Метрика Кэли – Клейна

Метрическое расстояние между двумя точками внутри абсолюта — это логарифм перекрестного отношения, образованного этими двумя точками и двумя пересечениями их линии с абсолютом.

В математике метрика Кэли-Клейна — это метрика дополнения к фиксированной квадрике в проективном пространстве , которая определяется с помощью перекрестного отношения . Истоком конструкции послужило эссе Артура Кэли «К теории расстояния». где он называет квадрику абсолютом . Конструкция была более подробно развита Феликсом Кляйном в статьях 1871 и 1873 годов, а также в последующих книгах и статьях. Метрики Кэли-Клейна являются объединяющей идеей в геометрии, поскольку этот метод используется для получения метрик в гиперболической геометрии , эллиптической геометрии и евклидовой геометрии . Область неевклидовой геометрии во многом опирается на метрики Кэли – Клейна.

Фонды

Алгебра бросков Карла фон Штаудта (1847) — это подход к геометрии, не зависящий от метрики . Идея заключалась в том, чтобы использовать отношение проективных гармонических сопряжений и перекрестных отношений как фундаментальное для измерения на прямой. Еще одним важным открытием стала формула Лагерра Эдмона Лагерра (1853 г.), которая показала, что евклидов угол между двумя линиями можно выразить как логарифм перекрестного отношения. В конце концов, Кэли (1859) сформулировал соотношения для выражения расстояния в терминах проективной метрики и связал их с общими квадриками или кониками, служащими абсолютом геометрии . Кляйн (1871, 1873) удалил последние остатки метрических концепций из работы фон Штаудта и объединил их с теорией Кэли, чтобы основать новую метрику Кэли на логарифме и перекрестном отношении как числе, полученном в результате геометрического расположения четырех точек. Эта процедура необходима, чтобы избежать кругового определения расстояния, если перекрестное отношение представляет собой просто двойное отношение ранее определенных расстояний. В частности, он показал, что неевклидовы геометрии могут быть основаны на метрике Кэли-Клейна.

Геометрия Кэли-Клейна - это исследование группы движений метрики Кэли-Клейна , которые оставляют инвариант . Это зависит от выбора квадрики или коники, которая станет абсолютом пространства. Эта группа получается как коллинеации, для которых абсолют устойчив . Действительно, перекрестное отношение инвариантно при любой коллинеации, а стабильный абсолют позволяет проводить метрическое сравнение, которое будет равенством. Например, единичный круг является абсолютом модели диска Пуанкаре и модели Бельтрами-Клейна в гиперболической геометрии . Точно так же действительная линия является абсолютом модели полуплоскости Пуанкаре .

Степень геометрии Кэли-Клейна была резюмирована Хорстом и Рольфом Струве в 2004 году:

В реальной проективной линии три абсолюта, в реальной проективной плоскости — семь, в реальном проективном пространстве — 18. Таким образом можно определить все классические неевклидовы проективные пространства, такие как гиперболические, эллиптические, галилеевы и Минковские, а также двойственные им.

Кэли-Клейна- Диаграммы Вороного представляют собой аффинные диаграммы с линейными биссектрисами гиперплоскости .

Перекрестное соотношение и расстояние

Метрика Кэли-Клейна впервые проиллюстрирована на вещественной проективной прямой P( R ) и проективных координатах . Обычно проективная геометрия не связана с метрической геометрией, но связь обеспечивает устройство с гомографией и натуральным логарифмом. Начните с двух точек p и q на P( R ). В каноническом вложении это [ p :1] и [ q :1]. Гомографическая карта

$[z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[p-z:z-q]$

переводит p в ноль и q в бесконечность. Более того, средняя точка ( p + q )/2 переходит в [1:1]. Натуральный логарифм переводит изображение интервала [ p , q ] в действительную линию, при этом логарифм изображения средней точки равен 0.

