Теория колеса

Диаграмма колеса в виде реальной проективной линии с нулевой точкой (обозначается ⊥).

Колесо — это тип алгебры (в смысле универсальной алгебры ), в которой всегда определено деление. В частности, деление на ноль имеет смысл . Действительные числа можно расширить до колеса, как и любое коммутативное кольцо .

Термин «колесо» вдохновлен топологической картиной. $\odot$ реальной проективной линии вместе с дополнительной точкой ⊥ ( нижним элементом ), например $\bot =0/0$.

Колесо можно рассматривать как эквивалент коммутативного кольца (и полукольца ), где сложение и умножение являются не группой , а соответственно коммутативным моноидом и коммутативным моноидом с инволюцией .

Определение

Колесо — это алгебраическая структура $(W,0,1,+,\cdot ,/)$, в котором

• $W$ это набор,
• ${}0$ и $1$ являются элементами этого множества,
• $+$ и $\cdot$ это бинарные операции ,
• $/$ это унарная операция ,

и удовлетворяющий следующим свойствам:

• $+$ и $\cdot$ каждый из них коммутативен и ассоциативен и имеет $\,0$ и $1$ как их соответствующие личности .
• $/$ это инволюция , например $//x=x$
• $/$ мультипликативен например , $/(xy)=/x/y$
• $(x+y)z+0z=xz+yz$
• $(x+yz)/y=x/y+z+0y$
• $0\cdot 0=0$
• $(x+0y)z=xz+0y$
• $/(x+0y)=/x+0y$
• $0/0+x=0/0$

Алгебра колес

Колеса заменяют обычное деление как бинарную операцию на умножение, при этом унарная операция применяется к одному аргументу. $/x$ аналогично (но не идентично) мультипликативному обратному $x^{-1}$, такой, что $a/b$ становится сокращением от $a\cdot /b=/b\cdot a$, но ни $a\cdot b^{-1}$ ни $b^{-1}\cdot a$ в общем, и модифицирует правила алгебры так, что

• $0x\neq 0$ в общем случае
• $x/x\neq 1$ в общем случае, как $/x$ не то же самое, что мультипликативное обратное выражение $x$.

Другими идентичностями, которые могут быть получены, являются

• $0x+0y=0xy$
• $x/x=1+0x/x$
• $x-x=0x^{2}$

где отрицание $-x$ определяется $-x=ax$ и $x-y=x+(-y)$ если есть элемент $a$ такой, что $1+a=0$ (таким образом, в общем случае $x-x\neq 0$).

Однако для значений $x$ удовлетворяющий $0x=0$ и $0/x=0$, мы получаем обычное

• $x/x=1$
• $x-x=0$

Если отрицание можно определить, как показано ниже, то подмножество $\{x\mid 0x=0\}$ — коммутативное кольцо , и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если $x$ обратимый элемент коммутативного кольца, то $x^{-1}=/x$. Таким образом, всякий раз, когда $x^{-1}$ имеет смысл, оно равно $/x$, но последнее всегда определено, даже если $x=0$.

Примеры

Колесо дробей

Позволять $A$ — коммутативное кольцо, и пусть $S$ мультипликативным субмоноидом быть $A$. Определите отношение конгруэнтности $\sim _{S}$ на $A\times A$ с помощью

$(x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})$ означает, что существуют $s_{x},s_{y}\in S$ такой, что $(s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})$.

Определить дробей колесо $A$ относительно $S$ как частное $A\times A~/{\sim _{S}}$ (и обозначая класс эквивалентности , содержащий $(x_{1},x_{2})$ как $[x_{1},x_{2}]$) с операциями

$0=[0_{A},1_{A}]$ (аддитивная идентичность)

$1=[1_{A},1_{A}]$ (мультипликативная идентичность)

$/[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]$ (взаимная операция)

$[x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]$ (операция сложения)

$[x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]$ (операция умножения)

линия и

В частном случае вышеизложенного, начиная с поля, получается проективная линия , продленная до колеса путем присоединения нижнего элемента, отмеченного ⊥ , где $0/0=\bot$. Проективная линия сама по себе является расширением исходного поля элементом $\infty$, где $z/0=\infty$ для любого элемента $z\neq 0$ в поле. Однако, $0/0$ еще не определен на проективной прямой, но определен в своем продолжении на колесо.

Начиная с действительных чисел , соответствующая проективная «линия» геометрически представляет собой круг , а затем дополнительную точку. $0/0$ придает форму, которая является источником термина «колесо». Или вместо этого, начиная с комплексных чисел , соответствующая проективная «линия» представляет собой сферу ( сфера Римана ), а затем дополнительная точка дает трехмерную версию колеса.

См. также

• НЭН

Ссылки

• Сетцер, Антон (1997), Колеса (PDF) (черновик)
• Карлстрём, Йеспер (2004), «Колеса – при делении на ноль», Mathematical Structures in Computer Science , 14 (1), Cambridge University Press : 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110 , S2CID   11706592 (также доступно онлайн здесь ).
• А, Бергстра; В., Такер Дж. (1 апреля 2007 г.). «Рациональные числа как абстрактный тип данных» . Журнал АКМ . 54 (2): 7. дои : 10.1145/1219092.1219095 . S2CID   207162259 .
• Бергстра, Ян А.; Понсе, Альбан (2015). «Деление на ноль на Обыкновенных лугах» . Программное обеспечение, услуги и системы: очерки, посвященные Мартину Вирсингу по случаю его ухода с кафедры программирования и разработки программного обеспечения . Конспекты лекций по информатике. 8950 . Springer International Publishing: 46–61. arXiv : 1406.6878 . дои : 10.1007/978-3-319-15545-6_6 . ISBN  978-3-319-15544-9 . S2CID   34509835 .