История преобразований Лоренца

История преобразований Лоренца включает развитие линейных преобразований, образующих группу Лоренца или группу Пуанкаре, сохраняющих интервал Лоренца. $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ и внутренний продукт Минковского $-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}$.

В математике преобразования, эквивалентные тому, что позже было известно как преобразования Лоренца в различных измерениях, обсуждались в 19 в. в связи с теорией квадратичных форм , гиперболической геометрией , геометрией Мёбиуса и геометрией сферы , что связано с тем, что группа движений в гиперболическом пространстве группа Мёбиуса или проективная специальная линейная группа группа Лагерра изоморфны и группе Лоренца .

В физике преобразования Лоренца стали известны в начале 20 века, когда было обнаружено, что они проявляют симметрию уравнений Максвелла . Впоследствии они стали фундаментальными для всей физики, поскольку легли в основу специальной теории относительности , в которой они демонстрируют симметрию пространства-времени Минковского , делая скорость света инвариантной между различными инерциальными системами отсчета. Они связывают пространственно-временные координаты двух произвольных инерциальных систем отсчета с постоянной относительной скоростью v . В одном кадре положение события задается x,y,z и временем t , а в другом кадре то же самое событие имеет координаты x',y',z' и t' .

Математическая предыстория

Используя коэффициенты симметричной матрицы A , связанную с ней билинейную форму и линейные преобразования с точки зрения матрицы преобразования g , преобразование Лоренца задается, если выполняются следующие условия:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} =\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} &=\mathbf {g} ^{-1}\\\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} &=\mathbf {A} \\\mathbf {g} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }&=\mathbf {A} \end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {A} ={\rm {diag}}(-1,1,\dots ,1)\\\det \mathbf {g} =\pm 1\end{matrix}}$

Он образует неопределенную ортогональную группу, называемую группой Лоренца O(1,n), а случай det g =+1 образует ограниченную группу Лоренца SO(1,n). Квадратичная форма становится интервалом Лоренца в терминах неопределенной квадратичной формы пространства Минковского (будучи частным случаем псевдоевклидова пространства ), а соответствующая билинейная форма становится внутренним произведением Минковского . Задолго до появления специальной теории относительности она использовалась в таких темах, как метрика Кэли-Клейна , модель гиперболоида и другие модели гиперболической геометрии , вычисления эллиптических функций и интегралов, преобразование неопределенных квадратичных форм , сжатие отображений гиперболы, теория групп. , преобразования Мёбиуса , преобразования сферических волн , преобразования уравнения Синус-Гордон , алгебра бикватернионов , расщепленные комплексные числа , алгебра Клиффорда и другие.

Учебные материалы из Викиверситета:

• Викиверситет : История наиболее общих преобразований Лоренца

включает вклады Карла Фридриха Гаусса (1818 г.), Карла Густава Якоба Якоби (1827, 1833/34), Мишеля Шаля (1829), Виктора-Амеде Лебега (1837), Томаса Веддла (1847), Эдмона Бура (1856), Осипа Ивановича. Сомов (1863), Вильгельм Киллинг (1878–1893), Анри Пуанкаре (1881), Хомершам Кокс (1881–1883), Джордж Уильям Хилл (1882), Эмиль Пикард (1882–1884), Октав Калландро (1885), Софус Ли (1885–1890), Луи Жерар (1892), Феликс Хаусдорф (1899), Фредерик С. Вудс (1901–05), Генрих Либман (1904/05).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца посредством мнимого ортогонального преобразования

включает работы Софуса Ли (1871 г.), Германа Минковского (1907–1908), Арнольда Зоммерфельда (1909).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца с помощью гиперболических функций

включает вклад Винченцо Риккати (1757), Иоганна Генриха Ламберта (1768–1770), Франца Тауринуса (1826), Эухенио Бельтрами (1868), Шарля-Анжа Лесана (1874), Густава фон Эшериха (1874), Джеймса Уитбрида Ли Глейшера ( 1878), Зигмунд Гюнтер (1880/81), Гомершам Кокс (1881/82), Рудольф Липшиц (1885/86), Фридрих Шур (1885–1902), Фердинанд фон Линдеманн (1890–91), Луи Жерар (1892), Вильгельм Киллинг (1893–97), Альфред Норт Уайтхед (1897/98), Эдвин Бейли Эллиотт (1903), Фредерик С. Вудс (1903), Генрих Либманн (1904/05), Филипп Франк (1909), Густав Герглотц (1909) /10), Владимир Варичак (1910).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца посредством сферного преобразования

включает вклад Пьера Оссиана Бонне (1856 г.), Альберта Рибокура (1870 г.), Софуса Ли (1871a), Гастона Дарбу (1873–87), Эдмона Лагерра (1880 г.), Сипарисоса Стефаноса (1883 г.), Георга Шефферса (1899 г.), Перси Ф. Смит (1900), Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем (1909–1910).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца посредством преобразования Кэли – Эрмита

использовался Артуром Кэли (1846–1855), Чарльзом Эрмитом (1853, 1854), Полем Густавом Генрихом Бахманом (1869), Эдмоном Лагерром (1882), Гастоном Дарбу (1887), Перси Ф. Смитом (1900), Эмилем Борелем ( 1913).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца через параметры Кэли-Клейна, Мёбиуса и спиновые преобразования.

включает работы Карла Фридриха Гаусса (1801/63), Феликса Кляйна (1871–97), Эдуарда Зеллинга (1873–74), Анри Пуанкаре (1881), Луиджи Бьянки (1888–93), Роберта Фрике (1891–97), Фредерик С. Вудс (1895), Густав Херглотц (1909/10).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца через кватернионы и гиперболические числа

включает вклад Джеймса Кокла (1848 г.), Хомершама Кокса (1882/83 г.), Кипарисоса Стефаноса (1883 г.), Артура Бухгейма (1884 г.), Рудольфа Липшица (1885/86 г.), Теодора Валена (1901/02 г.), Фрица Нётера (1910 г.) , Феликс Кляйн (1910), Артур В. Конвей (1911), Людвик Зильберштейн (1911).

• Викиверситет : преобразование Лоренца с помощью тригонометрических функций

включает вклад Луиджи Бьянки (1886 г.), Гастона Дарбу (1891/94 г.), Георга Шефферса (1899 г.), Лютера Пфалера Эйзенхарта (1905 г.), Владимира Варичака (1910 г.), Генри Крозье Китинга Пламмера (1910 г.), Пола Грюнера (1921 г.).

• Викиверситет : История преобразований Лоренца с помощью отображений сжатия

включает вклад Антуана Андре Луи Рейно (1819 г.), Феликса Кляйна (1871 г.), Шарля-Анжа Лесана (1874 г.), Софуса Ли (1879–84 гг.), Зигмунда Гюнтера (1880/81 г.), Эдмона Лагерра (1882 г.), Гастона Дарбу ( 1883–1891), Рудольф Липшиц (1885/86), Луиджи Бьянки (1886–1894), Фердинанд фон Линдеманн (1890/91), Меллен В. Хаскелл (1895), Перси Ф. Смит (1900), Эдвин Бейли Эллиотт ( 1903), Лютер Пфалер Эйзенхарт (1905).

Электродинамика и специальная теория относительности

Обзор

В специальной теории относительности преобразования Лоренца демонстрируют симметрию пространства-времени Минковского , используя константу c в качестве скорости света и параметр v в качестве относительной скорости между двумя инерциальными системами отсчета . Используя приведенные выше условия, преобразование Лоренца в 3+1 измерениях принимает вид:

${\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}$

В физике аналогичные преобразования были введены Фойгтом (1887) , связанным с несжимаемой средой, а также Хевисайдом (1888), Томсоном (1889), Сирлом (1896) и Лоренцем (1892, 1895), анализировавшими уравнения Максвелла . Они были завершены Лармором (1897, 1900) и Лоренцем (1899, 1904) и приведены в современную форму Пуанкаре (1905), который дал преобразованию имя Лоренца. В конце концов, Эйнштейн (1905) в своей разработке специальной теории относительности показал , что преобразования следуют только из принципа относительности и постоянной скорости света путем изменения традиционных представлений о пространстве и времени, не требуя механического эфира, в отличие от Лоренца и Пуанкаре. Минковский (1907–1908) использовал их, чтобы доказать, что пространство и время неразрывно связаны как пространство-время .