Для расстояния между двумя точками в интервале метрика Кэли – Клейна использует логарифм отношения точек.Как соотношение сохраняется, когда числитель и знаменатель перепропорционированы поровну, так и логарифм таких отношений сохраняется. Эта гибкость соотношений позволяет перемещать нулевую точку на расстояние: чтобы переместить ее в a , примените вышеуказанную гомографию, скажем, получив w . Затем сформируйте эту гомографию:

$[z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}$ который переводит [ w ,1] в [1 : 1].

Композиция первой и второй гомографии переводит a в 1, нормализуя тем самым произвольное a в интервале. называются гомографиями перекрестных отношений p Составленные гомографии , q и a . Часто перекрестное соотношение вводится как функция четырех величин. Здесь три определяют гомографию, а четвертый является аргументом гомографии. Расстояние этой четвертой точки от 0 является логарифмом оцененной гомографии.

Предположим , что в проективном пространстве, содержащем P( R коника K ), задана с p и q на K . Гомография в большем пространстве может иметь K как инвариантное множество , поскольку оно переставляет точки пространства. Такая гомография индуцирует гомографию на P( R ), и поскольку p и q остаются на K , перекрестное отношение остается инвариантным. Высшие гомографии обеспечивают движение области, ограниченной K , с расстоянием, сохраняющим движение, - изометрию .

Дисковые приложения

Предположим, в качестве абсолюта выбрана единичная окружность. Это может быть в П. ² ( Р ) как

$\{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}$ что соответствует $(x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.$

С другой стороны, единичная окружность в обычной комплексной плоскости

$\{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}$ использует комплексных чисел арифметику

и находится в комплексной проективной прямой P( C ), чем-то отличном от реальной проективной плоскости P ² ( Р ).Понятие расстояния для P( R ), введенное в предыдущем разделе, доступно, поскольку P( R ) включен как в P ² ( Р ) и Р ( С ). Скажем, a и b находятся внутри круга в P. ² ( Р ). Тогда они лежат на прямой, пересекающей окружность в точках p и q . Расстояние от a до b — это логарифм значения гомографии, созданной выше с помощью p , q и a , применительно к b . В этом случае геодезические на диске представляют собой отрезки прямых.

С другой стороны, геодезические представляют собой дуги обобщенных окружностей в диске комплексной плоскости. Этот класс кривых переставляется преобразованиями Мёбиуса , источником движений этого диска, которые покидают единичную окружность как инвариантное множество . Учитывая a и b в этом диске, существует уникальная обобщенная окружность, которая пересекает единичную окружность под прямым углом, скажем, пересекая ее в точках p и q . Опять же, для расстояния от a до b сначала строится гомография для p, q и a , затем вычисляется ее в b и, наконец, используется логарифм. Двумя моделями гиперболической плоскости, полученными таким образом, являются модель Кэли-Клейна и модель диска Пуанкаре .

Специальная теория относительности

Основная статья: История преобразований Лоренца

В своих лекциях по истории математики 1919/20 г., опубликованных посмертно в 1926 г., Кляйн писал:

Дело ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ в четырехмерном мире или $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0$ (оставаться в трех измерениях и использовать однородные координаты ) недавно приобрело особое значение благодаря теории относительности в физике.

То есть абсолюты ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}$ или ${\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$ в гиперболической геометрии (как обсуждалось выше) соответствуют интервалам ${\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}$ или ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ в пространстве-времени , и его преобразования, оставляющие абсолютный инвариант, можно отнести к преобразованиям Лоренца . Аналогично, уравнения единичного круга или единичной сферы в гиперболической геометрии соответствуют физическим скоростям ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ или ${\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ в теории относительности, которые ограничены скоростью света   c , так что для любой физической скорости v отношение v / c ограничивается внутренней частью единичной сферы, а поверхность сферы образует абсолют Кэли для геометрии.

Дополнительные подробности о связи между метрикой Кэли – Клейна для гиперболического пространства и пространством Минковского специальной теории относительности были указаны Кляйном в 1910 году: а также в издании 1928 года его лекций по неевклидовой геометрии.

