Реальная проективная линия

В геометрии вещественная проективная линия — это проективная линия над действительными числами . Это расширение обычного понятия линии , которое исторически вводилось для решения проблемы, поставленной визуальной перспективой : две параллельные линии не пересекаются, а кажутся пересекающимися «в бесконечности». Для решения этой проблемы были введены бесконечно удаленные точки таким образом, что на реальной проективной плоскости две различные проективные линии встречаются ровно в одной точке. Совокупность этих точек в бесконечности, «горизонт» зрительной перспективы на плоскости, представляет собой настоящую проективную линию. Это набор направлений, исходящих от наблюдателя, находящегося в любой точке, с указанием противоположных направлений.

Примером реальной проективной прямой является проективно расширенная действительная линия , которую часто называют проективной прямой.

Формально вещественная проективная линия P ( R ) определяется как набор всех одномерных линейных подпространств двумерного векторного пространства над вещественными числами. Автоморфизмы преобразованиями вещественной проективной прямой называются проективными преобразованиями , гомографиями или дробно-линейными . Они образуют проективную линейную группу PGL(2, R ). Каждый элемент PGL(2, R ) может быть определен неособой вещественной матрицей 2×2, а две матрицы определяют один и тот же элемент PGL(2, R ), если одна из них является произведением другой и ненулевого действительного числа.

Топологически вещественные проективные гомеоморфны окружностям . прямые Комплексным аналогом вещественной проективной прямой является комплексная проективная прямая , называемая также сферой Римана .

Определение [ править ]

Точки вещественной проективной прямой обычно определяются как классы эквивалентности эквивалентности отношения . Отправной точкой является вещественное векторное пространство размерности 2, $V$ . Определим на $V ∖ 0$ бинарное отношение $v ~ w$ , которое будет выполняться, когда существует ненулевое действительное число $t$ такое, что $v = t w$ . Из определения векторного пространства почти сразу следует, что это отношение эквивалентности. Классы эквивалентности — это векторные линии, из которых удален нулевой вектор. Вещественная проективная прямая $P (V)$ — это множество всех классов эквивалентности. Каждый класс эквивалентности рассматривается как отдельная точка или, другими словами, точка определяется как класс эквивалентности.

Если кто-то выбирает базис $V$ , это равносильно (путем отождествления вектора с его координатным вектором ) отождествлять $V$ с прямым произведением $R \times R = R 2$ и отношение эквивалентности становится $(x, y) ~ (w, z)$ , если существует ненулевое действительное число $t$ такое, что $(x, y) = (tw, tz)$ . В этом случае проективная линия $P (R 2)$ предпочтительно обозначается $P 1 (Р)$ или $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ . Класс эквивалентности пары $(x, y)$ традиционно обозначается $[x : y]$ , двоеточие в обозначении напоминает, что, если $y \neq 0$ , отношение $x : y$ одинаково для всех элементов класса эквивалентности. Если точка $P$ является классом эквивалентности $[x : y]$ говорят, что $(x, y)$ — пара проективных координат точки $P.$ , ^[1]

Поскольку $P (V)$ определяется через отношение эквивалентности, каноническая проекция из $V$ в $P (V)$ определяет топологию ( фактор-топологию ) и дифференциальную структуру на проективной прямой. Однако тот факт, что классы эквивалентности не конечны, вызывает некоторые трудности при определении дифференциальной структуры. Эти проблемы решаются путем рассмотрения $V$ как евклидова векторного пространства . Окружность векторов единичных R случае $в 2$ , набор векторов, координаты которых удовлетворяют $x 2 + и 2 = 1$ . Этот круг пересекает каждый класс эквивалентности ровно в двух противоположных точках. Следовательно, проективную прямую можно рассматривать как фактор-пространство окружности по отношению эквивалентности, такое что $v ~ w$ тогда и только тогда, когда либо $v = w$ , либо $v = - w$ .

Графики [ править ]

Проективная прямая является многообразием . Это можно увидеть с помощью приведенной выше конструкции через отношение эквивалентности, но легче понять, предоставив атлас , состоящий из двух диаграмм.

График №1: $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$
График №2: $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$

Отношение эквивалентности предусматривает, что все представители класса эквивалентности отсылаются диаграммой к одному и тому же вещественному числу.

Любой из $x$ или $y$ может быть нулевым, но не оба, поэтому обе диаграммы необходимы для покрытия проективной линии. Карта перехода между этими двумя диаграммами является мультипликативной инверсией . Поскольку это дифференцируемая функция и даже аналитическая функция (вне нуля), действительная проективная линия является одновременно дифференцируемым многообразием и аналитическим многообразием .

Обратная функция графика №1 — это карта

x\mapsto [x:1].

Он определяет вложение вещественной прямой в проективную прямую, дополнением изображения которой является точка $[1:0]$ . Пара, состоящая из этого вложения и проективной прямой, называется проективно расширенной вещественной прямой . Отождествляя действительную линию с ее изображением посредством этого вложения, можно видеть, что проективную линию можно рассматривать как объединение действительной линии и единственной точки $[1: 0]$ , называемой точкой на бесконечности проективно расширенной действительной линии, и обозначается $\infty$ . Это вложение позволяет нам идентифицировать точку $[x : y]$ либо с действительным числом $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}x / y$ , если $y \neq 0$ , или с $\infty$ в другом случае.

