Идеальная точка
В гиперболической геометрии идеальная точка , точка омега. [1] или точка на бесконечности — это четко определенная точка вне гиперболической плоскости или пространства.Учитывая прямую l и точку P, не лежащую на l , правые и левые параллели к l через P сходятся к l в идеальных точках .
В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу , а не подмногообразие. Итак, эти прямые не пересекаются в идеальной точке и такие точки, хотя и четко определены, не принадлежат самому гиперболическому пространству.
Идеальные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической геометрии . Например, единичный круг образует абсолют Кэли модели диска Пуанкаре и модели диска Клейна .Действительная линия образует абсолют Кэли модели полуплоскости Пуанкаре . [2]
Аксиома Паша и теорема о внешнем угле по-прежнему справедливы для омега-треугольника, определяемого двумя точками в гиперболическом пространстве и омега-точкой. [3]
Характеристики
[ редактировать ]- Гиперболическое расстояние между идеальной точкой и любой другой точкой или идеальной точкой бесконечно.
- Центры орициклов и оришаров являются идеальными точками; два орицикла концентричны , если они имеют один и тот же центр.
Многоугольники с идеальными вершинами
[ редактировать ]Идеальные треугольники
[ редактировать ]Если все вершины треугольника являются идеальными точками, то треугольник является идеальным треугольником .
Некоторые свойства идеальных треугольников включают в себя:
- Все идеальные треугольники равны.
- Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
- Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой идеальный треугольник имеет площадь где K — (всегда отрицательная) кривизна плоскости. [4]
Идеальные четырехугольники
[ редактировать ]Если все вершины четырехугольника являются идеальными точками, то этот четырехугольник является идеальным четырехугольником.
Хотя все идеальные треугольники конгруэнтны, не все выпуклые идеальные четырехугольники конгруэнтны. Они могут отличаться друг от друга, например, углом, под которым две их диагонали пересекают друг друга. Тем не менее все выпуклые идеальные четырехугольники обладают некоторыми общими свойствами:
- Все внутренние углы выпуклого идеального четырехугольника равны нулю.
- Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет бесконечный периметр.
- Любой выпуклый идеальный четырехугольник имеет площадь где K — (всегда отрицательная) кривизна плоскости.
Идеальный квадрат
[ редактировать ]Идеальный четырехугольник, в котором две диагонали перпендикулярны друг другу, образует идеальный квадрат.
Его использовал Фердинанд Карл Швейкарт в своем меморандуме о том, что он назвал «астральной геометрией», одной из первых публикаций, признающих возможность гиперболической геометрии . [5]
Идеальный н- шум
[ редактировать ]Идеальный n -угольник можно разделить на ( n - 2) идеальных треугольников, площадь которых ( n - 2) раз превышает площадь идеального треугольника.
Представления в моделях гиперболической геометрии.
[ редактировать ]В модели диска Клейна и модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальные точки находятся на единичной окружности (гиперболическая плоскость) или единичной сфере (высшие измерения), которая является недостижимой границей гиперболической плоскости.
При проецировании одной и той же гиперболической линии на модель диска Клейна и модель диска Пуанкаре обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки в обеих моделях находятся в одном и том же месте).
Маленькая дисковая модель
[ редактировать ]Учитывая две различные точки p и q в открытом единичном круге, единственная прямая линия, соединяющая их, пересекает единичный круг в двух идеальных точках, a и b , помеченных так, что точки имеют порядок a , p , q , b , так что |вод| > |ап| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как
Модель диска Пуанкаре
[ редактировать ]Учитывая две различные точки p и q в открытом единичном круге, тогда единственная дуга окружности, ортогональная границе, соединяющей их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b , помеченных так, что точки имеют порядок a , p , q , b так, что |aq| > |ап| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается как
Где расстояния измеряются вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.
Модель полуплоскости Пуанкаре
[ редактировать ]В модели полуплоскости Пуанкаре идеальными точками являются точки на граничной оси. Есть еще одна идеальная точка, которая не представлена в модели полуплоскости (но к ней подходят лучи, параллельные положительной оси Y).
Гиперболоидная модель
[ редактировать ]В модели гиперболоида идеальных точек нет.
См. также
[ редактировать ]- Идеальный треугольник
- Идеальный многогранник
- Указывает на бесконечность для использования в других геометриях.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Сибли, Томас К. (1998). Геометрическая точка зрения: обзор геометрии . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 109 . ISBN 0-201-87450-4 .
- ^ Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли-Клейна», Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi : 10.1007/s00022-010-0053-z , ISSN 0047-2468 , МР 2739193
- ^ Хвидстен, Майкл (2005). Геометрия с помощью Geometry Explorer . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 276–283. ISBN 0-07-312990-9 .
- ^ Терстон, Дилан (осень 2012 г.). «274 кривые на поверхностях, лекция 5» (PDF) . Проверено 23 июля 2013 г.
- ^ Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Полная и неизмененная республика 1. Английский перевод, 1912 г., изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. стр. 75–77 . ISBN 0486600270 .