Аффинная CK-геометрия

В 2008 году Хорст Мартини и Маргарита Спирова обобщили первую из теорем Клиффорда о окружности и другую евклидову геометрию, используя аффинную геометрию , связанную с абсолютом Кэли:

Если абсолют содержит линию, то получается подсемейство аффинных геометрий Кэли – Клейна . Если абсолют состоит из линии f и точки F на f , то мы имеем изотропную геометрию . Изотропный круг — это коника, касающаяся в точке F. f

Используйте однородные координаты ( x,y,z ). Линия f на бесконечности равна z = 0. Если F = (0,1,0), то парабола с диаметром, параллельным оси y, представляет собой изотропный круг.

Пусть P = (1,0,0) и Q = (0,1,0) находятся в абсолюте, поэтому f такой же, как указано выше. прямоугольная гипербола в плоскости ( x,y Считается, что ) проходит через P и Q на бесконечной прямой. Эти кривые представляют собой псевдоевклидовы круги.

В трактовке Мартини и Спировой используются двойственные числа для изотропной геометрии и расщепленные комплексные числа для псевдоевклидовой геометрии. Эти обобщенные комплексные числа связаны со своей геометрией так же, как обычные комплексные числа связаны с евклидовой геометрией.

История

Кэли

Недавно в разговоре возник вопрос, может ли диссертация в 2 строки заслужить и получить стипендию. ... Проективное определение длины Кэли является наглядным примером, если мы можем интерпретировать «2 строки» с разумной широтой. ... В случае с Кэли важность идеи очевидна с первого взгляда.

Литтлвуд (1986 , стр. 39–40)

Артур Кэли (1859) определил «абсолют», на котором он основывал свою проективную метрику, как общее уравнение поверхности второй степени в терминах однородных координат :

оригинальный	современный
$(a,b,c)(x,y)^{2}=0$	$\sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0$

Тогда расстояние между двумя точками определяется выражением

оригинальный	современный
$\cos ^{-1}{\frac {(a,b,c)(x,y)\left(x',y'\right)}{{\sqrt {(a,b,c)(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}$	${\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}}\\\left[\alpha ,\beta =1,2\right]\end{array}}$

В двух измерениях

оригинальный	современный
$(a,b,c,f,g,h)(x,y,z)^{2}=0$	$\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,$

с расстоянием

оригинальный	современный
$\cos ^{-1}{\frac {(a,\dots )(x,y,z)\left(x',y',z'\right)}{{\sqrt {(a,\dots )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\dots )(x',y',z')^{2}}}}}$	${\begin{array}{c}\cos ^{-1}{\dfrac {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }}{{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }}}{\sqrt {\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }}}}},\ \\\left(\alpha ,\beta =1,2,3\right)\end{array}}$

из которых он обсудил особый случай $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ с расстоянием

$$\cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}$$

Он также упомянул случай $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ (единичная сфера).

Кляйн

Феликс Кляйн (1871) переформулировал выражения Кэли следующим образом: Он написал абсолют (который он назвал фундаментальным коническим сечением) в терминах однородных координат:

оригинальный	современный
$\Omega =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}=0$	$\Omega =\sum _{\alpha ,\beta =1,2}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0$

и формируя абсолюты $\Omega _{xx}$ и $\Omega _{yy}$ для двух элементов он определил метрическое расстояние между ними через перекрестное отношение:

$$c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}$$

оригинальный	современный
${\begin{matrix}\Omega _{xx}=ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _{xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\Omega _{xx}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\\\Omega _{yy}=\sum a_{\alpha \beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\sum a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha ,\beta =1,2\right)\end{matrix}}$

На плоскости выполняются те же соотношения для метрических расстояний, за исключением того, что $\Omega _{xx}$ и $\Omega _{yy}$ теперь связаны с тремя координатами $x,y,z$ каждый. В качестве фундаментального конического сечения он рассмотрел частный случай $\Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0$, что относится к гиперболической геометрии, когда она реальна, и к эллиптической геометрии, когда она воображаема. Преобразования, оставляющие инвариант этой формы, представляют собой движения в соответствующем неевклидовом пространстве. Альтернативно он использовал уравнение окружности в виде $\Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0$, что относится к гиперболической геометрии, когда $c$ положителен (модель Бельтрами – Клейна) или эллиптической геометрии, когда $c$ является отрицательным. В пространстве он обсуждал фундаментальные поверхности второй степени, согласно которым мнимые относятся к эллиптической геометрии, вещественные и прямолинейные соответствуют однополостному гиперболоиду , не имеющему отношения к одной из трех основных геометрий, а вещественные и непрямолинейные относятся к гиперболическому пространству.