Что касается специальных представлений преобразований Лоренца: Минковский (1907–1908) и Зоммерфельд (1909) использовали мнимые тригонометрические функции, Франк (1909) и Варичак (1910) использовали гиперболические функции , Бейтман и Каннингем (1909–1910) использовали преобразования сферических волн , Герглотц (1909–10) использовал преобразования Мёбиуса, Пламмер (1910) и Грюнер (1921) использовали тригонометрические повышения Лоренца, Игнатовский (1910) вывел преобразования без постулата скорости света, Нётер (1910) и Кляйн (1910), а также Конвей (1911). ) и Зильберштейн (1911) использовали бикватернионы, Игнатовский (1910/11), Герглотц (1911) и другие использовали векторные преобразования, действительные в произвольных направлениях, Борель (1913–14) использовал параметр Кэли-Эрмита,

(

Вольдемар Фойгт (1887) разработал преобразование в связи с эффектом Доплера и несжимаемой средой, находясь в современных обозначениях:

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=y_{1}q\\\zeta _{1}&=z_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&={\sqrt {1-{\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&={\frac {y}{\gamma }}\\z^{\prime }&={\frac {z}{\gamma }}\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx}{c^{2}}}\\{\frac {1}{\gamma }}&={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Если правые части его уравнений умножить на γ, это современное преобразование Лоренца. В теории Фойгта скорость света инвариантна, но его преобразования смешивают релятивистский импульс с изменением масштаба пространства-времени. Оптические явления в свободном пространстве масштабны , конформны и лоренц-инвариантны , поэтому комбинация тоже инвариантна. Например, преобразования Лоренца можно расширить, используя коэффициент $l$:

$x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)$.

l =1/γ дает преобразование Фойгта, l =1 преобразование Лоренца. Но масштабные преобразования не являются симметрией всех законов природы, а только закона электромагнетизма, поэтому эти преобразования не могут быть использованы для формулировки принципа относительности вообще. Пуанкаре и Эйнштейн продемонстрировали, что необходимо установить l = 1, чтобы сделать вышеуказанное преобразование симметричным и сформировать группу, как того требует принцип относительности, поэтому преобразование Лоренца является единственным жизнеспособным выбором.

Фойгт отправил свою статью 1887 года Лоренцу в 1908 году. и это было признано в 1909 году:

В статье «Über das Doppler'sche Princip», опубликованной в 1887 г. (Gött. Nachrichten, стр. 41) и которая, к моему сожалению, все эти годы ускользала от моего внимания, Фойгт применил к уравнениям вида (7) (§ 3 этой книги) [а именно $\Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0$] преобразование, эквивалентное формулам (287) и (288) [а именно $x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)$]. Поэтому идея преобразований, использованных выше (и в § 44), могла быть заимствована у Фойгта, и доказательство того, что она не меняет формы уравнений свободного эфира, содержится в его статье.

Также Герман Минковский сказал в 1908 году, что преобразования, которые играют главную роль в принципе относительности, были впервые исследованы Фойгтом в 1887 году. Фойгт ответил в той же статье, заявив, что его теория основана на упругой теории света, а не на электромагнитной теории. один. Однако он пришел к выводу, что некоторые результаты на самом деле были одинаковыми.

Хевисайд (1888 г.), Томсон (1889 г.), Сирл (

В 1888 году Оливер Хевисайд исследовал свойства движущихся зарядов согласно электродинамике Максвелла. Он рассчитал, среди прочего, анизотропию электрического поля движущихся тел, представленную этой формулой:

$\mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}$.

Следовательно, Джозеф Джон Томсон (1889 г.) нашел способ существенно упростить вычисления, касающиеся движущихся зарядов, используя следующее математическое преобразование (как и другие авторы, такие как Лоренц или Лармор, Томсон также неявно использовал преобразование Галилея z-vt в своем уравнении ):

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Тем самым неоднородные уравнения электромагнитных волн преобразуются в уравнение Пуассона . В конце концов, Джордж Фредерик Чарльз Сирл отметил в (1896), что выражение Хевисайда приводит к деформации электрических полей, которую он назвал «хевисайдовским эллипсоидом» осевого соотношения.

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Лоренц (1892, 1895)

Чтобы объяснить аберрацию света и результат эксперимента Физо в соответствии с уравнениями Максвелла , Лоренц в 1892 году разработал модель (« теория эфира Лоренца »), в которой эфир совершенно неподвижен, а скорость света в эфире постоянен во всех направлениях. Для расчета оптики движущихся тел Лоренц ввел следующие величины для преобразования системы эфира в движущуюся систему (неизвестно, находился ли он под влиянием Фойгта, Хевисайда и Томсона)

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&=t-{\frac {\varepsilon }{V}}{\mathfrak {x}}\\\varepsilon &={\frac {p}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

где х ^* — преобразование Галилея x-vt . За исключением дополнительного γ во временном преобразовании, это полное преобразование Лоренца. Если t — «истинное» время для наблюдателей, покоящихся в эфире, то t’ — вспомогательная переменная только для расчета процессов в движущихся системах. Важно также, что Лоренц, а затем и Лармор сформулировали это преобразование в два этапа. Сначала неявное преобразование Галилея, а затем расширение в «фиктивную» электромагнитную систему с помощью преобразования Лоренца. Чтобы объяснить отрицательный результат эксперимента Майкельсона-Морли , он (1892b) представил дополнительную гипотезу о том, что межмолекулярные силы действуют аналогичным образом, и ввел в свою теорию сокращение длины (по его признанию, без доказательств). Та же гипотеза была выдвинута ранее Джорджем Фитцджеральдом в 1889 году на основе работы Хевисайда. Хотя для Лоренца сокращение длины было реальным физическим эффектом, он рассматривал преобразование времени только как эвристическую рабочую гипотезу и математическое условие.

В 1895 году Лоренц развил свою теорию и представил «теорему о соответствующих состояниях». Эта теорема утверждает, что движущийся наблюдатель (относительно эфира) в своем «фиктивном» поле производит те же наблюдения, что и покоящиеся наблюдатели в своем «реальном» поле для скоростей первого порядка по v/c . Лоренц показал, что этим преобразованием связаны размеры электростатических систем в эфире и движущейся системе отсчета:

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}$

Для решения оптических задач Лоренц использовал следующее преобразование, в котором модифицированную переменную времени он назвал «местным временем» ( нем . Ortszeit ):

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=\mathrm {x} -{\mathfrak {p}}_{x}t\\y&=\mathrm {y} -{\mathfrak {p}}_{y}t\\z&=\mathrm {z} -{\mathfrak {p}}_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{\frac {{\mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac {{\mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-v_{x}t\\y^{\prime }&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{\frac {v_{z}}{c^{2}}}z'\end{aligned}}\end{matrix}}$

С помощью этой концепции Лоренц мог объяснить эффект Доплера , аберрацию света и эксперимент Физо .

