Jump to content

Финитарное соотношение

(Перенаправлено из унарного отношения )

В математике финитное отношение над последовательностью множеств X 1 , ..., X n является подмножеством декартова произведения X 1 × ... × X n ; то есть это набор из n кортежей ( x 1 , ..., x n ) , каждый из которых представляет собой последовательность элементов x i в соответствующем X i . [1] [2] [3] Обычно отношение описывает возможную связь между элементами n -кортежа. Например, отношение « x делится на y и z » состоит из набора троек, замена которых на x , y и z соответственно делает предложение истинным.

Неотрицательное целое число n , которое дает количество «мест» в отношении, называется арностью , адичностью или степенью отношения . Отношение с n «местами» по-разному называется n -арным отношением , n -адическим отношением или отношением степени n . Отношения с конечным числом мест называются финитными отношениями (или просто отношениями, если контекст ясен). Также возможно обобщить эту концепцию на бесконечные отношения с бесконечными последовательностями . [4]

Определения

[ редактировать ]

Когда два объекта, качества, класса или атрибута, рассматриваемые умом вместе, рассматриваются в некоторой связи, эта связь называется отношением.

Определение
R n -арное отношение на множествах X 1 , ..., X n задается подмножеством декартова произведения X 1 × ... × X n . [1]

Поскольку определение основано на базовых множествах X 1 , ..., X n , R может быть более формально определен как ( n + 1 )-кортеж ( X 1 , ..., X n , G ) , где G , называемый графиком R × , является подмножеством декартова произведения X 1 ... × X n .

Как это часто бывает в математике, один и тот же символ используется для обозначения математического объекта и лежащего в его основе набора, поэтому утверждение ( x 1 , ..., x n ) ∈ R часто используется для обозначения ( x 1 , . .., x n ) ∈ G читается как « 1 , ..., n R » -родственны и обозначаются с использованием префиксной записи Rx x 1 x n и с использованием постфиксной записи x x 1 x n R . В случае, когда является бинарным отношением, эти утверждения также обозначаются с использованием инфиксной записи x R 1 Rx 2 .

Применяются следующие соображения:

  • Множество X i называется i й областью R - . [1] В случае, когда R является бинарным отношением, X 1 называется просто областью или множеством отправления R , а X 2 также называется кодоменом или множеством назначения R также .
  • Когда элементы X i отношениями, X i называется непростой областью R являются . [1]
  • Множество x i X i таких, что Rx 1 x i −1 x i x i +1 x n хотя бы для одного ( x 1 , ..., x n ), называется i областью определения. или активный домен R. [1] В случае, когда R является бинарным отношением, его первая область определения также называется просто областью или активной областью определения R , а вторая область определения также называется кодоменом определения или активной коденом R определения .
  • Когда i -я область определения R равна X i , R называется тотальной на своей i- й области (или на X i , если это не является двусмысленным). В случае, когда R является бинарным отношением, когда R тотально на X 1 , его также называют левототальным или серийным , а когда R тотально на X 2 , его также называют правототальным или сюръективным. .
  • Когда x y X i . z Икс j . xR ij z yR ij z x = y , где i I , j J , R ij = π ij R , и { I , J } { — разбиение 1 , ..., n } , R — Говорят, что он уникален на { X i } i I , а { X i } i J называется первичным ключом. [1] Р. ​В случае, когда R является бинарным отношением, когда R уникально на { X 1 }, оно также называется единственным слева или инъективным , а когда R уникально на { X 2 }, оно также называется однолистным. или право-единственное .
  • Когда все Xi представляют собой одно и то же множество X , проще называть R -арным отношением n над X , называемым однородным отношением . Без этого ограничения R называется гетерогенным отношением .
  • Когда любой из X i пуст, определяющее декартово произведение пусто, и единственным отношением над такой последовательностью областей является пустое отношение R = ∅ .

Пусть логическая область B представляет собой набор из двух элементов, скажем, B = {0, 1} , элементы которого можно интерпретировать как логические значения, обычно 0 = false и 1 = true . Характеристическая функция R χ , обозначаемая χ R , является булевозначной функцией χ R : X 1 × ... × X n B , определяемой R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 1, если Rx 1 x n и χ R ( ( x 1 , ..., x n ) ) = 0 в противном случае.

В прикладной математике, информатике и статистике булевозначную функцию принято называть n -арным предикатом . С более абстрактной точки зрения формальной логики и теории моделей отношение R представляет собой логическую модель или реляционную структуру , которая служит одной из многих возможных интерпретаций некоторого n -арного символа-предиката.