Такую же конструкцию можно проделать и с другой диаграммой. В данном случае точка на бесконечности — это $[0:1]$ . Это показывает, что понятие точки, находящейся в бесконечности, не присуще действительной проективной линии, а связано с выбором вложения действительной линии в проективную линию.

Структура [ править ]

Действительная проективная линия — это полный проективный диапазон , который находится в действительной проективной плоскости и в комплексной проективной прямой. Таким образом, его структура унаследована от этих надстроек. Главным среди этих структур является отношение проективных гармонических сопряжений между точками проективного ряда.

Действительная проективная прямая имеет циклический порядок , расширяющий обычный порядок действительных чисел.

Автоморфизмы [ править ]

Проективная линейная группа и ее действие [ править ]

Умножение матрицы на вектор определяет левое действие группы $GL 2 (R)$ на пространстве $R 2$ векторов-столбцов: явно,

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.

Поскольку каждая матрица в $GL 2 (R)$ фиксирует нулевой вектор и отображает пропорциональные векторы в пропорциональные векторы, существует индуцированное действие $GL 2 (R)$ на $P 1 (R)$ : явно, ^[2]

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:y]=[ax+by:cx+dy].

(Здесь и далее обозначения $[x:y]$ для однородных координат обозначает класс эквивалентности матрицы-столбца $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ его не следует путать с матрицей строк $[x\;y].$ )

Элементы $GL 2 (R)$ , тривиально действующие на $P 1 (R)$ — ненулевые скалярные кратные единичной матрицы; они образуют подгруппу, обозначенную $R \times$ . Проективная линейная группа определяется как факторгруппа $PGL 2 (R) = GL 2 (R)/ R \times$ . Согласно вышесказанному существует индуцированное точное действие $PGL 2 (R)$ на $P 1 (Р)$ . этой причине группу $PGL 2 (R)$ можно также назвать группой линейных автоморфизмов P $По 1 (Р)$ .

Линейные дробные преобразования [ править ]

Используя отождествление $R \cup \infty \to P 1 (R)$ отправляя $x$ в $[x :1]$ и $\infty$ в $[1:0]$ , можно получить соответствующее действие $PGL 2 (R)$ на $R \cup \infty$ , которое осуществляется дробно-линейными преобразованиями : явно, поскольку

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:1]=[ax+b:cx+d]\quad \mathrm {and} \quad {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[1:0]=[a:c],

класс ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ в $PGL 2 (R)$ действует как $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ ^[3]^[4]^[5] и $\infty \mapsto {\frac {a}{c}}$ , ^[6] с пониманием, что каждую дробь со знаменателем 0 следует интерпретировать как $\infty$ . ^[7]

Свойства [ править ]

Даны две упорядоченные тройки различных точек в $P 1 (R)$ существует единственный элемент $PGL 2 (R)$ , отображающий первую тройку во вторую; т. е. действие резко 3-транзитивно . Например, дробно-линейное преобразование, отображающее $(0, 1, \infty)$ в $(-1, 0, 1),$ является преобразованием Кэли. $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ .
Стабилизатором PGL в $точки 2 (R)$ ∞ $преобразований$ является аффинная группа вещественной прямой, состоящая из $x\mapsto ax+b$ для всех $a \in R \times$ и $б € р$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Аргумент, используемый для построения $P 1 (R)$ также можно использовать с любым полем K и любой размерностью для построения проективного пространства $P н (К)$ .
^ Мияке, Модульные формы , Springer, 2006, §1.1. Эта ссылка и некоторые другие ниже работают с $P 1 (C)$ вместо $P 1 (R)$ , но принцип тот же.
^ Ланг, Эллиптические функции , Springer, 1987, 3.§1.
^ Серр, Курс арифметики , Springer, 1973, VII.1.1.
^ Стиллвелл, Математика и ее история , Springer, 2010, §8.6.
^ Ланг, Комплексный анализ , Springer, 1999, VII, §5.
^ Коблиц, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы , Springer, 1993, III.§1.

Ссылки [ править ]

Хуан Карлос Альварес Пайва (2000) Реальная проективная линия , содержание курса Нью-Йоркского университета .
Сантьяго Каньес (2014) Заметки по проективной геометрии, Северо -Западный университет .

[1] Аргумент, используемый для построения $P 1 (R)$ также можно использовать с любым полем K и любой размерностью для построения проективного пространства $P н (К)$ .

[2] Мияке, Модульные формы , Springer, 2006, §1.1. Эта ссылка и некоторые другие ниже работают с $P 1 (C)$ вместо $P 1 (R)$ , но принцип тот же.

[3] Ланг, Эллиптические функции , Springer, 1987, 3.§1.

[4] Серр, Курс арифметики , Springer, 1973, VII.1.1.

[5] Стиллвелл, Математика и ее история , Springer, 2010, §8.6.

[6] Ланг, Комплексный анализ , Springer, 1999, VII, §5.

[7] Коблиц, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы , Springer, 1993, III.§1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]