Квазисфера
В математике и теоретической физике квазисфера — это обобщение гиперсферы и гиперплоскости на контекст псевдоевклидова пространства . Его можно описать как набор точек, для которых квадратичная форма пространства, примененная к вектору смещения из центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.
Обозначения и терминология
[ редактировать ]В этой статье используются следующие обозначения и терминология:
- Псевдоевклидово векторное пространство , обозначаемое R с , т , является вещественным векторным пространством с невырожденной квадратичной формой с сигнатурой ( s , t ) . Квадратичная форма может быть определенной (где s = 0 или t = 0 ), что делает ее обобщением евклидова векторного пространства . [а]
- Псевдоевклидово пространство , обозначаемое E с , т , является вещественным аффинным пространством , в котором векторы смещения являются элементами пространства R с , т . Оно отличается от векторного пространства.
- Квадратичная форма Q, действующая на вектор x ∈ R с , т , обозначенный Q ( x ) , является обобщением квадрата евклидова расстояния в евклидовом пространстве. Картан называет Q ( x ) скалярным квадратом x Эли . [1]
- Симметричная билинейная форма B, действующая на два вектора x , y ∈ R с , т обозначается B ( Икс , y ) или Икс ⋅ y . [б] связано с квадратичной формой Q. Это [с]
- Два вектора x , y ∈ R с , т ортогональны , если x ⋅ y знак равно 0 .
- в Нормальный вектор точке квазисферы — это ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору в касательном пространстве в этой точке.
Определение
[ редактировать ]Квазисфера — это подмногообразие псевдоевклидова пространства E с , т состоящая из точек u , для которых вектор смещения x = u − o от опорной точки o удовлетворяет уравнению
- а Икс ⋅ Икс + б ⋅ Икс + c знак равно 0 ,
где a , c ∈ R и b , x ∈ R с , т . [2] [д]
Поскольку a = 0 разрешено, это определение включает гиперплоскости; таким образом, это обобщение обобщенных кругов и их аналогов в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру при конформных преобразованиях , чем если бы они были опущены.
Это определение было обобщено на аффинные пространства над комплексными числами и кватернионами путем замены квадратичной формы эрмитовой формой . [3]
Квазисфера P = { x ∈ X : Q ( x ) = k } в квадратичном пространстве ( X , Q ) имеет контрсферу N = { x ∈ X : Q ( x ) = − k } . [и] Более того, если k ≠ 0 и L — изотропная прямая в X через x = 0 , то L ∩ ( P ∪ N ) = ∅ , прокалывая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является единичная гипербола , образующая квазисферу гиперболической плоскости , и сопряженная с ней гипербола , которая является ее контрсферой.
Геометрические характеристики
[ редактировать ]Центральный и радиальный скалярный квадрат
[ редактировать ]Центр пересекаются квазисферы - это точка, скалярный квадрат которой равен каждой точке квазисферы, точка, в которой пучки прямых, нормальных к касательным гиперплоскостям. Если квазисфера является гиперплоскостью, центром является точка на бесконечности, определяемая этим пучком.
Когда a ≠ 0 , вектор смещения p центра от опорной точки и радиальный скалярный квадрат r можно найти следующим образом. Положим Q ( x − p ) = r и, сравнивая с определяющим уравнением, приведенным выше для квазисферы, получаем
Случай a = 0 можно интерпретировать как центр p, представляющий собой четко определенную точку на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее для случая нулевой гиперплоскости). Знание p (и r ) в этом случае не определяет положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.
Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если p и r могут быть определены из приведенных выше выражений, набор векторов x, удовлетворяющих определяющему уравнению, может быть пустым, как это имеет место в евклидовом пространстве для отрицательного радиального скалярного квадрата.
Диаметр и радиус
[ редактировать ]Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая возможность того, что одна из них является точкой, находящейся на бесконечности), определяет диаметр квазисферы. Квазисфера — это набор точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.
Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.
Разделение
[ редактировать ]Ссылаясь на квадратичную форму, применяемую к вектору смещения точки квазисферы от центра (т. е. Q ( x − p ) ) как радиальный скалярный квадрат , в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы могут быть разделены на три непересекающихся множества: с положительным квадратом радиального скаляра, с отрицательным квадратом радиального скаляра, с нулевым квадратом радиального скаляра. [ф]
В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (т.е. евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным квадратом радиального скаляра представляет собой пустое множество, сфера с нулевым квадратом радиального скаляра состоит из одной точки, сфера с положительным квадратом радиального скаляра представляет собой стандартная n -сфера, а сфера с нулевой кривизной представляет собой гиперплоскость, разделенную на n -сферы.
См. также
[ редактировать ]- Антиде Ситтеровское пространство
- по пространству Ситтера
- Гиперболоид § Связь со сферой
- Геометрия сферы лжи
- Квадратичный набор
Примечания
[ редактировать ]- ^ Некоторые авторы исключают определенные случаи, но в контексте этой статьи определитель неопределенный . там, где предполагается это исключение, будет использоваться
- ^ Симметричная билинейная форма, примененная к двум векторам, также называется их скалярным произведением .
- ^ Соответствующая симметричная билинейная форма (вещественной) квадратичной формы Q определяется так, что Q ( x ) = B ( x , x ) , и может быть определена как B ( x , y ) = 1 / 4 ( Q ( Икс + y ) - Q ( Икс - y )) . См. разделе «Поляризационная идентичность» . Варианты этой идентичности в
- ^ Хоть это и не упоминается в источнике, мы должны исключить комбинацию b = 0 и a = 0 .
- ^ Есть предостережения, когда Q определен. Кроме того, когда k = 0 , отсюда следует, N = P. что
- ^ Гиперплоскость (квазисфера с бесконечным радиальным скалярным квадратом или нулевой кривизной) разделена на квазисферы, к которым она касается. Эти три набора могут быть определены в зависимости от того, является ли квадратичная форма, примененная к вектору, который является нормалью к касательной гиперповерхности, положительной, нулевой или отрицательной. Три набора объектов сохраняются при конформных преобразованиях пространства.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эли Картан (1981) [Впервые опубликовано в 1937 году на французском языке и в 1966 году на английском языке], The Theory of Spinors , Dover Publications , стр. 3, ISBN 0486640701
- ^ Джейме Ваз-младший; Ролдан да Роча-младший (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . п. 140. ИСБН 9780191085789 .
- ^ Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , издательство Кембриджского университета