Гиперболическое движение

В геометрии гиперболические движения — изометрические автоморфизмы гиперболического пространства . При композиции отображений гиперболические движения образуют непрерывную группу . Говорят, что эта группа характеризует гиперболическое пространство. Такой подход к геометрии культивировал Феликс Кляйн в своей программе «Эрланген» . Идея сведения геометрии к ее характеристической группе была развита, в частности, Марио Пьери при сведении примитивных понятий геометрии к просто точке и движению .

Гиперболические движения часто берутся из инверсивной геометрии : это отображения, состоящие из отражений в прямой или окружности (или в гиперплоскости или гиперсфере для гиперболических пространств более двух измерений). принимают конкретную линию или круг Чтобы отличить гиперболические движения, за абсолют . При условии, что абсолют должен быть инвариантным множеством всех гиперболических движений. Абсолют делит плоскость на две компоненты связности , и гиперболические движения не должны переставлять эти компоненты местами.

Одним из наиболее распространенных контекстов инверсной геометрии и гиперболических движений является изучение отображений комплексной плоскости с помощью преобразований Мёбиуса . В учебниках по комплексным функциям часто упоминаются две распространенные модели гиперболической геометрии: модель полуплоскости Пуанкаре, где абсолютом является действительная линия на комплексной плоскости, и модель диска Пуанкаре , где абсолютом является единичный круг на комплексной плоскости. Гиперболические движения также можно описать с помощью гиперболоидной модели гиперболической геометрии. ^[1]

В этой статье показаны примеры использования гиперболических движений: расширение метрики $d(a,b)=\vert \log(b/a)\vert$ в полуплоскость и в положение квазисферы гиперкомплексной системы счисления .

Движения на гиперболической плоскости [ править ]

Каждое движение ( преобразование или изометрия ) гиперболической плоскости самой себе может быть реализовано как композиция не более чем трех отражений . В n до n -мерном гиперболическом пространстве может потребоваться +1 отражений. (Это также верно для евклидовой и сферической геометрии, но приведенная ниже классификация отличается.)

Все изометрии гиперболической плоскости можно разделить на следующие классы:

Сохранение ориентации
- тождественная изометрия — ничего не движется; нулевые отражения; ноль степеней свободы .
- инверсия через точку (полуоборот) — два отражения через взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через данную точку, т.е. поворот на 180 градусов вокруг точки; две степени свободы .
- вращение вокруг нормальной точки — два отражения через прямые, проходящие через данную точку (включая инверсию как частный случай); точки перемещаются по кругам вокруг центра; три степени свободы.
- «вращение» вокруг идеальной точки (горолация) — два отражения через линии, ведущие к идеальной точке; точки движутся по орициклам с центром в идеальной точке; две степени свободы.
- перенос по прямой — два отражения через прямые, перпендикулярные данной линии; точки вне заданной линии движутся по гиперциклам; три степени свободы.
Изменение ориентации
- отражение через линию — одно отражение; две степени свободы.
- комбинированное отражение через линию и перенос вдоль этой же линии — отражение и перевод коммутируют; требуется три отражения; три степени свободы. ^{[ нужна цитата ]}

метрики в полуплоскую Пуанкаре модель Введение

Точки модели полуплоскости Пуанкаре HP заданы в декартовых координатах как {( x , y ): y > 0} или в полярных координатах как {( r cos a , r sin a ): 0 < a < π, r > 0}. Гиперболические движения будем считать композицией трех фундаментальных гиперболических движений. Пусть p = ( x,y ) или p = ( r cos a , r sin a ), p ∈ HP.

Основными движениями являются:

p → q знак равно ( x + c , y ), c ∈ R (сдвиг влево или вправо)

п → q знак равно ( sx , sy ), s > 0 ( расширение )

p → q = ( r ⁻¹ потому что а , р ⁻¹ sin a ) ( инверсия в единичном полукруге ).

Примечание: сдвиг и расширение — это отображения инверсивной геометрии, состоящие из пары отражений в вертикальных линиях или концентрических кругах соответственно.

