Седенион

Седенионы
Символ	$\mathbb {S}$
Тип	неассоциативная алгебра
Единицы	е 0 , ..., е 15
Мультипликативная идентичность	е 0
Основные свойства	степенная ассоциативность распределительность
Общие системы
$\mathbb {N}$ Натуральные числа $\mathbb {Z}$ Целые числа $\mathbb {Q}$ Рациональные числа $\mathbb {R}$ Реальные числа $\mathbb {C}$ Комплексные числа $\mathbb {H}$ Кватернионы show Менее распространенные системы Octonions ($\mathbb {O}$) Sedenions ($\mathbb {S}$)

В абстрактной алгебре образуют седенионы 16- мерную некоммутативную и неассоциативную алгебру над действительными числами , обычно обозначаемую заглавной буквой S, жирным шрифтом S или жирным шрифтом на доске. $\mathbb {S}$. Они получены путем применения конструкции Кэли-Диксона к октонионам , и поэтому октонионы изоморфны подалгебре . седенионов В отличие от октонионов, седенионы не являются альтернативной алгеброй . Применение конструкции Кэли-Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, иногда называемую 32-ионами или тригинтадуонионами . Можно продолжать применять конструкцию Кэли–Диксона сколь угодно много раз.

Термин седенион также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов или алгебра матриц 4 × 4 над действительными числами, или алгебра, изученная Смитом (1995) .

Арифметика

Визуализация 4D-расширения кубического октониона . показывая 35 триад как гиперплоскости, проходящие через реальную реальность. $(e_{0})$ вершина приведенного примера седениона.

Подобно октонионам , умножение седенионов не является ни коммутативным , ни ассоциативным .Но в отличие от октонионов седенионы не обладают даже свойством альтернативности .Однако они обладают свойством степенной ассоциативности , которое можно сформулировать следующим образом: для любого элемента x из $\mathbb {S}$, сила $x^{n}$ хорошо определен. Они также гибки .

Каждый седенион представляет собой линейную комбинацию единичных седенионов. $e_{0}$, $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$, ..., $e_{15}$,которые составляют основу векторного пространства седенионов. Любой седенион можно представить в виде

$x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.$

Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным по отношению к сложению.

Как и другие алгебры, основанные на конструкции Кэли-Диксона , седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Итак, они содержат октонионы (генерируемые $e_{0}$ к $e_{7}$ в таблице ниже), а следовательно, и кватернионы (генерируемые $e_{0}$ к $e_{3}$), комплексные числа (генерируемые $e_{0}$ и $e_{1}$) и действительные числа (сгенерированные $e_{0}$).

Седенионы имеют мультипликативный тождественный элемент. $e_{0}$ и мультипликативные обратные, но они не являются алгеброй с делением, поскольку имеют делители нуля . Это означает, что два ненулевых седениона можно умножить, чтобы получить ноль: пример: $(e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})$. Все гиперкомплексные системы счисления после седенионов, основанные на конструкции Кэли – Диксона, также содержат делители нуля.

Таблица умножения седениона представлена ​​ниже:

$e_{i}e_{j}$		$e_{j}$
		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$-e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$-e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{9}$	$-e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{8}$	$e_{9}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$-e_{8}$
	$e_{8}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{12}$	$-e_{13}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{9}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{5}$	$e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$
	$e_{10}$	$e_{10}$	$e_{11}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{14}$	$-e_{15}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$e_{4}$	$e_{5}$
	$e_{11}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$e_{12}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$e_{4}$
	$e_{12}$	$e_{12}$	$e_{13}$	$e_{14}$	$e_{15}$	$e_{8}$	$-e_{9}$	$-e_{10}$	$-e_{11}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$	$-e_{2}$	$-e_{3}$
	$e_{13}$	$e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{15}$	$-e_{14}$	$e_{9}$	$e_{8}$	$e_{11}$	$-e_{10}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$
	$e_{14}$	$e_{14}$	$-e_{15}$	$-e_{12}$	$e_{13}$	$e_{10}$	$-e_{11}$	$e_{8}$	$e_{9}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{4}$	$e_{5}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$
	$e_{15}$	$e_{15}$	$e_{14}$	$-e_{13}$	$-e_{12}$	$e_{11}$	$e_{10}$	$-e_{9}$	$e_{8}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{5}$	$-e_{4}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$

Седенион недвижимость

Из приведенной выше таблицы мы видим, что:

$e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,$

$e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,$ и

$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.$

Антиассоциативный

Седенионы не являются полностью антиассоциативными. Выберите любые четыре генератора, $i,j,k$ и $l$. Следующий 5-цикл показывает, что все эти пять отношений не могут быть антиассоциативными.

$$(ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0$$

В частности, в таблице выше, используя $e_{1},e_{2},e_{4}$ и $e_{8}$ последнее выражение ассоциируется. $(e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}$

