Проективно расширенная действительная линия

В реальном анализе проективно расширенная действительная линия (также называемая одноточечной компактификацией действительной линии ) является расширением набора действительных чисел . $\mathbb {R}$ , точкой, обозначенной $\infty$ . ^[1] Таким образом, это набор $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ с расширением стандартных арифметических операций, где это возможно, ^[1] и иногда обозначается $\mathbb {R} ^{*}$ ^[2] или ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ Добавленная точка называется точкой на бесконечности , поскольку она считается соседкой обоих концов реальной линии. Точнее, точка на бесконечности — это предел любой последовательности действительных чисел, значения которых возрастают абсолютные и не ограничены .

Проективно расширенную действительную линию можно идентифицировать с реальной проективной линией , в которой трем точкам присвоены определенные значения $0$ , $1$ и $\infty$ . Проективно расширенная линия действительных чисел отличается от аффинно расширенной линии действительных чисел , в которой $+\infty$ и $-\infty$ различны.

Деление на ноль [ править ]

В отличие от большинства математических моделей чисел, эта структура допускает деление на ноль :

{\frac {a}{0}}=\infty

для ненулевого a . В частности, $1/0 = \infty$ и $1/\infty = 0$ , что делает обратную функцию $1/ x$ полной функцией в этой структуре. ^[1] Структура, однако, не является полем , и ни одна из операций двоичной арифметики не является полной — например, $0 \cdot \infty$ не определено, даже если обратное число является полным. ^[1] Однако у него есть полезные интерпретации — например, в геометрии наклон вертикальной линии равен $\infty$ . ^[1]

Расширения реальной линии [ править ]

Проективно расширенная действительная линия расширяет поле действительных чисел точно так же, как сфера Римана расширяет поле комплексных чисел , добавляя одну точку, условно называемую $\infty$ .

Напротив, аффинно расширенная линия действительных чисел (также называемая двухточечной компактификацией действительной линии) различает $+\infty$ и $-\infty$ .

Заказать [ править ]

не Отношение порядка может быть распространено на ${\widehat {\mathbb {R} }}$ осмысленным образом. Учитывая число $a \neq \infty$ , нет убедительных аргументов в пользу определения либо $a > \infty,$ либо того, что $a < \infty$ . Поскольку $\infty$ нельзя сравнивать ни с одним из других элементов, нет смысла сохранять это соотношение на ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . ^[2] Однако заказ на $\mathbb {R}$ используется в определениях ${\widehat {\mathbb {R} }}$ .

Геометрия [ править ]

Фундаментальным для идеи о том, что $\infty$ является точкой, ничем не отличающейся от любой другой, является то, что действительная проективная линия представляет собой однородное пространство , фактически гомеоморфное окружности. Например, общая линейная группа вещественных обратимых матриц размера 2 × 2 имеет транзитивное действие на ней . Групповое действие может быть выражено преобразованиями Мёбиуса (также называемыми дробно-линейными преобразованиями), понимая, что когда знаменатель дробно-линейного преобразования равен $0$ , изображение равно $\infty$ .

Детальный анализ действия показывает, что для любых трех различных точек P , Q и R существует дробно-линейное преобразование, переводящее P в 0, Q в 1 и R в $\infty$ , то есть группа дробно-линейных преобразований трижды транзитивна. на действительной проективной прямой. Это нельзя распространить на наборы из 4 точек, поскольку двойное отношение инвариантно.

Терминологическая проективная линия уместна, поскольку точки находятся во взаимно однозначном соответствии с одномерными линейными подпространствами $\mathbb {R} ^{2}$ .

Арифметические операции [ править ]

Мотивация арифметических действий [ править ]

Арифметические операции над этим пространством являются расширением тех же операций с вещественными числами. Мотивацией новых определений являются пределы функций действительных чисел.

Определенные арифметические операции [ править ]

Помимо стандартных операций над подмножеством $\mathbb {R}$ из ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , для $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , за указанными исключениями: ^[3]^[2]

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

Арифметические операции, которые остались неопределенными [ править ]

Следующие выражения не могут быть мотивированы рассмотрением пределов действительных функций, и никакое их определение не позволяет сохранить неизменной форму стандартных алгебраических свойств для всех определенных случаев. ^[а] Следовательно, они остаются неопределенными:

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

Показательная функция $e^{x}$ не может быть распространено на ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . ^[2]

Алгебраические свойства [ править ]

Следующие равенства означают: либо обе стороны не определены, либо обе стороны определены и равны. Это справедливо для любого $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Следующее справедливо всякий раз, когда определены выражения, для любого $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

В общем, все законы арифметики, справедливые для $\mathbb {R}$ также действительны для ${\widehat {\mathbb {R} }}$ всякий раз, когда определены все встречающиеся выражения.