Использование полукруга Z [ править ]

Рассмотрим треугольник {(0,0),(1,0),(1,tan a )}. С 1 + загар ²а = сек ²a длина гипотенузы треугольника равна sec a , где sec обозначает секущую функцию. Установите r = sec a и примените третье фундаментальное гиперболическое движение, чтобы получить q = ( r cos a , r sin a ), где r = sec ⁻¹а = потому что а . Сейчас

| д – (½, 0)| ² = (потому что ²а – ½) ² +потому что ²aбез ²а = ¼

так что q лежит на полукруге Z радиуса ½ и центра (½, 0). Таким образом, касательный луч в точке (1, 0) отображается в Z третьим фундаментальным гиперболическим движением. Размер любого полукруга можно изменить, расширив его до радиуса ½ и сместив на Z , тогда инверсия переносит его на касательный луч. Таким образом, совокупность гиперболических движений переставляет полукруги с диаметрами по y = 0 иногда с вертикальными лучами, и наоборот. Предположим, кто-то согласен измерять длину вертикальных лучей с помощью логарифмической меры :

d (( x , y ), ( x , z )) = |log ( z / y )|.

Тогда с помощью гиперболических движений можно будет измерять и расстояния между точками на полукругах: сначала переместите точки к Z с соответствующим сдвигом и расширением, затем инверсией разместите их на касательном луче, где известно логарифмическое расстояние.

Для m и n в HP пусть b будет серединным перпендикуляром отрезка, соединяющего m и n . Если b параллелен абсциссе , то m и n соединены вертикальным лучом, в противном случае b проходит полукруг с центром в этом пересечении пересекает абсциссу, так что через m и n . Множество HP становится метрическим пространством , если оно снабжено расстоянием d ( m , n ) для m , n ∈ HP, найденным на вертикальном луче или полукруге. Вертикальные лучи и полукруги называются гиперболическими линиями в HP. Геометрия точек и гиперболических линий в HP является примером неевклидовой геометрии ; тем не менее, построение концепций линий и расстояний для HP во многом опирается на исходную геометрию Евклида.

Движения модели диска [ править ]

Рассмотрим диск D = { z ∈ C : zz * < 1} в плоскости C. комплексной Геометрическую плоскость Лобачевского можно отобразить в D дугами окружностей, перпендикулярными границе D, обозначающими гиперболические линии . Используя арифметику и геометрию комплексных чисел, а также преобразования Мёбиуса , существует модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости:

Предположим, a и b — комплексные числа с aa * − bb * = 1. Обратите внимание, что

| бз + а *| ²− | есть + б *| ² = ( аа * - bb *)(1 - | z | ²),

так что | г | < 1 подразумевает |( a z + b *)/( bz + a *)| < 1 . Следовательно, диск D является инвариантным множеством преобразования Мёбиуса.

f( z ) = ( az + b *)/( bz + a *).

Поскольку он также переставляет местами гиперболические линии, мы видим, что эти преобразования являются движениями модели D гиперболической геометрии . Сложная матрица

q={\begin{pmatrix}a&b\\b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}

с aa * − bb * = 1, который является элементом специальной унитарной группы SU(1,1) .

Ссылки [ править ]

^ Майлз Рид и Балаж Сзендрой (2005) Геометрия и топология , §3.11 Гиперболические движения, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , МР 2194744

Ларс Альфорс (1967) Гиперболические движения , Математический журнал Нагои 29: 163–5 через Project Euclid
Фрэнсис Бонахон (2009) Низкоразмерная геометрия: от евклидовых поверхностей к гиперболическим узлам , Глава 2 «Гиперболическая плоскость», страницы 11–39, Американское математическое общество : Студенческая математическая библиотека , том 49 ISBN 978-0-8218-4816-6 .
Виктор В. Прасолов и В. М. Тихомиров (1997, 2001) Геометрия , Американское математическое общество : Переводы математических монографий , том 200, ISBN 0-8218-2038-9 .
А. С. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского , Издательство «Мир» , Москва.

[1] Майлз Рид и Балаж Сзендрой (2005) Геометрия и топология , §3.11 Гиперболические движения, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , МР 2194744

[1]