В своей статье 1873 года он указал на связь между метрикой Кэли и группами преобразований. В частности, квадратные уравнения с действительными коэффициентами, соответствующие поверхностям второй степени, можно преобразовать в сумму квадратов, у которой разница между количеством положительных и отрицательных знаков остается равной (это теперь называется законом инерции Сильвестра ). Если знаки всех квадратов одинаковы, поверхность является мнимой с положительной кривизной. Если один признак отличается от других, поверхность становится эллипсоидом или двуполостным гиперболоидом отрицательной кривизны.

В первом томе своих лекций по неевклидовой геометрии в зимнем семестре 1889/90 г. (опубликовано в 1892/1893 г.) он обсуждал неевклидову плоскость, используя следующие выражения для абсолюта: $$\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}$$и обсудили их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.

Во втором томе, содержащем лекции летнего семестра 1890 года (также опубликованного в 1892/1893 году), Кляйн обсуждал неевклидово пространство с метрикой Кэли. $$\sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,$$и продолжил показывать, что варианты этой четвертичной квадратичной формы можно привести к одной из следующих пяти форм с помощью действительных линейных преобразований: $${\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}$$

Форма $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0$ использовался Кляйном как абсолют Кэли эллиптической геометрии. а к гиперболической геометрии он отнес $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0$ и альтернативно уравнение единичной сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$. В конце концов он обсудил их инвариантность относительно коллинеаций и преобразований Мёбиуса, представляющих движения в неевклидовых пространствах.

Роберт Фрике и Кляйн суммировали все это во введении к первому тому лекций по автоморфным функциям 1897 года, в которых они использовали $e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0$ как абсолют в плоской геометрии, и $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0$ а также $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1$ для гиперболического пространства. Лекции Кляйна по неевклидовой геометрии были посмертно переизданы в одном томе и существенно отредактированы Вальтером Роземаном в 1928 году. Исторический анализ работ Кляйн по неевклидовой геометрии был дан А'Кампо и Пападопулосом (2014).

См. также

• Гильбертова метрика

Ссылки

Исторический

• фон Штаудт, К. (1847). Геометрия локации . Нюрнберг: Нюрнберг Ф. Корн.
• Лагер, Э. (1853). «Заметки по теории фокусов» . Новые летописи математики . 12 :57–66.
• Кэли, А. (1859). «Шестые мемуары о квантике» . Философские труды Лондонского королевского общества . 149 : 61–90. дои : 10.1098/rstl.1859.0004 .
• Кляйн, Ф. (1871). «О так называемой неевклидовой геометрии» . Математические летописи . 4 (4): 573–625. дои : 10.1007/BF02100583 . S2CID   119465069 .
• Кляйн, Ф. (1873). «О так называемой неевклидовой геометрии» . Математические летописи . 6 (2): 112–145. дои : 10.1007/BF01443189 . S2CID   123810749 .
• Кляйн, Ф. (1893a). Шиллинг, о. (ред.). Неевклидова геометрия I, лекция, прочитанная в зимнем семестре 1889–1890 гг . Геттинген. {{cite book}}: CS1 maint: местонахождение отсутствующего издателя ( ссылка ) (второй тираж, первый тираж 1892 года)
• Кляйн, Ф. (1893b). Шиллинг, о. (ред.). Неевклидова геометрия II, лекция, прочитанная в летнем семестре 1890 года . Геттинген. {{cite book}}: CS1 maint: местонахождение отсутствующего издателя ( ссылка ) (второй тираж, первый тираж 1892 года)