Поскольку отношения возникают во многих научных дисциплинах, а также во многих разделах математики и логики , существуют значительные различия в терминологии. Помимо теоретико-множественного расширения реляционного понятия или термина, термин «отношение» также может использоваться для обозначения соответствующей логической сущности, либо логического понимания , которое представляет собой совокупность интенсионалов , либо абстрактных свойств, общих для всех элементов в отношение или, иначе говоря, символы, обозначающие эти элементы и интенсионалы. Кроме того, некоторые авторы последнего убеждения вводят термины с более конкретным значением (например, «реляционная структура» для теоретико-множественного расширения данной реляционной концепции).

Конкретные значения n

[ редактировать ]

Нульарные (0-арные) отношения насчитывают только два члена: пустое нулевое отношение, которое никогда не выполняется, и универсальное нулевое отношение, которое выполняется всегда. Это связано с тем, что существует только один 0-кортеж, пустой кортеж (), и существует ровно два подмножества (одиночного) набора всех 0-кортежей. Иногда они полезны для построения базового случая индукционного аргумента.

Унарные (1-арные) отношения можно рассматривать как совокупность членов (например, совокупность нобелевских лауреатов ), обладающих некоторым свойством (например, обладанием Нобелевской премией ).

Любая нулевая функция является унарным отношением.

Двоичный

[ редактировать ]

Бинарные (2-арные) отношения — наиболее часто изучаемая форма финитных отношений. К однородным бинарным отношениям (где X 1 = X 2 ) относятся

Гетерогенные бинарные отношения включают в себя

Тернарные (3-арные) отношения включают, например, бинарные функции , которые связывают два входа и выход. Все три области однородного тернарного отношения представляют собой один и тот же набор.

Рассмотрим троичное отношение R " x думает, что y любит z " над множеством людей P = { Алиса, Боб, Чарльз, Дениз } , определяемое формулой:

R = { (Алиса, Боб, Дениз), (Чарльз, Алиса, Боб), (Чарльз, Чарльз, Алиса), (Дениз, Дениз, Дениз) } .

R можно эквивалентно представить следующей таблицей:

Отношение R " x думает, что y любит z "
х и С
Алиса Боб Дениз
Чарльз Алиса Боб
Чарльз Чарльз Алиса
Дениз Дениз Дениз

Здесь каждая строка представляет собой тройку R , то есть содержит утверждение вида « x думает, что y любит z ». Например, в первой строке говорится: «Алиса думает, что Бобу нравится Дениз». Все строки различны. Порядок строк незначителен, но порядок столбцов важен. [1]

Приведенная выше таблица также является простым примером реляционной базы данных , области теории, основанной на реляционной алгебре и приложениях в управлении данными. [6] Однако ученые-компьютерщики, логики и математики склонны иметь разные представления о том, что такое общее отношение и из чего оно состоит. Например, базы данных предназначены для работы с эмпирическими данными, которые по определению конечны, тогда как в математике также рассматриваются отношения с бесконечной арностью (т. е. бесконечные отношения).

Логик Огастес Де Морган в работе, опубликованной около 1860 года, был первым, кто сформулировал понятие отношения в чем-то похожем на его нынешний смысл. Он также изложил первые формальные результаты в теории отношений (о Де Моргане и отношениях см. Merrill 1990).

Чарльз Пирс , Готтлоб Фреге , Георг Кантор , Ричард Дедекинд и другие выдвинули теорию отношений. Многие из их идей, особенно об отношениях, называемых порядками , были обобщены в «Принципах математики» (1903), где Бертран Рассел свободно использовал эти результаты.

В 1970 году Эдгар Кодд предложил реляционную модель баз данных , предвосхитив тем самым развитие систем управления базами данных . [1]

См. также

[ редактировать ]
  1. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж г час Кодд 1970 г.
  2. ^ «Отношение – Математическая энциклопедия» . www.энциклопедияofmath.org . Проверено 12 декабря 2019 г.
  3. ^ «Определение n -арного отношения» . cs.odu.edu . Проверено 12 декабря 2019 г.
  4. ^ Соски 1981
  5. ^ ДеМорган 1966
  6. ^ «Отношения – CS441» (PDF) . www.pitt.edu . Проверено 11 декабря 2019 г.

Библиография

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 77ce90fb1ac624a3a368993f86041240__1717906680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/77/40/77ce90fb1ac624a3a368993f86041240.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Finitary relation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)