(1897,

В 1897 году Лармор расширил работу Лоренца и вывел следующее преобразование

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=x\varepsilon ^{\frac {1}{2}}\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-vx/c^{2}\\dt_{1}&=dt^{\prime }\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\\\varepsilon &=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx^{\ast }}{c^{2}}}=t-{\frac {v(x-vt)}{c^{2}}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{\gamma }}\\\gamma ^{2}&={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Лармор отметил, что если предположить, что строение молекул электрическое, то сокращение Фитцджеральда-Лоренца является следствием этого преобразования, объясняя эксперимент Майкельсона-Морли . Примечательно, что Лармор был первым, кто осознал, что следствием этого преобразования является и своего рода замедление времени , поскольку «отдельные электроны описывают соответствующие части своих орбит за времена, меньшие для [остальной] системы в отношении 1/γ». . Лармор написал свои электродинамические уравнения и преобразования, пренебрегая членами более высокого порядка, чем (v/c). ² – когда его статья 1897 года была переиздана в 1929 году, Лармор добавил следующий комментарий, в котором описал, как их можно сделать действительными для всех порядков v/c :

Ничем не следует пренебрегать: преобразование является точным , если v/c ² заменяется на εv/c ² в уравнениях, а также в изменении, следующем от t к t' , как это описано в книге «Эфир и материя» (1900), с. 168, и как это обнаружил Лоренц в 1904 году, тем самым стимулируя современные схемы внутренней реляционной относительности.

В соответствии с этим комментарием Лармор в своей книге «Эфир и материя», опубликованной в 1900 году, использовал модифицированное местное время t″=t′-εvx′/c. ² вместо выражения 1897 года t'=t-vx/c ² путем замены v/c ² с εv/c ² , так что t″ теперь идентично значению, данному Лоренцем в 1892 году, которое он объединил с преобразованием Галилея для координат x', y', z', t' :

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }&=t^{\prime }-\varepsilon vx^{\prime }/c^{2}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }=t^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\prime }}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Лармор знал, что эксперимент Майкельсона-Морли был достаточно точен, чтобы обнаружить эффект движения в зависимости от фактора (v/c). ² , и поэтому он искал преобразования, которые были бы «с точностью до второго порядка» (по его словам). Таким образом, он записал окончательные преобразования (где x'=x-vt и t″, как указано выше) как:

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}t^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y'=y\\z_{1}&=z'=z\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime \prime }}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma }}\left(dt^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vdx^{\prime }}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)\\t_{1}&={\frac {t^{\prime }}{\gamma }}-{\frac {\gamma vx^{\prime }}{c^{2}}}=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

посредством чего он пришел к полному преобразованию Лоренца. Лармор показал, что уравнения Максвелла были инвариантны относительно этого двухэтапного преобразования «до второго порядка по v/c » – позже Лоренц (1904) и Пуанкаре (1905) показали, что они действительно инвариантны относительно этого преобразования для всех порядков в в/к .

Лармор отдал должное Лоренцу в двух статьях, опубликованных в 1904 году, в которых он использовал термин «преобразование Лоренца» для преобразований Лоренца первого порядка координат и конфигураций полей:

п. 583: [..] Преобразование Лоренца для перехода от поля деятельности стационарной электродинамической материальной системы к полю действия системы, движущейся с равномерной скоростью перемещения через эфир.
п. 585: [..] преобразование Лоренца показало нам то, что не так уж очевидно [...]
п. 622: [..] преобразование, впервые разработанное Лоренцем: а именно, каждая точка в пространстве должна иметь свое собственное начало, от которого отсчитывается время, свое «местное время» во фразеологии Лоренца, а затем значения электрического и магнитного векторов [..] во всех точках эфира между молекулами покоящейся системы такие же, как и у векторов [..] в соответствующих точках конвектируемой системы в те же локальные моменты времени.

Лоренц (1899, 1904)

Также Лоренц расширил свою теорему о соответствующих состояниях в 1899 году. Сначала он написал преобразование, эквивалентное преобразованию 1892 года (опять же, x * необходимо заменить на x-vt ):

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}x\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Затем он ввел коэффициент ε, определить который, по его словам, у него нет возможности, и модифицировал свое преобразование следующим образом (куда указанное выше значение t' ): необходимо вставить

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&={\frac {\varepsilon }{k}}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon x^{\prime \prime }\\t^{\prime }&=k\varepsilon t^{\prime \prime }\\k&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {\varepsilon }{\gamma }}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Это эквивалентно полному преобразованию Лоренца при решении для x″ и t″ и с ε=1. Как и Лармор, Лоренц заметил в 1899 г. также своего рода эффект замедления времени по отношению к частоте колеблющихся электронов , «что в S время колебаний в kε раз больше, чем в S ₀ » , где S ₀ — эфирная система.

В 1904 году он переписал уравнения в следующем виде, положив l =1/ε (опять же, x * необходимо заменить на x-vt ):

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=klx\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&={\frac {l}{k}}t-kl{\frac {w}{c^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma lx^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t^{\prime }&={\frac {lt}{\gamma }}-{\frac {\gamma lvx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma l\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

В предположении, что l=1, когда v =0, он продемонстрировал, что l=1 должно иметь место при всех скоростях, поэтому сокращение длины может возникнуть только на линии движения. Таким образом, установив коэффициент l равным единице, преобразования Лоренца теперь приняли ту же форму, что и преобразования Лармора, и теперь завершены. В отличие от Лармора, который ограничился показом ковариантности уравнений Максвелла до второго порядка, Лоренц попытался расширить ее ковариацию до всех порядков по v/c . Он также вывел правильные формулы зависимости электромагнитной массы от скорости и пришел к выводу, что формулы преобразования должны применяться ко всем силам природы, а не только к электрическим. Однако полной ковариации уравнений преобразования плотности заряда и скорости ему не удалось добиться. Когда статья 1904 года была переиздана в 1913 году, Лоренц добавил следующее замечание:

Следует заметить, что в этой работе уравнения преобразования теории относительности Эйнштейна не были полностью получены. [..] От этого обстоятельства зависит неуклюжесть многих дальнейших рассуждений в этой работе.

Преобразование Лоренца 1904 года было процитировано и использовано Альфредом Бухерером в июле 1904 года:

$x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}$

или Вильгельм Вен в июле 1904 года:

$x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-{\frac {v}{kc^{2}}}x$

или Эмилем Коном в ноябре 1904 года (приняв скорость света за единицу):

$x={\frac {x_{0}}{k}},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}$

или Ричард Ганс в феврале 1905 года:

$x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}$

Пуанкаре (1900, 1905)

Местное время

Ни Лоренц, ни Лармор не дали четкой физической интерпретации происхождения местного времени. Однако Анри Пуанкаре в 1900 году прокомментировал происхождение «чудесного изобретения» Лоренца местного времени. Он заметил, что оно возникает, когда часы в движущейся системе отсчета синхронизируются путем обмена сигналами, которые, как предполагается, движутся с одинаковой скоростью. $c$ в обоих направлениях, что приводит к тому, что сегодня называется относительностью одновременности , хотя расчет Пуанкаре не предполагает сокращения длины или замедления времени. Чтобы синхронизировать часы здесь, на Земле ( кадр x*, t *), световой сигнал от одних часов (в начале координат) передается другим (в точке x *) и отправляется обратно. Предполагается, что Земля движется со скоростью v в направлении x (= x *-направлении) в некоторой системе покоя ( x, t ) ( т.е. системе светоносного эфира по Лоренцу и Лармору). Время полета наружу равно

$\delta t_{a}={\frac {x^{\ast }}{\left(c-v\right)}}$

и время полета обратно

$\delta t_{b}={\frac {x^{\ast }}{\left(c+v\right)}}$.

Прошедшее на часах время, когда сигнал возвращается, равно δt _a +δt _b , а время t*=(δt _a +δt _b )/2 приписывается моменту, когда световой сигнал достиг удаленных часов. В остальной системе времени время t=δt _a этому же моменту приписывается . Некоторая алгебра дает связь между различными временными координатами, приписываемыми моменту отражения. Таким образом

$t^{\ast }=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{*}}{c^{2}}}$

идентичен Лоренцу (1892). Отбросив множитель γ ² в предположении, что ${\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\ll 1$, Пуанкаре дал результат t*=t-vx*/c ² , эту форму использовал Лоренц в 1895 году.

