Jump to content

Квазисфера

В математике и теоретической физике квазисфера это обобщение гиперсферы и гиперплоскости на контекст псевдоевклидова пространства . Его можно описать как набор точек, для которых квадратичная форма пространства, примененная к вектору смещения из центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.

Обозначения и терминология

[ редактировать ]

В этой статье используются следующие обозначения и терминология:

Определение

[ редактировать ]

Квазисфера это подмногообразие псевдоевклидова пространства E с , т состоящая из точек u , для которых вектор смещения x = u o от опорной точки o удовлетворяет уравнению

а Икс Икс + б Икс + c знак равно 0 ,

где a , c R и b , x R с , т . [2] [д]

Поскольку a = 0 разрешено, это определение включает гиперплоскости; таким образом, это обобщение обобщенных кругов и их аналогов в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру при конформных преобразованиях , чем если бы они были опущены.

Это определение было обобщено на аффинные пространства над комплексными числами и кватернионами путем замены квадратичной формы эрмитовой формой . [3]

Квазисфера P = { x X : Q ( x ) = k } в квадратичном пространстве ( X , Q ) имеет контрсферу N = { x X : Q ( x ) = − k } . [и] Более того, если k ≠ 0 и L изотропная прямая в X через x = 0 , то L ∩ ( P N ) = ∅ , прокалывая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является единичная гипербола , образующая квазисферу гиперболической плоскости , и сопряженная с ней гипербола , которая является ее контрсферой.

Геометрические характеристики

[ редактировать ]

Центральный и радиальный скалярный квадрат

[ редактировать ]

Центр пересекаются квазисферы - это точка, скалярный квадрат которой равен каждой точке квазисферы, точка, в которой пучки прямых, нормальных к касательным гиперплоскостям. Если квазисфера является гиперплоскостью, центром является точка на бесконечности, определяемая этим пучком.

Когда a ≠ 0 , вектор смещения p центра от опорной точки и радиальный скалярный квадрат r можно найти следующим образом. Положим Q ( x p ) = r и, сравнивая с определяющим уравнением, приведенным выше для квазисферы, получаем

Случай a = 0 можно интерпретировать как центр p, представляющий собой четко определенную точку на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее для случая нулевой гиперплоскости). Знание p r ) в этом случае не определяет положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.

Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если p и r могут быть определены из приведенных выше выражений, набор векторов x, удовлетворяющих определяющему уравнению, может быть пустым, как это имеет место в евклидовом пространстве для отрицательного радиального скалярного квадрата.

Диаметр и радиус

[ редактировать ]

Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая возможность того, что одна из них является точкой, находящейся на бесконечности), определяет диаметр квазисферы. Квазисфера — это набор точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.

Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.

Разделение

[ редактировать ]

Ссылаясь на квадратичную форму, применяемую к вектору смещения точки квазисферы от центра (т. е. Q ( x p ) ) как радиальный скалярный квадрат , в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы могут быть разделены на три непересекающихся множества: с положительным квадратом радиального скаляра, с отрицательным квадратом радиального скаляра, с нулевым квадратом радиального скаляра. [ф]

В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (т.е. евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным квадратом радиального скаляра представляет собой пустое множество, сфера с нулевым квадратом радиального скаляра состоит из одной точки, сфера с положительным квадратом радиального скаляра представляет собой стандартная n -сфера, а сфера с нулевой кривизной представляет собой гиперплоскость, разделенную на n -сферы.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Некоторые авторы исключают определенные случаи, но в контексте этой статьи определитель неопределенный . там, где предполагается это исключение, будет использоваться
  2. ^ Симметричная билинейная форма, примененная к двум векторам, также называется их скалярным произведением .
  3. ^ Соответствующая симметричная билинейная форма (вещественной) квадратичной формы Q определяется так, что Q ( x ) = B ( x , x ) , и может быть определена как B ( x , y ) = 1 / 4 ( Q ( Икс + y ) - Q ( Икс - y )) . См. разделе «Поляризационная идентичность» . Варианты этой идентичности в
  4. ^ Хоть это и не упоминается в источнике, мы должны исключить комбинацию b = 0 и a = 0 .
  5. ^ Есть предостережения, когда Q определен. Кроме того, когда k = 0 , отсюда следует, N = P. что
  6. ^ Гиперплоскость (квазисфера с бесконечным радиальным скалярным квадратом или нулевой кривизной) разделена на квазисферы, к которым она касается. Эти три набора могут быть определены в зависимости от того, является ли квадратичная форма, примененная к вектору, который является нормалью к касательной гиперповерхности, положительной, нулевой или отрицательной. Три набора объектов сохраняются при конформных преобразованиях пространства.
  1. ^ Эли Картан (1981) [Впервые опубликовано в 1937 году на французском языке и в 1966 году на английском языке], The Theory of Spinors , Dover Publications , стр. 3, ISBN  0486640701
  2. ^ Джейме Ваз-младший; Ролдан да Роча-младший (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . п. 140. ИСБН  9780191085789 .
  3. ^ Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , издательство Кембриджского университета
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 075bb0f015d677dae4c0aa6fd472f4df__1714615620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/07/df/075bb0f015d677dae4c0aa6fd472f4df.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quasi-sphere - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)