Ультрапараллельная теорема

Модель диска Пуанкаре: розовая линия ультрапараллельна синей линии, а зеленые линии ограничивают ее параллельно синей линии.

В гиперболической геометрии две прямые называются ультрапараллельными, если они не пересекаются и не являются предельно параллельными .

Теорема об ультрапараллели утверждает, что каждая пара (различных) ультрапараллельных прямых имеет единственный общий перпендикуляр (гиперболическую линию, перпендикулярную обеим прямым).

конструкция Гильберта

Пусть $r$ и $s$ — две ультрапараллельные прямые.

Из любых двух различных точек $A$ и $C$ на s проведите $AB$ и $CB'$ перпендикулярно $r,$ причем $B$ и $B'$ на $r$ .

Если же AB = CB', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии четырехугольника Саккери ACB'B).

В противном случае мы можем предположить, что AB < CB' без ограничения общности. Пусть E — точка на прямой s на противоположной стороне от A от C. Возьмем A' на CB' так, чтобы A'B' = AB. Через А' проведем линию s' (А'Е') на стороне, ближе к Е, так, чтобы угол В'А'Е' был равен углу ВАЕ. Тогда s' встречается с s в обычной точке D'. Построим точку D на луче AE так, чтобы AD = A'D'.

Тогда D' ≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Таким образом, серединный перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r. ^[1]

(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция не удалась бы, потому что s' не пересекалась бы с s. Скорее s' была бы предельной параллелью как s, так и r.)

Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре.

Позволять

a<b<c<d

быть четырьмя различными точками на абсциссе декартовой плоскости . Позволять $p$ и $q$ быть полукругами над абсциссой с диаметрами $ab$ и $cd$ соответственно. Тогда в модели полуплоскости Пуанкаре HP: $p$ и $q$ представляют собой ультрапараллельные линии.

Составьте следующие два гиперболических движения :

x\to x-a

{\mbox{inversion in the unit semicircle.}}

Затем $a\to \infty ,\quad b\to (b-a)^{-1},\quad c\to (c-a)^{-1},\quad d\to (d-a)^{-1}.$

Теперь продолжим эти два гиперболических движения:

x\to x-(b-a)^{-1}

x\to \left[(c-a)^{-1}-(b-a)^{-1}\right]^{-1}x

Затем $a$ остается в $\infty$ , $b\to 0$ , $c\to 1$ , $d\to z$ (сказать). Уникальный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярным полукругу на $1z$ должен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длины ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z+1)$ . С ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(z-1)$ это радиус полукруга на $1z$ , искомый общий перпендикуляр имеет радиус-квадрат

{\frac {1}{4}}\left[(z+1)^{2}-(z-1)^{2}\right]=z.

Четыре гиперболических движения, которые произвели $z$ вышеприведенное, можно инвертировать и применить в обратном порядке к полукругу с центром в начале координат и радиусом. ${\sqrt {z}}$ чтобы получить уникальную гиперболическую линию, перпендикулярную обеим ультрапараллелям $p$ и $q$ .

Доказательство в модели Бельтрами-Клейна.

В модели Бельтрами-Клейна гиперболической геометрии:

две ультрапараллельные прямые соответствуют двум непересекающимся хордам .
Полюса в этих двух линий являются соответствующими пересечениями касательных к граничной окружности конечных точках хорд.
Линии , перпендикулярные линии l, моделируются хордами, продолжение которых проходит через полюс l .
Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных линий и пересекаем ее с граничным кругом; хорда пересечения будет искомым общим перпендикуляром ультрапараллельных прямых.

Если одна из хорд оказывается диаметром, у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другая линия, пересекающая диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.

Доказательство завершается тем, что эта конструкция всегда возможна:

Если обе хорды являются диаметрами, они пересекаются (в центре граничного круга).
Если только одна из хорд является диаметром, другая хорда выступает ортогонально вниз до участка первой хорды, содержащегося в ее внутренней части, а линия от полюса, ортогональная диаметру, пересекает и диаметр, и хорду.
Если обе линии не являются диаметрами, то мы можем продлить касательные, проведенные от каждого полюса, так, чтобы получился четырехугольник с вписанной в него единичной окружностью. ^{[ как? ]} Полюсы — это противоположные вершины этого четырехугольника, а хорды — это линии, проведенные между соседними сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый, ^{[ почему? ]} линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные по углам, а отрезок линии между хордами определяет искомую хорду, перпендикулярную двум другим хордам.

В качестве альтернативы мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных линий следующим образом: ультрапараллельные линии в модели Бельтрами-Клейна представляют собой две непересекающиеся хорды. Но на самом деле они пересекаются вне круга. Полярой точки пересечения является искомый общий перпендикуляр. ^[2]

Ссылки

^ HSM Коксетер (17 сентября 1998 г.). Неевклидова геометрия . стр. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5 .
^ У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология , стр. 72

Кароль Борсук и Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии , стр. 291.

[1] HSM Коксетер (17 сентября 1998 г.). Неевклидова геометрия . стр. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5 .

[2] У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология , стр. 72

[1]

[2]