Интервалы и топология [ править ]

Понятие интервала можно расширить до ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Однако, поскольку это не упорядоченное множество, интервал имеет несколько иной смысл. Определения для замкнутых интервалов следующие (предполагается, что $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ): ^[2]^{[ необходимы дополнительные ссылки ]}

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

За исключением случаев, когда конечные точки равны, соответствующие открытые и полуоткрытые интервалы определяются путем удаления соответствующих конечных точек. Это переопределение полезно в интервальной арифметике при делении на интервал, содержащий 0. ^[2]

${\widehat {\mathbb {R} }}$ и пустое множество также являются интервалами, как и ${\widehat {\mathbb {R} }}$ исключая какую-либо одну точку. ^[б]

Открытые интервалы как основа определяют топологию на ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Для базы достаточны ограниченные открытые интервалы в $\mathbb {R}$ и интервалы $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ для всех $a,b\in \mathbb {R}$ такой, что $a<b.$

Как сказано, топология гомеоморфна кругу. Таким образом, она метризуема, соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этой окружности (измеренной либо по прямой, либо вдоль окружности). Не существует метрики, являющейся расширением обычной метрики на $\mathbb {R} .$

Интервальная арифметика [ править ]

Интервальная арифметика распространяется на ${\widehat {\mathbb {R} }}$ от $\mathbb {R}$ . Результатом арифметической операции над интервалами всегда является интервал, за исключением случаев, когда интервалы с бинарной операцией содержат несовместимые значения, приводящие к неопределенному результату. ^[с] В частности, мы имеем для каждого $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ :

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

независимо от того, включает ли какой-либо интервал $0$ и $\infty$ .

Исчисление [ править ]

Инструменты исчисления можно использовать для анализа функций ${\widehat {\mathbb {R} }}$ . Определения мотивированы топологией этого пространства.

Районы [ править ]

Позволять $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ и $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

$A$ является окрестностью x $,$ , если $A$ содержит открытый интервал $B$ содержащий $x$ .
$A$ является правосторонней окрестностью $x$ , если существует действительное число $y$ такое, что $y\neq x$ и $A$ содержит полуоткрытый интервал $[x,y)$ .
$A$ — левая окрестность точки $x$ , если существует действительное число $y$ такое, что $y\neq x$ и $A$ содержит полуоткрытый интервал $(y,x]$ .
$A$ является проколотой окрестностью (соответственно правосторонней или левосторонней проколотой окрестностью) точки $x$ , если $x\not \in A,$ и $A\cup \{x\}$ является окрестностью (соответственно правосторонней или левосторонней окрестностью) точки $x$ .

Ограничения [ править ]

Основные определения пределов [ править ]

Позволять $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ и $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ .

Пределом к f x ( x ) при $p$ приближении L является обозначаемый ,

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует проколотая окрестность B точки p такая, что $x\in B$ подразумевает $f(x)\in A$ .

f Односторонний предел ( x x ) , когда приближается к p справа (слева), равен L , обозначаемый

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),

тогда и только тогда, когда для каждой окрестности A точки L существует правосторонняя (левосторонняя) проколотая окрестность B точки p такая, что $x\in B$ подразумевает $f(x)\in A.$

Можно показать, что $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ тогда и только тогда, когда оба $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ и $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ .

Сравнение с ограничениями в $\mathbb {R}$ [ редактировать ]

Приведенные выше определения можно сравнить с обычными определениями пределов вещественных функций. В следующих высказываниях $p,L\in \mathbb {R} ,$ первый предел определен выше, а второй предел в обычном смысле:

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ эквивалентно $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ эквивалентно $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ эквивалентно $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ эквивалентно $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ эквивалентно $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ эквивалентно $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

Расширенное определение пределов [ править ]

Позволять $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ . Тогда p является предельной точкой A p тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки включает точку $y\in A$ такой, что $y\neq p.$

Позволять $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ , p предельная точка A . Предел f ( x ) при x приближении к p через A равен L тогда и только тогда, когда для каждой окрестности B точки L существует проколотая окрестность C точки p , такая, что $x\in A\cap C$ подразумевает $f(x)\in B.$

Это соответствует обычному топологическому определению непрерывности , примененному к топологии подпространства на $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ и ограничение на f $A\cup \lbrace p\rbrace .$

Преемственность [ править ]

Функция

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

непрерывен f в $точке p$ тогда и только тогда, когда $определено$ в $точке p$ и

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

Если $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ функция

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

непрерывна в $A$ тогда и только тогда, когда для любого $p\in A$ , $f$ определяется в $точке p$ и предел $f(x)$ поскольку $x$ стремится к $p$ через $A$ , $f(p).$

Любая рациональная функция $P (x)/ Q (x)$ , где $P$ и $Q$ — многочлены , может быть продолжена единственным способом до функции из ${\widehat {\mathbb {R} }}$ к ${\widehat {\mathbb {R} }}$ который непрерывен в ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ В частности, так обстоит дело с полиномиальными функциями , принимающими значение $\infty$ в $\infty ,$ если они не постоянны .