Подобные физические интерпретации местного времени позже были даны Эмилем Коном (1904 г.). и Макс Абрахам (1905).

Преобразование Лоренца

5 июня 1905 г. (опубликовано 9 июня) Пуанкаре сформулировал уравнения преобразования, алгебраически эквивалентные уравнениям Лармора и Лоренца, и придал им современную форму:

${\begin{aligned}x^{\prime }&=kl(x+\varepsilon t)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&=kl(t+\varepsilon x)\\k&={\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}$.

По-видимому, Пуанкаре не знал о вкладе Лармора, потому что он упомянул только Лоренца и поэтому впервые использовал название «преобразование Лоренца». Пуанкаре приравнял скорость света к единице, указал на групповые характеристики преобразования, положив l =1, и модифицировал/исправил в некоторых деталях вывод Лоренца уравнений электродинамики, чтобы полностью удовлетворить принципу относительности, т.е. сделать их полностью лоренц-ковариантный.

В июле 1905 г. (опубликовано в январе 1906 г.) Пуанкаре подробно показал, как преобразования и уравнения электродинамики являются следствием принципа наименьшего действия ; он более подробно продемонстрировал групповые характеристики преобразования, которые он назвал группой Лоренца , и показал, что комбинация x ² +й ² +з ² -т ² является инвариантным. Он заметил, что преобразование Лоренца — это просто вращение в четырехмерном пространстве вокруг начала координат, введя $ct{\sqrt {-1}}$ в качестве четвертой мнимой координаты, и он использовал раннюю форму четырехвекторов . Он также сформулировал формулу сложения скоростей, которую он уже вывел в неопубликованных письмах Лоренцу от мая 1905 года:

$\xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}$.

Эйнштейн (1905) –

30 июня 1905 г. (опубликовано в сентябре 1905 г.) Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , и дал новый вывод преобразования, основанный только на принципе относительности и принципе постоянства скорости света. В то время как Лоренц считал «местное время» математическим средством объяснения эксперимента Майкельсона-Морли, Эйнштейн показал, что координаты, заданные преобразованием Лоренца, на самом деле были инерциальными координатами относительно движущихся систем отсчета. Для величин первого порядка по v/c то же самое сделал Пуанкаре в 1900 году, а Эйнштейн получил этим методом полное преобразование. В отличие от Лоренца и Пуанкаре, которые все еще различали реальное время в эфире и кажущееся время для движущихся наблюдателей, Эйнштейн показал, что преобразования применимы к кинематике движущихся систем отсчета.

Обозначение этого преобразования эквивалентно обозначению Пуанкаре 1905 года, за исключением того, что Эйнштейн не приравнивал скорость света к единице:

${\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)\\\xi &=\beta (x-vt)\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\beta &={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}$

Эйнштейн также определил формулу сложения скоростей:

${\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\eta }\\{\frac {u_{z}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\zeta }\end{matrix}}\right.$

и формула световой аберрации:

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}$

Минковский (1907–1908) –

по принципу относительности Работы Лоренца, Эйнштейна, Планка вместе с четырехмерным подходом Пуанкаре получили дальнейшее развитие и объединены с гиперболоидной моделью Германа Минковского в 1907 и 1908 годах. Минковский в частности переформулировал электродинамику в четырехмерном виде ( пространство-время Минковского ). Например, он написал x, y, z в виде x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ . Определив ψ как угол поворота вокруг оси z , преобразование Лоренца принимает форму (при c =1):

${\begin{aligned}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\cos i\psi +x_{4}\sin i\psi \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\psi +x_{4}\cos i\psi \\\cos i\psi &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}\end{aligned}}$

Хотя Минковский использовал мнимое число iψ, на этот раз он напрямую использовал касательные гиперболические в уравнении скорости.

$-i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q$ с $\psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}$.

Выражение Минковского также можно записать как ψ=atanh(q) и позже оно было названо быстротой . Он также написал преобразование Лоренца в матричной форме:

${\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left|{\begin{matrix}\alpha _{11},&\alpha _{12},&\alpha _{13},&\alpha _{14}\\\alpha _{21},&\alpha _{22},&\alpha _{23},&\alpha _{24}\\\alpha _{31},&\alpha _{32},&\alpha _{33},&\alpha _{34}\\\alpha _{41},&\alpha _{42},&\alpha _{43},&\alpha _{44}\end{matrix}}\right|,\ {\begin{aligned}{\bar {\mathrm {A} }}\mathrm {A} &=1\\\left(\det \mathrm {A} \right)^{2}&=1\\\det \mathrm {A} &=1\\\alpha _{44}&>0\end{aligned}}} \end{matrix}}$

В качестве графического представления преобразования Лоренца он представил диаграмму Минковского , которая стала стандартным инструментом в учебниках и научных статьях по теории относительности:

Оригинальная диаграмма пространства-времени Минковского, 1908 год.

Зоммерфельд (1909)

Используя воображаемую быстроту, такую ​​как Минковский, Арнольд Зоммерфельд (1909) сформулировал усиление Лоренца и релятивистское сложение скорости в терминах тригонометрических функций и сферического закона косинусов :

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}$

(1909) –

Гиперболические функции использовались Филиппом Франком (1909), который вывел преобразование Лоренца, используя ψ в качестве быстроты :

${\begin{matrix}x'=x\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi \\t'=-x\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi \\\hline {\rm {th}}\,\psi =-a,\ {\rm {sh}}\,\psi ={\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ {\rm {ch}}\,\psi ={\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ \varphi (a)=1\\\hline x'={\frac {x-at}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ y'=y,\ z'=z,\ t'={\frac {-ax+t}{\sqrt {1-a^{2}}}}\end{matrix}}$

Бейтман и Каннингем (1909–1910) –

В соответствии с исследованием Софуса Ли (1909–1910) отметили (1871) о связи между сферическими преобразованиями с координатой мнимого радиуса и четырехмерными конформными преобразованиями, Бэйтман и Каннингем , что, устанавливая u = ict как воображаемое По четвертым координатам можно производить конформные преобразования пространства-времени. Не только квадратичная форма $\lambda \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)$, но и уравнения Максвелла ковариантны относительно этих преобразований независимо от выбора λ. назвал сферическими волновыми преобразованиями . Эти варианты конформных или сферических преобразований Ли Бейтман Однако эта ковариантность ограничена определенными областями, такими как электродинамика, тогда как совокупность естественных законов в инерциальных системах отсчета ковариантна относительно группы Лоренца . В частности, установив λ=1, группу Лоренца SO(1,3) можно рассматривать как 10-параметрическую подгруппу 15-параметрической пространственно-временной конформной группы Con(1,3) .

Бейтман (1910–12) также намекал на тождество между инверсией Лагерра и преобразованиями Лоренца. В целом на изоморфизм между группой Лагерра и группой Лоренца указывал Эли Картан (1912, 1915–55), Анри Пуанкаре (1912–21) и другие.

Герглотц (1909/10)

Вслед за Феликсом Кляйном (1889–1897) и Фрике и Кляйном (1897) относительно абсолюта Кэли, гиперболического движения и его преобразования Густав Герглотц (1909–10) классифицировал однопараметрические преобразования Лоренца как локсодромные, гиперболические, параболические и эллиптические. Общий случай (слева) и гиперболический случай, эквивалентные преобразованиям Лоренца или отображениям сжатия, заключаются в следующем:

$\left.{\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac {x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac {x'+iy'}{t'-z'}}\\Z={\frac {\alpha Z'+\beta }{\gamma Z'+\delta }}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta }\\{\begin{aligned}x&=x',&t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\y&=y',&t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\end{matrix}}$

Варичак (1910)

Вслед за Зоммерфельдом (1909) гиперболические функции использовались Владимиром Варичаком в нескольких работах, начиная с 1910 года, который представлял уравнения специальной теории относительности на основе гиперболической геометрии в терминах координат Вейерштрасса. Например, установив l=ct и v/c=tanh(u) с u в качестве быстроты, он написал преобразование Лоренца:

${\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}$

и показал связь быстроты с функцией Гудермана и углом параллелизма :

${\frac {v}{c}}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd} (u)=\cos \Pi (u)$

Он также связал сложение скоростей с гиперболическим законом косинусов :

${\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\ \left(a={\frac {\pi }{2}}\right)\end{matrix}}$

Впоследствии другие авторы, такие как Э. Т. Уиттакер (1910) или Альфред Робб (1911, придумавший название «быстрота»), использовали аналогичные выражения, которые до сих пор используются в современных учебниках.

