Точка в бесконечности
 | Эта статья нуждается в дополнительных ссылок для проверки . ( июль 2017 г. ) |
В геометрии точка на бесконечности или идеальная точка — это идеализированная предельная точка в «конце» каждой линии.
В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость приходится одна идеальная точка ) на каждый пучок параллельных прямых плоскости . Соединение этих точек образует проективную плоскость , в которой невозможно выделить ни одну точку, если мы «забудем», какие точки были добавлены. Это справедливо для геометрии над любым полем и, в более общем плане, над любым телом . [1]
В реальном случае точка, находящаяся на бесконечности, превращает линию в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все точки, находящиеся на бесконечности, образуют проективное подпространство, размерность которого на одно меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Бесконечную точку также можно добавить к комплексной линии (которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превратив ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия C P 1 , также называемая сферой Римана (когда в каждую точку отображаются комплексные числа).
В случае гиперболического пространства каждая прямая имеет две различные идеальные точки . Здесь множество идеальных точек принимает форму квадрики .
Аффинная геометрия [ править ]
В аффинном или евклидовом пространстве более высокой размерности точки на бесконечности — это точки, которые добавляются к пространству для получения проективного завершения . [ нужна цитата ] Множество точек на бесконечности называется, в зависимости от размерности пространства, линией на бесконечности , плоскостью на бесконечности или гиперплоскостью на бесконечности , во всех случаях проективным пространством на одно измерение меньше. [2]
Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием , то же самое верно и для множества бесконечно удаленных точек. Аналогично, если основное поле является действительным или комплексным полем, набор точек на бесконечности представляет собой многообразие .
Перспектива [ править ]
В художественном рисунке и технической перспективе проекция на картинную плоскость бесконечно удаленной точки класса параллельных линий называется их точкой схода . [3]
Гиперболическая геометрия [ править ]
В гиперболической геометрии точки , находящиеся на бесконечности, обычно называются идеальными точками . [4] В отличие от евклидовой и эллиптической геометрии, каждая прямая имеет две точки на бесконечности: если линия l и точка P не лежат на l , то правая и левая ограничивающие параллели сходятся асимптотически к разным точкам на бесконечности.
Все точки на бесконечности вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической плоскости .
Проективная геометрия [ править ]
На проективной плоскости возникает симметрия точек и линий: как пара точек определяет линию, так и пара прямых определяет точку. Существование параллельных линий приводит к установлению точки на бесконечности, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия выросла из исследования графической перспективы , где параллельная проекция возникает как центральная проекция , где центр C является точкой, находящейся на бесконечности, или образной точкой . [5] Аксиоматическая симметрия точек и линий называется двойственностью .
Хотя точка, находящаяся на бесконечности, рассматривается наравне с любой другой точкой проективного диапазона , при представлении точек с проективными координатами отмечается различие: конечные точки обозначаются цифрой 1 в конечной координате, тогда как точка, находящаяся на бесконечности, имеет 0 там. Необходимость представления точек, находящихся на бесконечности, требует наличия одной дополнительной координаты за пределами пространства конечных точек.
Другие обобщения [ править ]
Эту конструкцию можно обобщить на топологические пространства . Для данного пространства могут существовать различные компактификации, но любое топологическое пространство допускает расширение Александрова , также называемое одноточечной компактификацией , когда исходное пространство само по себе не является компактным . Проективная линия (над произвольным полем) является расширением Александрова соответствующего поля. Таким образом, окружность представляет собой одноточечную компактификацию вещественной прямой , а сфера — одноточечную компактификацию плоскости. Проективные пространства P н при n > 1 не являются одноточечными компактификациями соответствующих аффинных пространств по причине, упомянутой выше в разделе § Аффинная геометрия , а пополнения гиперболических пространств с идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Точка в бесконечности» . mathworld.wolfram.com . Вольфрамовые исследования . Проверено 28 декабря 2016 г.
- ^ Коксетер, HSM (1987). Проективная геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 109.
- ^ Фожерас, Оливье ; Луонг, Куанг-Туан (2001). Геометрия нескольких изображений: законы, управляющие формированием нескольких изображений сцены, и некоторые их применения . МТИ Пресс. п. 19. ISBN 978-0262062206 .
- ^ Кей, Дэвид С. (2011). Студенческая геометрия: единое развитие . ЦРК Пресс. п. 548.
- ^ Холстед, Великобритания (1906). Синтетическая проективная геометрия . п. 7.