Самолет в бесконечности

В проективной геометрии плоскость на бесконечности — это гиперплоскость на бесконечности трехмерного проективного пространства или любая плоскость, содержащаяся в гиперплоскости на бесконечности любого проективного пространства более высокого измерения. Эта статья будет посвящена исключительно трехмерному случаю.

Определение

Существует два подхода к определению плоскости на бесконечности , которые зависят от того, начинаете ли вы с проективного 3-мерного пространства или с аффинного 3-мерного пространства .

Если дано проективное трехмерное пространство, то плоскостью на бесконечности является любая выделенная проективная плоскость пространства. Эта точка зрения подчеркивает тот факт, что эта плоскость геометрически не отличается от любой другой плоскости. С другой стороны, в аффинном 3-мерном пространстве плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, которая добавляется к аффинному 3-мерному пространству, чтобы придать ему замыкание свойств инцидентности . Это означает, что точки бесконечной плоскости — это точки пересечения параллельных линий аффинного трехмерного пространства, а линии — это линии пересечения параллельных плоскостей аффинного трехмерного пространства. Результатом сложения является проективное трехмерное пространство, $P^{3}$. Эта точка зрения подчеркивает внутреннюю структуру плоскости на бесконечности, но делает ее «особенной» по сравнению с другими плоскостями пространства.

Если аффинное трехмерное пространство действительно, $\mathbb {R} ^{3}$, то добавление реальной проективной плоскости $\mathbb {R} P^{2}$ на бесконечности создает реальное проективное трехмерное пространство $\mathbb {R} P^{3}$.

Аналитическое представление

Поскольку любые две проективные плоскости в проективном 3-пространстве эквивалентны, мы можем выбрать однородную систему координат так, чтобы любая точка на бесконечной плоскости представлялась как ( X : Y : Z : 0). Любая точка в аффинном трехмерном пространстве будет тогда представлена ​​как ( X : Y : Z :1). Кажется, что точки на бесконечной плоскости имеют три степени свободы, но однородные координаты эквивалентны любому изменению масштаба:

$(X:Y:Z:0)\equiv (aX:aY:aZ:0)$,

так что координаты ( X : Y : Z :0) можно нормализовать , уменьшив таким образом степени свободы до двух (таким образом, поверхность, а именно проективная плоскость).

Утверждение : Любая линия, проходящая через начало координат (0:0:0:1) и точку ( X : Y : Z :1), будет пересекать плоскость на бесконечности в точке ( X : Y : Z :0).

Доказательство : линия, проходящая через точки (0:0:0:1) и ( X : Y : Z :1), будет состоять из точек, которые являются линейными комбинациями двух данных точек:

$a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).$

Чтобы такая точка лежала на плоскости на бесконечности, мы должны иметь: $a+b=0$. Итак, выбрав $a=-b$, мы получаем точку $(bX:bY:bZ:0)=(X:Y:Z:0)$, как требуется. КЭД

Любая пара параллельных прямых в трехмерном пространстве будет пересекать друг друга в бесконечной точке плоскости. Кроме того, каждая линия в трехмерном пространстве пересекает плоскость на бесконечности в единственной точке. Эта точка определяется направлением — и только направлением — линии. Для определения этой точки рассмотрим линию, параллельную данной прямой, но проходящую через начало координат, если линия еще не проходит через начало координат. Затем выберите любую точку на этой второй линии, кроме начала координат. Если однородные координаты этой точки равны ( X : Y : Z :1), то однородные координаты бесконечной точки, через которую проходят первая и вторая линии, равны ( X : Y : Z :0).

Пример : рассмотрим линию, проходящую через точки (0:0:1:1) и (3:0:1:1). Параллельная линия проходит через точки (0:0:0:1) и (3:0:0:1). Эта вторая линия пересекает плоскость на бесконечности в точке (3:0:0:0). Но через эту точку проходит и первая строка:

$\lambda (3:0:1:1)+\mu (0:0:1:1)$

$=(3\lambda :0:\lambda +\mu :\lambda +\mu )$

$=(3:0:0:0)$

когда $\lambda +\mu =0$. ■

Любая пара параллельных плоскостей в аффинном трехмерном пространстве будет пересекать друг друга по проективной линии ( бесконечной линии ) в бесконечной плоскости. Кроме того, каждая плоскость в аффинном трехмерном пространстве пересекает плоскость на бесконечности по единственной прямой. Эта линия определяется направлением — и только направлением — плоскости.

Характеристики

Поскольку плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, она гомеоморфна поверхности «сферы по модулю антиподов», то есть сферы, в которой противоположные точки эквивалентны: S ² /{1,-1}, где под фактором понимается фактор по групповому действию (см. факторпространство ).

Ссылки

• Бамкрот, Роберт Дж. (1969), Современная проективная геометрия , Холт, Райнхарт и Уинстон
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN  0-486-63415-9
• Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN  0-486-65812-0
• Сэмюэл, Пьер (1988), Проективная геометрия , Чтения UTM по математике, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96752-4
• Вудс, Фредерик С. (1961) [1922], Высшая геометрия / Введение в передовые методы аналитической геометрии , Дувр
• Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия , Холден-Дэй