Слабо o-минимальная структура

В теории моделей слабо o-минимальная структура — это теоретико-модельная структура которой , определимые множества в области являются просто конечными объединениями выпуклых множеств .

Определение

структура Линейно упорядоченная M M с языком L , включающим отношение порядка <, называется слабо o-минимальной, если каждое параметрически определимое подмножество является конечным объединением выпуклых (определимых) подмножеств. Теория является слабо o-минимальной , если все ее модели слабо o-минимальны.

Обратите внимание, что, в отличие от o-минимальности , теория может иметь модели, которые являются слабо o-минимальными, и иметь другие модели, которые не являются слабо o-минимальными.

Отличие от o-минимальности

В o-минимальной структуре $(M,<,...)$ определяемые множества в $M$ являются конечными объединениями точек и интервалов, где интервал обозначает множества вида $I=\{r\in M\,:\,a<r<b\}$, для некоторых a и b в $M\cup \{\pm \infty \}$. Для слабо o-минимальных структур $(M,<,...)$ это смягчено так, что определимые множества в M представляют собой конечные объединения выпуклых определимых множеств. Набор $C$ является выпуклым, если всякий раз, когда a и b находятся в $C$, a < b и c ∈ $M$ удовлетворяет тому, что a < c < b , тогда c находится в C . Точки и интервалы, конечно, являются выпуклыми множествами, но существуют выпуклые множества, которые не являются ни точками, ни интервалами, как объясняется ниже.

Если мы имеем слабо o-минимальную структуру, расширяющую ( R ,<) реальное упорядоченное поле, то структура будет o-минимальной. Однако в других условиях эти два понятия различаются. Например, пусть R — упорядоченное поле действительных алгебраических чисел с обычным порядком <, унаследованным R. от Возьмите трансцендентное число, скажем π , и добавьте унарное отношение S заданной подмножеством (− π , π ) ∩ R. к структуре , Теперь рассмотрим подмножество A в R, определенное формулой

$0<a\,\wedge \,S(a)$

так что набор состоит из всех строго положительных действительных алгебраических чисел, меньших π . Множество явно выпукло, но его нельзя записать как конечное объединение точек и интервалов, концы которых лежат в R . Чтобы записать это как интервал, нужно было бы либо включить конечную точку π , которой нет в R , либо потребовалось бы бесконечно много интервалов, например объединение

$\bigcup _{\alpha <\pi }(0,\alpha ).$

Поскольку у нас есть определимое множество, которое не является конечным объединением точек и интервалов, эта структура не является o-минимальной. Однако известно, что структура слабо o-минимальна, и на самом деле теория этой структуры слабо o-минимальна.