Угол параллельности

В гиперболической геометрии угол параллельности $\Pi (a)$ - угол при непрямоугольной вершине прямоугольного гиперболического треугольника, имеющего две асимптотически параллельные стороны. Угол зависит от длины отрезка а между прямым углом и вершиной угла параллельности.

Учитывая точку, не лежащую на прямой, опустите из этой точки перпендикуляр к прямой. Пусть a — длина этого перпендикулярного отрезка, а $\Pi (a)$ — наименьший угол, при котором линия, проведенная через точку, не пересекает данную прямую. Поскольку две стороны асимптотически параллельны,

\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.

Есть пять эквивалентных выражений, которые связаны $\Pi (a)$ и :

\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,

\cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,

\tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,

\tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},

\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),

где sinh, cosh, tanh, sech и csch — гиперболические функции , а gd — функция Гудермана .

Строительство

Янош Бойай открыл конструкцию, которая дает асимптотическую параллель s прямой r, проходящей через точку A, не лежащую на r . ^[1] Опустите перпендикуляр из А на В на r . Выберите любую точку C на r, от B. отличную возведите перпендикуляр t к r В точке C . Опустите перпендикуляр из A на D на t . Тогда длина DA больше CB но короче CA. , Нарисуйте круг вокруг C радиусом, равным DA . Он пересечет отрезок в точке E. AB Тогда угол BEC не зависит от длины BC и зависит только от AB ; это угол параллелизма. Постройте s через A под углом BEC от AB .

\sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.

см . в разделе Тригонометрия прямоугольных треугольников Используемые здесь формулы .

История

Угол параллельности был разработан в 1840 году в немецком издании «Геометрические исследования по теории параллельных прямых» Николаем Лобачевским .

Эта публикация стала широко известна на английском языке после того, как техасский профессор Г.Б. Холстед сделал перевод в 1891 году ( Геометрические исследования по теории параллелей ).

Следующие отрывки определяют эту ключевую концепцию гиперболической геометрии:

Угол HAD между параллельным HA и перпендикуляром AD называется углом параллельности (углом параллельности), который мы будем здесь обозначать через Π(p) для AD = p . ^[2]^: 13^[3]

Демонстрация

В полуплоской модели Пуанкаре гиперболической плоскости (см. Гиперболические движения ) можно установить связь Φ с a с помощью евклидовой геометрии . Пусть Q — полукруг с диаметром по оси x , который проходит через точки (1,0) и (0, y ), где y > 1. Поскольку Q касается единичного полукруга с центром в начале координат, два полукруга представляют собой параллельные гиперболические прямые . Ось y пересекает оба полукруга, образуя прямой угол с единичным полукругом и переменный угол Φ с Q . Угол в центре Q, образуемый радиусом (0, y ), также равен Φ, поскольку у этих двух углов есть стороны, которые перпендикулярны: левая сторона к левой стороне и правая сторона к правой стороне. Полукруг Q имеет центр в точке ( x , 0), x <0, поэтому его радиус равен 1 − x . Таким образом, квадрат радиуса Q равен

x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},

следовательно

x={\tfrac {1}{2}}(1-y^{2}).

Метрика модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии параметризует расстояние на луче {(0, y ) : y > 0 } с логарифмической мерой . Пусть гиперболическое расстояние от (0, y ) до (0, 1) равно a , поэтому: log y − log 1 = a , поэтому y = e ^а где е — основание натурального логарифма . Затем связь между Φ и a можно вывести из треугольника {( x , 0), (0, 0), (0, y )}, например:

\tan \phi ={\frac {y}{-x}}={\frac {2y}{y^{2}-1}}={\frac {2e^{a}}{e^{2a}-1}}={\frac {1}{\sinh a}}.

Ссылки

^ «Неевклидова геометрия» Роберто Бонолы, стр. 104, Dover Publications.
^ Николай Лобачевский (1840) GB Halsted Переводчик (1891) Геометрические исследования по теории параллелей
^ Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Полная и неизмененная республика 1. Английский перевод, 1912 г., изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-60027-0 .
^ А.С. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского , §12 Основные формулы гиперболической геометрии, рисунок 37, стр. 60, Издательство "Мир" , Москва

Марвин Дж. Гринберг (1974) Евклидова и неевклидова геометрия , стр. 211–3, WH Freeman & Company .
Робин Хартсхорн (1997) Товарищ Евклида, стр. 319, 325, Американское математическое общество , ISBN 0821807978 .
Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидовы, неевклидовы и релятивистские , 2-е издание, Clarendon Press , Оксфорд (см. страницы 113–118).
Бела Керекьярто (1966) Основы геометрии , Том второй, §97.6 Угол параллелизма гиперболической геометрии, стр. 411.2, Академический Киадо, Будапешт.

[1] «Неевклидова геометрия» Роберто Бонолы, стр. 104, Dover Publications.

[Lob-2] Николай Лобачевский (1840) GB Halsted Переводчик (1891) Геометрические исследования по теории параллелей

[3] Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Полная и неизмененная республика 1. Английский перевод, 1912 г., изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-60027-0 .

[4] А.С. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского , §12 Основные формулы гиперболической геометрии, рисунок 37, стр. 60, Издательство "Мир" , Москва

[1]

[2]

[3]

[4]