Кроме того, если касательная функция $\tan$ расширяется так, что

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

затем $\tan$ является непрерывным в $\mathbb {R} ,$ но не может быть продолжено дальше до функции, непрерывной по ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

Многие элементарные функции , непрерывные по $\mathbb {R}$ не может быть продолжено на функции, непрерывные по ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ Так обстоит дело, например, с показательной функцией и всеми тригонометрическими функциями . Например, функция синус непрерывна по $\mathbb {R} ,$ но его нельзя сделать непрерывным при $\infty .$ Как видно выше, касательная функция может быть продолжена до функции, непрерывной по $\mathbb {R} ,$ но эту функцию нельзя сделать непрерывной при $\infty .$

Многие разрывные функции, которые становятся непрерывными при кодомена до расширении ${\widehat {\mathbb {R} }}$ остаются разрывными, если кодомен расширяется до аффинно расширенной системы действительных чисел ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Это случай функции $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ С другой стороны, некоторые функции, непрерывные по $\mathbb {R}$ и прерывистый в $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ становятся непрерывными, если область определения расширяется до ${\overline {\mathbb {R} }}.$ Это относится к арктангенсу .

проективный Как диапазон

Когда действительная проективная прямая рассматривается в контексте действительной проективной плоскости , то следствия теоремы Дезарга неявны. В частности, построение проективного гармонического сопряженного отношения между точками является частью структуры вещественной проективной прямой. Например, для любой пары точек точка на бесконечности является проективно-гармоническим сопряжением их средней точки .

Поскольку проективности сохраняют гармоническое отношение, они образуют автоморфизмы вещественной проективной прямой. Проективности описываются алгебраически как гомографии , поскольку действительные числа образуют кольцо , согласно общей конструкции проективной прямой над кольцом . В совокупности они образуют группу PGL(2, R ) .

Проективности, обратные самим себе, называются инволюциями . Гиперболическая инволюция имеет две неподвижные точки . Два из них соответствуют элементарным арифметическим операциям на вещественной проективной прямой: отрицанию и взаимному поступлению . Действительно, 0 и ∞ фиксируются при отрицании, а 1 и −1 фиксируются при взаимном поступлении.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Однако существует расширение, в котором все алгебраические свойства, ограниченные определенными операциями в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , примените стандартные правила: см. Теорию колеса .
^ Если требуется согласованность дополнения, такая, что $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ и $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ для всех $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (где определен интервал с обеих сторон), все интервалы, исключая $\varnothing$ и ${\widehat {\mathbb {R} }}$ может быть естественным образом представлено с использованием этого обозначения, с $(a,a)$ интерпретируется как ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ и полуоткрытые интервалы с равными конечными точками, например $(a,a]$ , оставаясь неопределенным.
^ Например, соотношение интервалов $[0,1]/[0,1]$ содержит $0$ в обоих интервалах, а поскольку $0/0$ не определено, то и результат деления этих интервалов не определен.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это НБУ, ДДЕ (05.11.2019). ПГ МТМ 201 Б1 . Управление дистанционного образования Университета Северной Бенгалии.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 января 2023 г.
^ Ли, Нам Хун (28 апреля 2020 г.). Геометрия: от изометрий к специальной теории относительности . Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-42101-4 .

[4] Однако существует расширение, в котором все алгебраические свойства, ограниченные определенными операциями в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , примените стандартные правила: см. Теорию колеса .

[5] Если требуется согласованность дополнения, такая, что $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ и $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ для всех $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (где определен интервал с обеих сторон), все интервалы, исключая $\varnothing$ и ${\widehat {\mathbb {R} }}$ может быть естественным образом представлено с использованием этого обозначения, с $(a,a)$ интерпретируется как ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ и полуоткрытые интервалы с равными конечными точками, например $(a,a]$ , оставаясь неопределенным.

[6] Например, соотношение интервалов $[0,1]/[0,1]$ содержит $0$ в обоих интервалах, а поскольку $0/0$ не определено, то и результат деления этих интервалов не определен.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это НБУ, ДДЕ (05.11.2019). ПГ МТМ 201 Б1 . Управление дистанционного образования Университета Северной Бенгалии.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 22 января 2023 г.

[3] Ли, Нам Хун (28 апреля 2020 г.). Геометрия: от изометрий к специальной теории относительности . Спрингер Природа. ISBN 978-3-030-42101-4 .

[1]

[2]

[3]

[а]

[б]

[с]