Точка в бесконечности

Настоящая линия с точкой, уходящей в бесконечность; она называется действительной проективной линией .

В геометрии точка на бесконечности или идеальная точка — это идеализированная предельная точка в «конце» каждой линии.

В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость приходится одна идеальная точка ) на каждый пучок параллельных прямых плоскости . Соединение этих точек образует проективную плоскость , в которой невозможно выделить ни одну точку, если мы «забудем», какие точки были добавлены. Это справедливо для геометрии над любым полем и, в более общем плане, над любым телом .

В реальном случае точка, находящаяся на бесконечности, превращает линию в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все точки, находящиеся на бесконечности, образуют проективное подпространство, размерность которого на одно меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Бесконечную точку также можно добавить к комплексной прямой (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превратив ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия C P ¹ , также называемая сферой Римана (когда в каждую точку отображаются комплексные числа).

В случае гиперболического пространства каждая прямая имеет две различные идеальные точки . Здесь множество идеальных точек принимает форму квадрики .

Аффинная геометрия

В аффинном или евклидовом пространстве более высокой размерности точки на бесконечности — это точки, которые добавляются к пространству для получения проективного завершения . Множество точек на бесконечности называется, в зависимости от размерности пространства, линией на бесконечности , плоскостью на бесконечности или гиперплоскостью на бесконечности , во всех случаях проективным пространством на одно измерение меньше.

Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием , то же самое верно и для множества бесконечно удаленных точек. Аналогично, если основное поле является действительным или комплексным полем, набор точек на бесконечности представляет собой многообразие .

Перспектива

Основная статья: Перспектива (графическая)

В художественном рисунке и технической перспективе проекция на картинную плоскость бесконечно удаленной точки класса параллельных линий называется их точкой схода .

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Идеальная точка

В гиперболической геометрии точки , находящиеся на бесконечности, обычно называются идеальными точками . В отличие от евклидовой и эллиптической геометрии, каждая прямая имеет две точки на бесконечности: если линия l и точка P не лежат на l , то правая и левая ограничивающие параллели сходятся асимптотически к разным точкам на бесконечности.

Все точки на бесконечности вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической плоскости .

Проективная геометрия

На проективной плоскости возникает симметрия точек и линий: как пара точек определяет линию, так и пара прямых определяет точку. Существование параллельных линий приводит к установлению точки на бесконечности, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия выросла из исследования графической перспективы , где параллельная проекция возникает как центральная проекция , где центр C является точкой, находящейся на бесконечности, или образной точкой . Аксиоматическая симметрия точек и линий называется двойственностью .

Хотя точка, находящаяся на бесконечности, рассматривается наравне с любой другой точкой проективного диапазона , при представлении точек с проективными координатами отмечается различие: конечные точки обозначаются цифрой 1 в конечной координате, тогда как точка, находящаяся на бесконечности, имеет 0 там. Необходимость представления точек, находящихся на бесконечности, требует наличия одной дополнительной координаты за пределами пространства конечных точек.

Другие обобщения

Основная статья: Компактификация (математика)

Эту конструкцию можно обобщить на топологические пространства . Для данного пространства могут существовать различные компактификации, но произвольное топологическое пространство допускает расширение Александрова , также называемое одноточечной компактификацией , когда исходное пространство само по себе не является компактным . Проективная линия (над произвольным полем) является расширением Александрова соответствующего поля. Таким образом, окружность представляет собой одноточечную компактификацию вещественной прямой , а сфера — одноточечную компактификацию плоскости. Проективные пространства P ^н при n > 1 не являются одноточечными компактификациями соответствующих аффинных пространств по причине, упомянутой выше в разделе § Аффинная геометрия , а пополнения гиперболических пространств с идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.

См. также

• Деление на ноль
• Сфера в бесконечности
• Средняя точка § Обобщения
• Асимптота § Алгебраические кривые