Пламмер (1910) -

w: Генри Крозье Китинг Пламмер (1910) определил повышение Лоренца в терминах тригонометрических функций.

${\begin{matrix}\tau =t\sec \beta -x\tan \beta /U\\\xi =x\sec \beta -Ut\tan \beta \\\eta =y,\ \zeta =z,\\\hline \sin \beta =v/U\end{matrix}}$

Игнатовский (1910)

В то время как более ранние выводы и формулировки преобразования Лоренца с самого начала основывались на оптике, электродинамике или инвариантности скорости света, Владимир Игнатовский (1910) показал, что можно использовать принцип относительности (и связанные с ним теории групп принципы ) в одиночку, чтобы получить следующее преобразование между двумя инерциальными системами отсчета:

${\begin{aligned}dx'&=p\ dx-pq\ dt\\dt'&=-pqn\ dx+p\ dt\\p&={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}\end{aligned}}$

Переменную n можно рассматривать как постоянную пространства-времени, значение которой должно быть определено экспериментально или взято из известного физического закона, такого как электродинамика. Для этой цели Игнатовский использовал упомянутый выше эллипсоид Хевисайда, представляющий собой сжатие электростатических полей на величину x /γ в направлении движения. Видно, что это согласуется с преобразованием Игнатовского только тогда, когда n = 1/c. ² , что приводит к p =γ и преобразованию Лоренца. При n =0 изменений длины не происходит, и следует преобразование Галилея. Метод Игнатовского был далее развит и улучшен Филиппом Франком и Германом Роте (1911, 1912). в последующие годы различные авторы разработали аналогичные методы.

Нётер (1910), Кляйн (1910

Феликс Кляйн (1908) описал четырехмерное умножение кватернионов Кэли (1854) как «Drehstreckungen» (ортогональные замены в терминах вращений, оставляющие инвариантной квадратичную форму с точностью до множителя) и отметил, что современный принцип относительности, предложенный Минковским, по существу только последовательное применение таких Drehstreckungen, хотя он и не сообщил подробностей.

В приложении к «Теории волчка» Кляйна и Зоммерфельда (1910) Фриц Нётер показал, как формулировать гиперболические вращения с использованием бикватернионов с $\omega ={\sqrt {-1}}$, которую он также связал со скоростью света, установив ω ² =- с ² . Он пришел к выводу, что это основной ингредиент рационального представления группы преобразований Лоренца:

${\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}}\\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega ^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega ^{2}s^{2}\\\hline {\begin{aligned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\Q_{1}&=(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k+D')\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k-D')\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega ^{2}\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

(1854 г.), связанных с кватернионами Помимо цитирования стандартных работ Артура Кэли (1899 г.) в энциклопедии Кляйна , Нётер сослалась на записи Эдуарда Стью и французскую версию Эли Картана (1908 г.). Версия Картана содержит описание двойственных чисел Этюда , бикватернионов Клиффорда (включая выбор $\omega ={\sqrt {-1}}$ для гиперболической геометрии) и алгебры Клиффорда со ссылками на Стефаноса (1883), Бухгейма (1884–85), Валена (1901–02) и других.

Ссылаясь на Нётер, Кляйн сам опубликовал в августе 1910 года следующие кватернионные замены, образующие группу преобразований Лоренца:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&\quad -\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right)\end{aligned}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\&\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&\quad \quad \cdot \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\\hline {\text{where}}\\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{matrix}}$

или в марте 1911 г.

${\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\\&AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}$

(1911), Зильберштейн (1911)

Артур В. Конвей в феврале 1911 года явно сформулировал кватернионные преобразования Лоренца различных электромагнитных величин через скорость λ:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathtt {D}}&=\mathbf {a} ^{-1}{\mathtt {D}}'\mathbf {a} ^{-1}\\{\mathtt {\sigma }}&=\mathbf {a} {\mathtt {\sigma }}'\mathbf {a} ^{-1}\end{aligned}}\\e=\mathbf {a} ^{-1}e'\mathbf {a} ^{-1}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda \right)^{\frac {1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}$

Итак, Людвик Зильберштейн в ноябре 1911 г. так же, как и в 1914 г. сформулировал преобразование Лоренца в терминах скорости v :

${\begin{matrix}q'=QqQ\\\hline {\begin{aligned}q&=\mathbf {r} +l=xi+yj+zk+\iota ct\\q&'=\mathbf {r} '+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\Q&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {1+\gamma }}+\mathrm {u} {\sqrt {1-\gamma }}\right)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Зильберштейн цитирует Кэли (1854, 1855) и статью в энциклопедии Стьюда (в расширенной французской версии «Картана» 1908 года), а также приложение к книге Кляйна и Зоммерфельда.

Игнатовский (1910/11), Херглотц (1911) и другие

Дополнительная информация: преобразование Лоренца § Векторные преобразования.

Владимир Игнатовский (1910, опубликовано в 1911 году) показал, как переформулировать преобразование Лоренца, чтобы учесть произвольные скорости и координаты:

${\begin{matrix}{\begin{matrix}{\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+pq{\mathfrak {c}}_{0}}{p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)}}&\left|{\begin{aligned}{\mathfrak {A}}'&={\mathfrak {A}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}-pqb{\mathfrak {c}}_{0}\\b'&=pb-pqn{\mathfrak {A}}{\mathfrak {c}}_{0}\\\\{\mathfrak {A}}&={\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'+pqb'{\mathfrak {c}}_{0}\\b&=pb'+pqn{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}\\\left[{\mathfrak {v}}=\mathbf {u} ,\ {\mathfrak {A}}=\mathbf {x} ,\ b=t,\ {\mathfrak {c}}_{0}={\frac {\mathbf {v} }{v}},\ p=\gamma ,\ n={\frac {1}{c^{2}}}\right]\end{matrix}}$

Густав Херглотц (1911) также показал, как сформулировать преобразование, чтобы учесть произвольные скорости и координаты v = (v _x , v _y , v _z ) и r = (x, y, z) :

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{0}&=x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&=y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&=z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&=-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\&\alpha ={\frac {1}{{\sqrt {1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}},\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x'&=x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

с использованием векторной записи Это было упрощено Людвиком Зильберштейном (1911 год слева, 1914 год справа):

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {ru} )\mathbf {u} +i\beta \gamma lu\\l'&=\gamma \left[l-i\beta (\mathbf {ru} )\right]\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {vr} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \\t'&=\gamma \left[t-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\end{aligned}}\end{array}}$

Эквивалентные формулы были также даны Вольфгангом Паули (1921): с Эрвином Маделунгом (1922), предоставившим матричную форму

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&x&y&z&t\\\hline x'&1-{\frac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\y'&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\z'&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\t'&{\frac {-v_{x}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{y}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{z}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{array}}$

назвал «общим преобразованием Лоренца без вращения» . Эти формулы Кристиан Мёллер (1952) который, кроме того, дал еще более общее преобразование Лоренца, в котором декартовы оси имеют разную ориентацию, с использованием оператора вращения ${\mathfrak {D}}$. В этом случае v′ = (v′ _x , v′ _y , v′ _z ) не равно - v = (-v _x , -v _y , -v _z ) , но соотношение $\mathbf {v} '=-{\mathfrak {D}}\mathbf {v}$ вместо этого выполняется, с результатом

