Реальная проективная линия

В геометрии вещественная проективная линия — это проективная линия над действительными числами . Это расширение обычного понятия линии , которое исторически вводилось для решения проблемы, поставленной визуальной перспективой : две параллельные линии не пересекаются, а кажутся пересекающимися «в бесконечности». Для решения этой проблемы были введены бесконечно удаленные точки таким образом, что на реальной проективной плоскости две различные проективные линии встречаются ровно в одной точке. Совокупность этих точек в бесконечности, «горизонт» зрительной перспективы на плоскости, представляет собой настоящую проективную линию. Это набор направлений, исходящих от наблюдателя, находящегося в любой точке, с идентифицированными противоположными направлениями.
Примером реальной проективной прямой является проективно расширенная действительная линия , которую часто называют проективной прямой.
Формально вещественная проективная линия P ( R ) определяется как набор всех одномерных линейных подпространств двумерного векторного пространства над вещественными числами. Автоморфизмы или вещественной проективной прямой называются проективными преобразованиями гомографиями . дробно -линейными преобразованиями , Они образуют проективную линейную группу PGL(2, R ). Каждый элемент PGL(2, R ) может быть определен неособой вещественной матрицей 2×2, а две матрицы определяют один и тот же элемент PGL(2, R ), если одна из них является произведением другой и ненулевого действительного числа.
Топологически вещественные проективные гомеоморфны окружностям прямые . Комплексным аналогом вещественной проективной прямой является комплексная проективная прямая , называемая также сферой Римана .
Определение [ править ]
Точки вещественной проективной прямой обычно определяются как классы эквивалентности отношения эквивалентности . Отправной точкой является вещественное векторное пространство размерности 2, V . Определим на V ∖ 0 бинарное отношение v ~ w, которое будет выполняться, когда существует ненулевое действительное число t такое, что v = t w . Из определения векторного пространства почти сразу следует, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности — это векторные линии, из которых удален нулевой вектор. Вещественная проективная прямая P ( V ) — это множество всех классов эквивалентности. Каждый класс эквивалентности рассматривается как отдельная точка или, другими словами, точка определяется как класс эквивалентности.
Если кто-то выбирает базис V , это равносильно (путем отождествления вектора с его координатным вектором ) отождествлению V с прямым произведением R × R = R. 2 и отношение эквивалентности становится ( x , y ) ~ ( w , z ), если существует ненулевое действительное число t такое, что ( x , y ) = ( tw , tz ) . В этом случае проективная линия P ( R 2 ) предпочтительно обозначается P 1 ( Р ) или .Класс эквивалентности пары ( x , y ) традиционно обозначается [ x : y ] , двоеточие в обозначении напоминает, что, если y ≠ 0 , отношение x : y одинаково для всех элементов класса эквивалентности. Если точка P является классом эквивалентности [ x : y ], говорят, что x , y ) — пара проективных координат точки P. ( [1]
Поскольку P ( V ) определяется через отношение эквивалентности, каноническая проекция из V в P ( V ) определяет топологию ( фактор-топологию ) и дифференциальную структуру на проективной прямой. Однако тот факт, что классы эквивалентности не конечны, вызывает некоторые трудности при определении дифференциальной структуры. Эти проблемы решаются путем рассмотрения V как евклидова векторного пространства . Окружность в единичных векторов случае R 2 , набор векторов, координаты которых удовлетворяют x 2 + и 2 = 1 . Этот круг пересекает каждый класс эквивалентности ровно в двух противоположных точках. Следовательно, проективную прямую можно рассматривать как фактор-пространство окружности по отношению эквивалентности, такое что v ~ w тогда и только тогда, когда либо v = w, либо v = − w .
Графики [ править ]
Проективная прямая является многообразием . Это можно увидеть с помощью приведенной выше конструкции через отношение эквивалентности, но легче понять, предоставив атлас, состоящий из двух диаграмм.
- График №1:
- График №2:
Отношение эквивалентности предусматривает, что все представители класса эквивалентности отсылаются по карте к одному и тому же вещественному числу.
Любой из x или y может быть нулевым, но не оба, поэтому обе диаграммы необходимы для покрытия проективной линии. Карта перехода между этими двумя диаграммами является мультипликативной инверсией . Поскольку это дифференцируемая функция и даже аналитическая функция (вне нуля), действительная проективная линия является одновременно дифференцируемым многообразием и аналитическим многообразием .