Кватернионные подалгебры

35 триад, составляющих эту конкретную таблицу умножения седениона, с 7 триадами октонионов, использованными при создании седениона посредством конструкции Кэли-Диксона , выделены жирным шрифтом:

Двоичные представления индексов этих троек поразрядно исключают ИЛИ до 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

Делители нуля

Список из 84 наборов делителей нуля. $\{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}$, где $(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0$:

$${\begin{array}{c}{\text{Sedenion Zero Divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\9\leq c\leq 15&&-9\geq d\geq -15\end{array}}\\{\begin{array}{ll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}\\\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}\\\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}\\\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}\\\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}$$

Приложения

Морено (1998) показал, что пространство пар седенионов нормы один, умножающихся до нуля, гомеоморфно компактной форме исключительной группы Ли G ₂ . (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов , которые умножаются на ноль.)

Гийяр и Греснигт (2019) продемонстрировали, что три поколения лептонов и кварков , связанные с ненарушенной калибровочной симметрией $\mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}}$ можно представить с помощью алгебры комплексифицированных седенионов $\mathbb {C\otimes S}$. Их рассуждения заключаются в том, что примитивный идемпотентный проектор $\rho _{+}=1/2(1+ie_{15})$ - где $e_{15}$ выбирается как мнимая единица, подобная $e_{7}$ для $\mathbb {O}$ в плоскости Фано - который действует на стандартном базисе седенионов, однозначно делит алгебру на три набора расщепляемых базисных элементов для $\mathbb {C\otimes O}$, чьи сопряженные левые действия на себе порождают три копии алгебры Клиффорда $\mathrm {C} l(6)$ которые, в свою очередь, содержат минимальные левые идеалы , описывающие одно поколение фермионов с непрерывными $\mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}}$ Калибровочная симметрия. В частности, они отмечают, что тензорные произведения между нормированными алгебрами с делением порождают делители нуля, подобные тем, что находятся внутри $\mathbb {S}$, где для $\mathbb {C\otimes O}$ отсутствие альтернативности и ассоциативности не влияет на построение минимальных левых идеалов, поскольку их лежащая в основе расщепленная основа требует умножения только двух базисных элементов, в которых ассоциативность или альтернативность не участвуют. Тем не менее, эти идеалы, построенные из присоединенной алгебры левых действий алгебры на себе, остаются ассоциативными, альтернативными и изоморфными алгебре Клиффорда. В общей сложности это позволяет создать три копии $(\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)}$ существовать внутри $\mathbb {(C\otimes S)} _{L}$. Более того, эти три комплексифицированные подалгебры октонионов не являются независимыми; у них есть общее $\mathrm {C} l(2)$ подалгебра, которая, как отмечают авторы, может составить теоретическую основу для матриц CKM и PMNS , которые соответственно описывают смешивание кварков и нейтринные осцилляции .

Нейронные сети Sedenion обеспечивают средство эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения, которое используется при решении множества задач прогнозирования временных рядов и трафика.

См. также

• Шестнадцатиквадратная личность Пфистера
• Сплит-комплексное число

Ссылки

• Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000), «Седенионы: алгебра и анализ», Прикладная математика и вычисления , 115 (2): 77–88, doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X , MR   1786945
• Баэз, Джон К. (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . МР   1886087 . S2CID   586512 .
• Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли-Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : математика/0702075 . Бибкод : 2007math......2075B .
• Гиллард, Адам Б.; Греснигт, Нильс Г. (2019). «Три поколения фермионов с двумя непрерывными калибровочными симметриями из комплексных седенионов» . Европейский физический журнал C . 79 (5). Спрингер : 1–11 (446). arXiv : 1904.03186 . Бибкод : 2019EPJC...79..446G . doi : 10.1140/epjc/s10052-019-6967-1 . S2CID   102351250 .
• Киньон, МК; Филлипс, доктор медицинских наук; Войтеховский, П. (2007). «С-петли: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее приложений . 6 (1): 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX   10.1.1.240.6208 . дои : 10.1142/S0219498807001990 . S2CID   48162304 .
• Кивунге, Бенард М.; Смит, Джонатан Д.Х. (2004). «Подлупы седенионов» (PDF) . Комментарий. Математика. унив. Каролина . 45 (2): 295–302.
• Морено, Гильермо (1998), «Дилители нуля алгебр Кэли – Диксона над действительными числами», Бол. Соц. Мат. Mexicana , Series 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode : 1997q.alg....10013G , MR   1625585
• Смит, Джонатан Д.Х. (1995), «Левая петля на 15-сфере», Journal of Algebra , 176 (1): 128–138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR   1345298
• Л.С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Метакогнитивная нейронная сеть, оценивающая седенион, и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, vol. 8, стр. 144823-144838, 2020, doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690 .