${\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

Борель (1913–14) - параметр

Эмиль Борель (1913) начал с демонстрации евклидовых движений, используя параметр Эйлера-Родрига в трех измерениях и параметр Кэли (1846) в четырех измерениях. Затем он продемонстрировал связь с неопределенными квадратичными формами, выражающими гиперболические движения и преобразования Лоренца. В трех измерениях:

${\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}\delta a&=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta b&=2(\lambda \mu +\nu \rho ),&\delta c&=-2(\lambda \nu +\mu \rho ),\\\delta a'&=2(\lambda \mu -\nu \rho ),&\delta b'&=-\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta c'&=2(\lambda \rho -\mu \nu ),\\\delta a''&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b''&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{Hyperbolic rotation}}\end{matrix}}$

В четырех измерениях:

${\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi -\gamma \operatorname {sh} {\theta }\\&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi +\gamma \operatorname {sh} {\theta }&&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\beta ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\\&-(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi -\beta \operatorname {sh} {\theta }&&-(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\lambda \sin \varphi +\alpha \operatorname {sh} {\theta }\\&(\gamma \mu -\beta \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }&&-(\alpha \nu -\lambda \gamma )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\\\&\quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi +\beta \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\beta \nu -\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad -(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\lambda \sin \varphi -\alpha \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\lambda \gamma -\alpha \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&\quad (\alpha \mu -\beta \lambda )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad (\beta \gamma -\alpha \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}$

Грюнер (1921) -

Чтобы упростить графическое представление пространства Минковского, Пауль Грюнер (1921) (с помощью Йозефа Заутера) разработал то, что сейчас называется диаграммами Лёделя , используя следующие соотношения:

${\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}$

В другой статье Грюнер использовал альтернативные соотношения:

${\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}$

См. также

• Выводы преобразований Лоренца.
• История специальной теории относительности

Ссылки

Исторические математические источники

Учебные материалы, связанные с историей тем специальной теории относительности / математический источник в Викиверситете

Источники

• Авраам, М. (1905). «§ 42. Время света в равномерно движущейся системе» . Теория электричества: Электромагнитная теория излучения . Лейпциг: Тойбнер.
• Бейтман, Гарри (1910) [1909]. «Преобразование электродинамических уравнений» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Бейтман, Гарри (1912) [1910]. «Некоторые геометрические теоремы, связанные с уравнением Лапласа и уравнением волнового движения» . Американский журнал математики . 34 (3): 325–360. дои : 10.2307/2370223 . JSTOR   2370223 .
• Борель, Эмиль (1914). Геометрическое введение в некоторые физические теории . Париж: Готье-Виллар.
• Брилл, Дж. (1925). «Заметка о группе Лоренца». Труды Кембриджского философского общества . 22 (5): 630–632. Бибкод : 1925PCPS...22..630B . дои : 10.1017/S030500410000949X . S2CID   121117536 .
• Бухерер, AH (1904). Математическое введение в теорию электрона . Лейпциг: Тойбнер.
• Бухерер, А.Х. (1908), «Измерения лучей Беккереля. Экспериментальное подтверждение теории Лоренца-Эйнштейна. (Измерения лучей Беккереля. Экспериментальное подтверждение теории Лоренца-Эйнштейна)», Physical Journal , 9 (22): 758 –762 . Заявления Минковского и Фойгта см. на с. 762.
• Картан, Эли (1912). «О контактных группах преобразования и новой кинематике» . Société de Mathématique the France – Отчеты сессий : 23.
• Кон, Эмиль (1904a), «Об электродинамике движущихся систем I» , Труды Королевской прусской академии наук , 1904/2 (40): 1294–1303.
• Кон, Эмиль (1904b), «Об электродинамике движущихся систем II» , Труды Королевской прусской академии наук , 1904/2 (43): 1404–1416.
• Конвей, AW (1911). «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам в теории электричества» . Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 29 : 1–9.
• Каннингем, Эбенезер (1910) [1909]. «Принцип относительности в электродинамике и его расширение» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. дои : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• Эйнштейн, Альберт (1905), «К электродинамике движущихся тел» (PDF) , Annals of Physics , 322 (10): 891–921, Бибкод : 1905AnP...322..891E , doi : 10.1002/andp.19053221004 . См. также: английский перевод .
• Франк, Филипп (1909). «Место принципа относительности в системе механики и электродинамики» . Венская встреча сообщает IIA . 118 :373-446. hdl : 2027/mdp.39015073682224 .
• Фрэнк, Филип; Роте, Герман (1911). «О преобразовании пространственно-временных координат из покоящихся систем в движущиеся» . Анналы физики . 339 (5): 825–855. Бибкод : 1911АнП...339..825Ф . дои : 10.1002/andp.19113390502 .
• Фрэнк, Филип; Роте, Герман (1912). «О выводе преобразования Лоренца». Физический журнал . 13 :750-753.
• Ганс, Ричард (1905), «Х. А. Лоренц. Электромагнитные процессы» [ Х. А. Лоренц: Электромагнитные явления ], Дополнения к Анналам физики , 29 (4): 168–170.
• Грюнер, Пауль и Заутер, Йозеф (1921a). «Элементарное геометрическое представление формул специальной относительности теории » . Архивы физических и естественных наук . 5.3 . : 295–296
• Грюнер, Пол (1921b). «Элементарное геометрическое представление формул преобразования специальной теории относительности . » Физический журнал . 22 :384-385.
• Хевисайд, Оливер (1889), «Об электромагнитных эффектах, вызванных движением электрификации через диэлектрик» , Philosophical Magazine , 5, 27 (167): 324–339, doi : 10.1080/14786448908628362