Вторичные источники

• Киллинг, В. (1885). Неевклидовы пространственные формы . Лейпциг: Тойбнер.
• Фрике, Р.; Кляйн, Ф. (1897). Лекции по теории автоморфных функций - первый том: Основы теории групп . Лейпциг: Тойбнер.
• Рассел, Бертран (1898), «Очерк основ геометрии», переизданный в 1956 году издательством Dover Publications, Inc.
• Альфред Норт Уайтхед (1898) Универсальная алгебра , Книга VI, Глава 1: Теория расстояния, стр. 347–70, особенно раздел 199 «Теория расстояния Кэли».
• Хаусдорф, Ф. (1899). «Аналитический вклад в неевклидову геометрию» . Лейпциг Матем.-Физ. Отчеты . 51 : 161–214. hdl : 2027/hvd.32044092889328 .
• Дункан Соммервилл (1910/11) «Метрики Кэли – Клейна в n -мерном пространстве», Труды Эдинбургского математического общества 28: 25–41.
• Кляйн, Феликс (1921). «О геометрических основах группы Лоренца» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 19 :533-552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . ISBN  978-3-642-51898-0 . Перепечатано в Кляйн, Феликс (1921). Сборник математических трактатов . Том 1. стр. 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . Английский перевод Дэвида Дельфениха: О геометрических основах группы Лоренца.
• Веблен, О.; Янг, JW (1918). Проективная геометрия . Бостон: Джинн.
• Либманн, Х. (1923). Неевклидова геометрия . Берлин и Лейпциг: Берлин В. де Грюйтер.
• Кляйн, Ф. (1926). Курант Р.; Нойгебауэр, О. (ред.). Лекции о развитии математики в 19 веке . Берлин: Шпрингер. ; Английский перевод: Развитие математики в XIX веке М. Акермана, Math Sci Press.
• Кляйн, Ф. (1928). Розманн, В. (ред.). Лекции по неевклидовой геометрии . Берлин: Шпрингер.
• Пирпон, Дж. (1930). «Неевклидова геометрия, ретроспектива» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 36 (2): 66–76. дои : 10.1090/S0002-9904-1930-04885-5 .
• Литтлвуд, JE (1986) [1953], сборник Литтлвуда , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-33058-9 , МР   0872858
• Харви Липкин (1985) Метрическая геометрия из Технологического института Джорджии.
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2004), «Проективные пространства с метриками Кэли – Клейна», Journal of Geometry , 81 (1): 155–167, doi : 10.1007/s00022-004-1679-5 , ISSN   0047-2468 , MR   2134074 , S2CID   121783102
• Мартини, Хорст; Спирова, Маргарита (2008). «Геометрия окружности в аффинных плоскостях Кэли – Клейна». Периодика Математика Венгерка . 57 (2): 197–206. дои : 10.1007/s10998-008-8197-5 . S2CID   31045705 .
• Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли-Клейна», Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi : 10.1007/s00022-010-0053-z , ISSN   0047-2468 , МР   2739193 , S2CID   123015988
• А'Кампо, Н.; Пападопулос, А. (2014). «О так называемой неевклидовой геометрии Клейна». Ин Джи, Л.; Пападопулос, А. (ред.). Софус Ли и Феликс Кляйн: Эрлангенская программа и ее влияние на математику и физику . стр. 91–136. arXiv : 1406.7309 . дои : 10.4171/148-1/5 . ISBN  978-3-03719-148-4 . S2CID   6389531 .
• Нильсен, Франк; Мюзеллек, Борис; Нок, Ричард (2016), «Классификация с использованием смесей кривых показателей Махаланобиса», Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP), 2016 г. , стр. 241–245, doi : 10.1109/ICIP.2016.7532355 , ISBN  978-1-4673-9961-6 , S2CID   7481968

Дальнейшее чтение

• Дрёслер, Ян (1979), «Основы многомерного метрического масштабирования в геометрии Кэли – Клейна», Британский журнал математической и статистической психологии , 32 (2): 185–211