выполняться:

Поле F является полным, не существует упорядоченного поля K, содержащего F, такого, что F плотно в K. если Если конфинальность F равна κ , это эквивалентно тому, что Коши, κ , сходятся индексированные в F. последовательности
Упорядоченное поле F обладает свойством эта-множества η _α для порядкового числа α , если для любых двух подмножеств L и U из F мощности меньше $\aleph _{\alpha }$ такой, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент U , существует элемент x в F, которого x больше, чем каждый элемент L , и меньше, чем каждый элемент U. у Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два действительных замкнутых поля являются η _α тогда и только тогда, когда они $\aleph _{\alpha }$ -насыщенные, и, кроме того, два действительных замкнутых поля ηα _{мощности} обоих $\aleph _{\alpha }$ изоморфны порядково .

Обобщенная гипотеза континуума

Характеристики реальных закрытых полей станут намного проще, если мы захотим принять обобщенную гипотезу континуума . Если гипотеза континуума верна, то все вещественные замкнутые поля мощности континуума , обладающие свойством η ₁ , порядково изоморфны. Это уникальное поле Ϝ можно определить с помощью ультрастепени , как $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M}$ , где M — максимальный идеал, не приводящий к полю, порядково изоморфному $\mathbb {R}$ . Это наиболее часто используемое гипердействительное числовое поле в нестандартном анализе , и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если мощность континуума равна $\aleph _{\beta }$ то мы имеем единственное η _β поле размера $\aleph _{\beta }$ .)

Более того, нам не нужны ультрастепени для построения Ϝ , мы можем сделать гораздо более конструктивно, чем подполе рядов со счетным числом ненулевых членов поля $\mathbb {R} [[G]]$ формальных степенных рядов на вполне упорядоченной абелевой делимой группе G , которая является η ₁ группой мощности $\aleph _{1}$ ( Аллинг 1962 ).

Однако Ϝ не является полным полем; если мы возьмем его пополнение, то получим поле К большей мощности. Ϝ имеет мощность континуума, которая по условию равна $\aleph _{1}$ , К имеет мощность $\aleph _{2}$ , и содержит Ϝ как плотное подполе. Это не сверхдержава, но это гиперреальное поле и, следовательно, подходящее поле для использования в нестандартном анализе. Можно увидеть, что это многомерный аналог действительных чисел; с мощностью $\aleph _{2}$ вместо $\aleph _{1}$ , конфинальность $\aleph _{1}$ вместо $\aleph _{0}$ и вес $\aleph _{1}$ вместо $\aleph _{0}$ , и со свойством η ₁ вместо свойства η ₀ (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами мы можем найти другое).

Элементарная евклидова геометрия

Аксиомы Тарского — это система аксиом первого порядка («элементарной») части евклидовой геометрии . Используя эти аксиомы, можно показать, что точки на прямой образуют действительное замкнутое поле R, и можно ввести координаты так, чтобы евклидова плоскость отождествлялась с R. ² . Используя разрешимость теории действительных замкнутых полей, Тарский затем доказал, что элементарная теория евклидовой геометрии полна и разрешима. ^[4]

Примечания

^ Д. Макферсон и др. (1998)
^ Раджваде (1993), стр. 222–223
^ Эфрат (2006) с. 177
^ Jump up to: ^а ^б Макнотон, Роберт (1953). «Обзор: Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии А. Тарского» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 59 (1): 91–93. дои : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

Ссылки

Аллинг, Норман Л. (1962), «О существовании вещественно-замкнутых полей, которые представляют собой η _α -множества степени ℵ _α .», Trans. амер. Математика. Соц. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR 0146089
Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаза Рой (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в книге «Алгоритмы и вычисления в математике» . Спрингер. ISBN 3-540-33098-4 ( онлайн-версия )
Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, Сложность элементарной алгебры и геометрии , Журнал компьютерных и системных наук 32 (1986), вып. 2, стр. 251–264.
Кэвинесс, Б.Ф., и Джереми Р. Джонсон, ред. (1998) Устранение кванторов и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Спрингер. ISBN 3-211-82794-3
Чен Чунг Чанг и Говард Джером Кейслер (1989) Теория моделей . Северная Голландия.
Дейлс, Х.Г. и В. Хью Вудин (1996) Сверхреальные поля . Оксфордский университет. Нажимать.
Давенпорт, Джеймс Х .; Хайнц, Йоос (1988). «Реальное устранение кванторов происходит вдвойне экспоненциально» . Дж. Симб. Вычислить . 5 (1–2): 29–35. дои : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Збл 0663.03015 .
Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К -теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-Х . Збл 1103.12002 .
Макферсон Д., Маркер Д. и Стейнхорн К. Слабо o-минимальные структуры и вещественные замкнутые поля , Trans. американской математики. Соц., Том. 352, № 12, 1998 г.
Мишра, Бхубанешвар (1997) « Вычислительная реальная алгебраическая геометрия » в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии . ЦРК Пресс. Издание 2004 г., с. 743. ISBN 1-58488-301-4
Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .
Ренегар, Джеймс (1992). «О вычислительной сложности и геометрии теории действительных чисел первого порядка. Часть I: Введение. Предварительные сведения. Геометрия полуалгебраических множеств. Проблема решения экзистенциальной теории вещественных чисел» . Журнал символических вычислений . 13 (3): 255–299. дои : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
Пассмор, Грант (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной, вещественной и комплексной арифметики (PDF) (доктор философии). Эдинбургский университет .
Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . унив. из Калифорнии Пресс.
Эрдеш, П.; Гиллман, Л.; Хенриксен, М. (1955), «Теорема об изоморфизме для вещественно-замкнутых полей» , Ann. математики. , 2, 61 (3): 542–554, номер документа : 10.2307/1969812 , JSTOR 1969812 , MR 0069161.

Внешние ссылки

[1] Д. Макферсон и др. (1998)

[2] Раджваде (1993), стр. 222–223

[Efr177-3] Эфрат (2006) с. 177

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Макнотон, Роберт (1953). «Обзор: Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии А. Тарского» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 59 (1): 91–93. дои : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]