• Герглотц, Густав (1910) [1909], О телах « , которые следует обозначать как «твердые» с точки зрения принципа относительности », Annals of the Physics , 336 (2): 393–415, Bibcode : 1910AnP.. .336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Херглотц, Г. (1911). «О механике деформируемого тела с точки зрения теории относительности» . Анналы физики . 341 (13): 493–533. Бибкод : 1911АнП...341..493Х . дои : 10.1002/andp.19113411303 . ; Английский перевод Дэвида Дельфениха: О механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности .
• Игнатовский, В. против. (1910). «Некоторые общие замечания о принципе относительности» . Физический журнал . 11 :972-976.
• Игнатовский, В. против. (1911) [1910]. «Принцип относительности» . Архив математики и физики . 18 :17–40.
• Игнатовский, В. против. (1911). «Заметка о моей работе: «Некоторые общие замечания о принципе относительности» » . Физический журнал . 12 :779.
• Кляйн, Ф. (1908). Хеллингер, Э. (ред.). Элементарные темы с высшей точки зрения. Часть I. Лекция, прочитанная в зимнем семестре 1907-08 гг . Лейпциг: Тойбнер.
• Кляйн, Феликс (1921) [1910]. «О геометрических основах группы Лоренца». Сборник математических трактатов   . Том 1. стр. 533–552. дои : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . ISBN  978-3-642-51898-0 .
• Кляйн, Ф.; Зоммерфельд А. (1910). Нётер, о. (ред.). О теории гироскопа. Выпуск IV . Лейпциг: Тойбер.
• Кляйн, Ф. (1911). Хеллингер, Э. (ред.). Элементарные темы с высшей точки зрения. Часть I (второе издание). Лекция, прочитанная в зимнем семестре 1907-08 гг . Лейпциг: Тойбнер. hdl : 2027/mdp.39015068187817 .
• Лармор, Джозеф (1897), «О динамической теории электрической и светоносной среды, Часть 3, Отношения с материальной средой» , Philosophical Transactions of the Royal Society , 190 : 205–300, Bibcode : 1897RSPTA.190..205L , дои : 10.1098/rsta.1897.0020
• Лармор, Джозеф (1929) [1897], «О динамической теории электрической и светоносной среды. Часть 3: Связь с материальной средой», Математические и физические статьи: Том II , Cambridge University Press, стр. 2–132, ISBN  978-1-107-53640-1 (Перепечатка Лармора (1897 г.) с новыми аннотациями Лармора.)
• Лармор, Джозеф (1900), Эфир и материя   , издательство Кембриджского университета
• Лармор, Джозеф (1904a). «Об интенсивности естественного излучения движущихся тел и его механической реакции» . Философский журнал . 7 (41): 578 –586. дои : 10.1080/14786440409463149 .
• Лармор, Джозеф (1904b). «Об установленном отсутствии эффектов движения через эфир в отношении строения материи и о гипотезе Фитцджеральда-Лоренца» . Философский журнал . 7 (42): 621–625. дои : 10.1080/14786440409463156 .
• Лоренц, Хендрик Антун (1892a), «Электромагнитная теория Максвелла и ее применение к движущимся телам» , Голландский архив точных и естественных наук , 25 : 363–552.
• Лоренц, Хендрик Антон (1892b), «Относительное движение Земли и эфира» [Относительное движение Земли и эфира ], Zittingsverlag Akad. В. Закон. , 1 : 74–79
• Лоренц, Хендрик Антун (1895), электрических и оптических явлений в движущихся телах   , Лейден Попытка теории : Э. Дж. Брилл
• Лоренц, Хендрик Антун (1899), «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах» , Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук , 1 : 427–442, Бибкод : 1898KNAB....1..427L
• Лоренц, Хендрик Антун (1904), «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» , Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук , 6 : 809–831, Бибкод : 1903KNAB....6 ..809Л
• Лоренц, Хендрик Антун (1916) [1915], Теория электронов и ее приложения к явлениям света и лучистого тепла , Лейпциг и Берлин: Б. Г. Тойбнер
• Минковский, Герман (1915) [1907], «Принцип относительности» , Annals of Physics , 352 (15): 927–938, Бибкод : 1915AnP...352..927M , doi : 10.1002/andp.19153521505
• Минковский, Герман (1908) [1907], Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах» « , Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс : 53–111
• Минковский, Герман (1909) [1908], «Пространство и время» , Physical Journal , 10 : 75–88.
• Мюллер, Ганс Роберт (1948). «Циклографическое рассмотрение кинематики специальной теории относительности» . Ежемесячные журналы по математике и физике . 52 (4): 337–353. дои : 10.1007/BF01525338 . S2CID   120150204 .
• Пламмер, ХК (1910), «О теории аберрации и принципе относительности», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 40 (3): 252–266, Бибкод : 1910MNRAS..70..252P , doi : 10.1093 /mnras/70.3.252
• Пуанкаре, Анри (1900), «Теория Лоренца и принцип реакции» , Голландский архив точных и естественных наук , 5 : 252–278 . См. также английский перевод .
• Пуанкаре, Анри (1906) [1904], «Принципы математической физики» , Конгресс искусств и наук, универсальная выставка, Сент-Луис, 1904 , том. 1, Бостон и Нью-Йорк: Houghton, Mifflin and Company, стр. 604–622.
• Пуанкаре, Анри (1905), «О динамике электрона» Comptes , Rendus , 140 : 1504–1508.
• Пуанкаре, Анри (1906) [1905], «Sur la dynamice de l'électron» [ О динамике электрона ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21.. 129P , doi : 10.1007/BF03013466 , hdl : 2027/uiug.30112063899089 , S2CID   120211823
• Пуанкаре, Анри (1921) [1912]. «Отчет о работе М. Картана (выполнен на факультете естественных наук Парижского университета)» . Акта Математика . 38 (1): 137–145. дои : 10.1007/bf02392064 . Написано Пуанкаре в 1912 году, напечатано в Acta Mathematica в 1914 году, хотя опубликовано с опозданием в 1921 году.
• Сирл, Джордж Фредерик Чарльз (1897), «О устойчивом движении наэлектризованного эллипсоида» , Philosophical Magazine , 5, 44 (269): 329–341, doi : 10.1080/14786449708621072
• Зильберштейн, Л. (1912) [1911], «Кватернионная форма относительности» , The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 23 (137): 790–809, doi : 10.1080/14786440508637276
• Зоммерфельд, А. (1909), «О составе скоростей в относительной теории» [перевод из Wikisource: О составе скоростей в теории относительности ], Верх. Физ. Гес , 21 : 577–582.
• Томсон, Джозеф Джон (1889), «О магнитных эффектах, производимых движением в электрическом поле» , Philosophical Magazine , 5, 28 (170): 1–14, doi : 10.1080/14786448908619821
• Варичак, В. (1910), » теории относительности «Применение геометрии Лобачевского в , Physical Journal , 11 : 93–6.
• Варичак, В. (1912), «О неевклидовой интерпретации относительности теории » , Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков , 21 : 103–127.
• Фойгт, Вольдемар (1887), «Ueber das Doppler'sche Princip» [ О принципе допплера ], Королевские новости. Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа (2): 41–51.
• Вена, Вильгельм (1904). «К электронной теории» . Физический журнал . 5 (14): 393–395.

