Квазисфера

В математике и теоретической физике квазисфера — это обобщение гиперсферы и гиперплоскости на контекст псевдоевклидова пространства . Его можно описать как набор точек, для которых квадратичная форма пространства, примененная к вектору смещения из центральной точки, является постоянной величиной, с включением гиперплоскостей в качестве предельного случая.

Обозначения и терминология

В этой статье используются следующие обозначения и терминология:

• Псевдоевклидово векторное пространство , обозначаемое R ^{с , т} , является вещественным векторным пространством с невырожденной квадратичной формой с сигнатурой ( s , t ) . Квадратичная форма может быть определенной (где s = 0 или t = 0 ), что делает ее обобщением евклидова векторного пространства .
• Псевдоевклидово пространство , обозначаемое E ^{с , т} , является вещественным аффинным пространством , в котором векторы смещения являются элементами пространства R ^{с , т} . Оно отличается от векторного пространства.
• Квадратичная форма Q, действующая на вектор x ∈ R ^{с , т} , обозначенный Q ( x ) , является обобщением квадрата евклидова расстояния в евклидовом пространстве. Картан называет Q ( x ) скалярным квадратом x Эли .
• Симметричная билинейная форма B, действующая на два вектора x , y ∈ R ^{с , т} обозначается B ( Икс , y ) или Икс ⋅ y . связано с квадратичной формой Q. Это
• Два вектора x , y ∈ R ^{с , т} ортогональны , если x ⋅ y знак равно 0 .
• в Нормальный вектор точке квазисферы — это ненулевой вектор, ортогональный каждому вектору в касательном пространстве в этой точке.

Определение

Квазисфера — это подмногообразие псевдоевклидова пространства E ^{с , т} состоящая из точек u , для которых вектор смещения x = u − o от опорной точки o удовлетворяет уравнению

а Икс ⋅ Икс + б ⋅ Икс + c знак равно 0 ,

где a , c ∈ R и b , x ∈ R ^{с , т} .

Поскольку a = 0 разрешено, это определение включает гиперплоскости; таким образом, это обобщение обобщенных кругов и их аналогов в любом количестве измерений. Это включение обеспечивает более регулярную структуру при конформных преобразованиях , чем если бы они были опущены.

Это определение было обобщено на аффинные пространства над комплексными числами и кватернионами путем замены квадратичной формы эрмитовой формой .

Квазисфера P = { x ∈ X : Q ( x ) = k } в квадратичном пространстве ( X , Q ) имеет контрсферу N = { x ∈ X : Q ( x ) = − k } . Более того, если k ≠ 0 и L — изотропная прямая в X через x = 0 , то L ∩ ( P ∪ N ) = ∅ , прокалывая объединение квазисферы и контрсферы. Одним из примеров является единичная гипербола , образующая квазисферу гиперболической плоскости , и сопряженная с ней гипербола , которая является ее контрсферой.

Геометрические характеристики

Центральный и радиальный скалярный квадрат

Центр пересекаются квазисферы - это точка, скалярный квадрат которой равен каждой точке квазисферы, точка, в которой пучки прямых, нормальных к касательным гиперплоскостям. Если квазисфера является гиперплоскостью, центром является точка на бесконечности, определяемая этим пучком.

Когда a ≠ 0 , вектор смещения p центра от опорной точки и радиальный скалярный квадрат r можно найти следующим образом. Положим Q ( x − p ) = r и, сравнивая с определяющим уравнением, приведенным выше для квазисферы, получаем

$p=-{\frac {b}{2a}},$

$r=p\cdot p-{\frac {c}{a}}.$

Случай a = 0 можно интерпретировать как центр p, представляющий собой четко определенную точку на бесконечности с бесконечным или нулевым радиальным скалярным квадратом (последнее для случая нулевой гиперплоскости). Знание p (и r ) в этом случае не определяет положение гиперплоскости, а только ее ориентацию в пространстве.

Радиальный скалярный квадрат может принимать положительное, нулевое или отрицательное значение. Когда квадратичная форма определена, даже если p и r могут быть определены из приведенных выше выражений, набор векторов x, удовлетворяющих определяющему уравнению, может быть пустым, как это имеет место в евклидовом пространстве для отрицательного радиального скалярного квадрата.

Диаметр и радиус

Любая пара точек, которые не обязательно должны быть различными (включая возможность того, что одна из них является точкой, находящейся на бесконечности), определяет диаметр квазисферы. Квазисфера — это набор точек, для которых два вектора смещения из этих двух точек ортогональны.

Любая точка может быть выбрана в качестве центра (включая точку на бесконечности), а любая другая точка на квазисфере (кроме точки на бесконечности) определяет радиус квазисферы и, таким образом, определяет квазисферу.

Разделение

Ссылаясь на квадратичную форму, применяемую к вектору смещения точки квазисферы от центра (т. е. Q ( x − p ) ) как радиальный скалярный квадрат , в любом псевдоевклидовом пространстве квазисферы могут быть разделены на три непересекающихся множества: с положительным квадратом радиального скаляра, с отрицательным квадратом радиального скаляра, с нулевым квадратом радиального скаляра.

В пространстве с положительно определенной квадратичной формой (т.е. евклидовом пространстве) квазисфера с отрицательным квадратом радиального скаляра представляет собой пустое множество, сфера с нулевым квадратом радиального скаляра состоит из одной точки, сфера с положительным квадратом радиального скаляра представляет собой стандартная n -сфера, а сфера с нулевой кривизной представляет собой гиперплоскость, разделенную на n -сферы.

См. также

• Антиде Ситтеровское пространство
• по пространству Ситтера
• Гиперболоид § Связь со сферой
• Геометрия сферы лжи
• Квадратичный набор