Обратная функция графика №1 — это карта
Он определяет вложение вещественной прямой в проективную линию, дополнением изображения которой является точка [1:0] . Пара, состоящая из этого вложения и проективной прямой, называется проективно расширенной вещественной прямой . Отождествляя действительную линию с ее изображением посредством этого вложения, можно видеть, что проективную линию можно рассматривать как объединение действительной линии и единственной точки [1: 0] , называемой бесконечной точкой проективно расширенной действительной линии, и обозначается ∞ . Это вложение позволяет нам идентифицировать точку [ x : y ] либо с действительным числом x / y, если y ≠ 0 , или с ∞ в другом случае.
Такую же конструкцию можно проделать и с другой диаграммой. В этом случае точка на бесконечности — это [0:1] . Это показывает, что понятие точки, находящейся на бесконечности, не присуще действительной проективной линии, а связано с выбором вложения действительной линии в проективную линию.
Структура [ править ]
Действительная проективная линия — это полный проективный диапазон , который находится в действительной проективной плоскости и в комплексной проективной прямой. Таким образом, его структура унаследована от этих надстроек. Главным среди этих структур является отношение проективных гармонических сопряжений между точками проективной области.
Действительная проективная прямая имеет циклический порядок , расширяющий обычный порядок действительных чисел.
Автоморфизмы [ править ]
Проективная линейная группа и ее действие [ править ]
Умножение матрицы на вектор определяет левое действие группы GL 2 ( R ) на пространстве R 2 векторов-столбцов: явно,
Поскольку каждая матрица в GL 2 ( R ) фиксирует нулевой вектор и отображает пропорциональные векторы в пропорциональные векторы, существует индуцированное действие GL 2 ( R ) на P 1 ( R ) : явно, [2]
(Здесь и далее обозначения для однородных координат обозначает класс эквивалентности матрицы-столбца его не следует путать с матрицей строк )
Элементы GL 2 ( R ), тривиально действующие на P 1 ( R ) — ненулевые скалярные кратные единичной матрицы; они образуют подгруппу, обозначенную R × . Проективная линейная группа определяется как факторгруппа PGL 2 ( R ) = GL 2 ( R )/ R × . Согласно вышесказанному существует индуцированное точное действие PGL 2 ( R ) на P 1 ( Р ) . причине группу PGL 2 ( R ) можно также назвать группой линейных автоморфизмов P По этой 1 ( Р ) .
Линейные дробные преобразования [ править ]
Используя отождествление R ∪ ∞ → P 1 ( R ) отправляя x в [ x :1] и ∞ в [1:0] , можно получить соответствующее действие PGL 2 ( R ) на R ∪ ∞ , которое осуществляется дробно-линейными преобразованиями : явно, поскольку
класс в PGL 2 ( R ) действует как [3] [4] [5] и , [6] с пониманием, что каждую дробь со знаменателем 0 следует интерпретировать как ∞ . [7]
Свойства [ править ]
- Даны две упорядоченные тройки различных точек в P 1 ( R ) существует единственный элемент PGL 2 ( R ), отображающий первую тройку во вторую; т. е. действие резко 3-транзитивно . Например, дробно-линейное преобразование, отображающее (0, 1, ∞) в (−1, 0, 1), является преобразованием Кэли. .
- Стабилизатором ( в PGL 2 преобразований R ) точки ∞ является аффинная группа вещественной прямой, состоящая из для всех a ∈ R × и б € р .
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Аргумент, используемый для построения P 1 ( R ) также можно использовать с любым полем K и любой размерностью для построения проективного пространства P н ( К ) .
- ^ Мияке, Модульные формы , Springer, 2006, §1.1. Эта ссылка и некоторые другие ниже работают с P 1 ( C ) вместо P 1 ( R ) , но принцип тот же.
- ^ Ланг, Эллиптические функции , Springer, 1987, 3.§1.
- ^ Серр, Курс арифметики , Springer, 1973, VII.1.1.
- ^ Стиллвелл, Математика и ее история , Springer, 2010, §8.6.
- ^ Ланг, Комплексный анализ , Springer, 1999, VII, §5.
- ^ Коблиц, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы , Springer, 1993, III.§1.
Ссылки [ править ]
- Хуан Карлос Альварес Пайва (2000) Реальная проективная линия , содержание курса Нью-Йоркского университета .
- Сантьяго Каньес (2014) Заметки по проективной геометрии , Северо-Западный университет .