Вторичные источники

• Баччетти, Валентина; Тейт, Кайл; Виссер, Мэтт (2012). «Инерциальные системы отсчёта без принципа относительности». Журнал физики высоких энергий . 2012 (5): 119. arXiv : 1112.1466 . Бибкод : 2012JHEP...05..119B . дои : 10.1007/JHEP05(2012)119 . S2CID   118695037 .
• Бахманн, П. (1898). Арифметика квадратичных форм. Первый дивизион . Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Бахманн, П. (1923). Арифметика квадратичных форм. Второй дивизион . Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
• Барнетт, Дж. Х. (2004). «Входите, центр сцены: ранняя драма гиперболических функций» (PDF) . Журнал «Математика» . 77 (1): 15–30. дои : 10.1080/0025570x.2004.11953223 . S2CID   121088132 .
• Боше, Максим (1907). «Квадратичные формы» . Введение в высшую алгебру . Нью-Йорк: Макмиллан.
• Бонди, Герман (1964). Относительность и здравый смысл . Нью-Йорк: Даблдей и компания.
• Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития . Чикаго: Открытый суд.
• Браун, Харви Р. (2001), «Причины сокращения длины: I. Гипотеза деформации Фитцджеральда-Лоренца» , Американский журнал физики , 69 (10): 1044–1054, arXiv : gr-qc/0104032 , Bibcode : 2001AmJPh..69.1044B , doi : 10.1119/1.1379733 , S2CID   2945585 См. также «Майхельсон, Фицджеральд и Лоренц: новый взгляд на истоки теории относительности», Online .
• Картан, Э.; Этюд, Э. (1908). «Комплексные числа» . Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . 1 (1): 328–468.
• Картан, Э.; Фано, Г. (1955) [1915]. «Теория непрерывных групп и геометрия» . Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . 3 (1): 39–43. (В 1915 году были опубликованы только страницы 1–21, вся статья, включая стр. 39–43, касающуюся групп Лагерра и Лоренца, была посмертно опубликована в 1955 году в сборнике статей Картана и переиздана в Энциклопедии в 1991 году.)
• Кулидж, Джулиан (1916). Трактат о круге и сфере . Оксфорд: Кларендон Пресс.
• Дарригол, Оливье (2000), Электродинамика от Ампера до Эйнштейна , Оксфорд: Oxford Univ. Пресса, ISBN  978-0-19-850594-5
• Дарригол, Оливье (2005), «Происхождение теории относительности» (PDF) , Séminaire Poincaré , 1 : 1–22, Бибкод : 2006eins.book....1D , doi : 10.1007/3-7643-7436- 5_1 , ISBN  978-3-7643-7435-8
• Диксон, Л.Е. (1923). История теории чисел, Том III, Квадратичные и высшие формы . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги в Вашингтоне.
• Фьелстад, П. (1986). «Расширение специальной теории относительности с помощью чисел недоумения». Американский журнал физики . 54 (5): 416–422. Бибкод : 1986AmJPh..54..416F . дои : 10.1119/1.14605 .
• Жирар, PR (1984). «Группа кватернионов и современная физика». Европейский журнал физики . 5 (1): 25–32. Бибкод : 1984EJPh....5...25G . дои : 10.1088/0143-0807/5/1/007 . S2CID   250775753 .
• Грей, Дж. (1979). «Неевклидова геометрия — новая интерпретация» . История Математики . 6 (3): 236–258. дои : 10.1016/0315-0860(79)90124-1 .
• Грей, Дж.; Скотт В. (1997). «Введение» (PDF) . Три приложения по открытию фуксовых функций (PDF) . Берлин. стр. 7–28. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Хокинс, Томас (2013). «Проблема Кэли – Эрмита и матричная алгебра». Математика Фробениуса в контексте: путешествие через математику XVIII-XX веков . Спрингер. ISBN  978-1461463337 .
• Янссен, Мишель (1995), Сравнение теории эфира Лоренца и специальной теории относительности в свете экспериментов Траутона и Ноубла (Диссертация)
• Каструп, Х.А. (2008). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметрий в геометрии и теоретической физике». Аннален дер Физик . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Бибкод : 2008АнП...520..631К . дои : 10.1002/andp.200810324 . S2CID   12020510 .
• Кацир, Шауль (2005), «Релятивистская физика Пуанкаре: ее происхождение и природа», Физика в перспективе , 7 (3): 268–292, Бибкод : 2005PhP.....7..268K , doi : 10.1007/s00016- 004-0234-у , S2CID   14751280
• Кляйн, Ф. (1897) [1896]. Математическая теория волчка . Нью-Йорк: Скрибнер.
• Кляйн, Феликс; Блашке, Вильгельм (1926). Лекции по высшей геометрии . Берлин: Шпрингер.
• фон Лауэ, М. (1921). Теория относительности, Том 1 (четвертое издание «Принципа относительности» под ред.). Посмотретьег. ; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
• Лоренте, М. (2003). «Представления классических групп на решетке и их применение к теории поля в дискретном пространстве-времени». Симметрии в науке . VI : 437–454. arXiv : hep-lat/0312042 . Бибкод : 2003hep.lat..12042L .
• Макроссан, Миннесота (1986), «Заметки об относительности до Эйнштейна» , Британский журнал философии науки , 37 (2): 232–234, CiteSeerX   10.1.1.679.5898 , doi : 10.1093/bjps/37.2.232
• Маделунг, Э. (1922). Математический инструментарий физика . Берлин: Шпрингер.
• Майерник, В. (1986). «Представление релятивистских величин тригонометрическими функциями». Американский журнал физики . 54 (6): 536–538. Бибкод : 1986AmJPh..54..536M . дои : 10.1119/1.14557 .
• Мейер, WF (1899). «Теория инвариантов» . Энциклопедия математических наук . 1 (1): 322–455.
• Миллер, Артур И. (1981), специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Появление (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 г.) , Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-04679-3
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Оксфорд Кларендон Пресс.
• Мюллер, Эмиль (1910). «Различные системы координат» . Энциклопедия математических наук . 3.1.1: 596-770.
• Мусен, П. (1970). «Обсуждение метода вековых возмущений Хилла...». Небесная механика . 2 (1): 41–59. Бибкод : 1970CeMec...2...41M . дои : 10.1007/BF01230449 . hdl : 2060/19700018328 . S2CID   122335532 .
• Наймарк, Массачусетс (2014) [1964]. Линейные представления группы Лоренца . Оксфорд. ISBN  978-1483184982 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Пачеко, Р. (2008). «Бьянки-Бэклунд трансформирует и одевает, еще раз». Геометрии Дедиката . 146 (1): 85–99. arXiv : 0808.4138 . дои : 10.1007/s10711-009-9427-5 . S2CID   14356965 .
• Пайс, Авраам (1982), Тонкий Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-520438-4
• Паули, Вольфганг (1921), «Теория относительности» , Энциклопедия математических наук , 5 (2): 539–776.
  По-английски: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности . Том. 165. Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-64152-2 .
• Пенроуз, Р.; Риндлер В. (1984), Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN  978-0521337076
• Пламмер, Х.К. (1910), «О теории аберрации и принципе относительности», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 70 (3): 252–266, Бибкод : 1910MNRAS..70..252P , doi : 10.1093 /mnras/70.3.252
• Рэтклифф, Дж. Г. (1994). «Гиперболическая геометрия» . Основы гиперболических многообразий . Нью-Йорк. стр. 56–104 . ISBN  978-0387943480 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Рейнольдс, ВФ (1993). «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 442–455. дои : 10.1080/00029890.1993.11990430 . JSTOR   2324297 . S2CID   124088818 .
• Риндлер, В. (2013) [1969]. Основная теория относительности: специальная, общая и космологическая . Спрингер. ISBN  978-1475711356 .
• Робинсон, Э.А. (1990). Относительность Эйнштейна в метафоре и математике . Прентис Холл. ISBN  9780132464970 .
• Розенфельд, бакалавр (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция понятия геометрического пространства . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1441986801 .
• Роте, Х. (1916). «Системы геометрического анализа» . Энциклопедия математических наук . 3.1.1: 1282–1425.
• Шоттенлохер, М. (2008). Математическое введение в конформную теорию поля . Спрингер. ISBN  978-3540706908 .
• Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности . Лондон: Макмиллан.
• Собчик, Г. (1995). «Гиперболическая числовая плоскость». Математический журнал колледжа . 26 (4): 268–280. дои : 10.2307/2687027 . JSTOR   2687027 .
• Соммервилл, DMLY (1911). Библиография по неевклидовой геометрии . Лондон: Лондонский паб. Харрисона для Университета Сент-Эндрюс.
• Синдж, Дж.Л. (1956), Относительность: специальная теория , Северная Голландия.
• Синг, Дж. Л. (1972). «Кватернионы, преобразования Лоренца и матрицы Конвея – Дирака – Эддингтона» . Сообщения Дублинского института перспективных исследований . 21 .
• Тернг, К.Л. и Уленбек, К. (2000). «Геометрия солитонов» (PDF) . Уведомления АМС . 47 (1): 17–25.
• Тома, младший; Тремейн С. и Казанджян М.В. (2009). «Метод Гаусса для вековой динамики, смягченный». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 394 (2): 1085–1108. arXiv : 0811.2812 . Бибкод : 2009MNRAS.394.1085T . дои : 10.1111/j.1365-2966.2009.14409.x . S2CID   14531003 .
• Волк, О. (1976). «Разное из истории небесной механики» . Небесная механика . 14 (3): 365–382. Бибкод : 1976CeMec..14..365V . дои : 10.1007/bf01228523 . S2CID   122955645 .
• Уолтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности» . У Х. Геннера; Дж. Ренн; Дж. Риттер; Т. Зауэр (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Исследования Эйнштейна. Том. 7. Бостон: Биркхойзер. стр. 45–86. ISBN  978-0-8176-4060-6 .
• Уолтер, Скотт А. (1999b). «Неевклидов стиль относительности Минковского» . В Дж. Грее (ред.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 91–127.
• Уолтер, Скотт А. (2018). «Фигуры света в ранней истории относительности (1905–1914)» . В Роу Д.; Зауэр Т.; Уолтер С. (ред.). За пределами Эйнштейна . Исследования Эйнштейна. Том. 14. Нью-Йорк: Биркхойзер. стр. 3–50. дои : 10.1007/978-1-4939-7708-6_1 . ISBN  978-1-4939-7708-6 . S2CID   31840179 .

Внешние ссылки

• Mathpages: 1.4 Относительность света