Квадратичный набор

В математике квадратичное множество — это набор точек в проективном пространстве , который обладает теми же основными свойствами инцидентности, что и квадрика ( коническое сечение в проективной плоскости, сфера или конус или гиперболоид в проективном пространстве).

Определение квадратичного множества

Позволять ${\mathfrak {P}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in )$ быть проективным пространством. Квадратичное множество – это непустое подмножество. ${\mathcal {Q}}$ из ${\mathcal {P}}$ для которого выполняются следующие два условия:

(QS1) Каждая строка $g$ из ${\mathcal {G}}$ пересекает ${\mathcal {Q}}$ не более чем в двух точках или содержится в ${\mathcal {Q}}$.

( $g$ называется внешним по отношению к ${\mathcal {Q}}$ если $|g\cap {\mathcal {Q}}|=0$, касательная к ${\mathcal {Q}}$ если либо $|g\cap {\mathcal {Q}}|=1$ или $g\cap {\mathcal {Q}}=g$, и секанс к ${\mathcal {Q}}$ если $|g\cap {\mathcal {Q}}|=2$.)

(QS2) Для любой точки $P\in {\mathcal {Q}}$ союз ${\mathcal {Q}}_{P}$ всех касательных, проходящих через $P$ это гиперплоскость или все пространство ${\mathcal {P}}$.

Квадратичный набор ${\mathcal {Q}}$ называется невырожденным, если для каждой точки $P\in {\mathcal {Q}}$, набор ${\mathcal {Q}}_{P}$ является гиперплоскостью.

Паппово проективное пространство — это проективное пространство, в котором справедлива теорема Паппа о шестиугольнике .

Следующий результат Фрэнсиса Бюкенхаута является удивительным утверждением для конечных проективных пространств.

Теорема: Пусть ${\mathfrak {P}}_{n}$ конечное проективное пространство размерности $n\geq 3$ и ${\mathcal {Q}}$ невырожденное квадратичное множество, содержащее прямые. Затем: ${\mathfrak {P}}_{n}$ является папповским и ${\mathcal {Q}}$ является квадрикой с индексом $\geq 2$.

Определение овала и овоида.

Овалы и овоиды представляют собой специальные квадратичные множества:
Позволять ${\mathfrak {P}}$ быть проективным пространством измерения $\geq 2$. Невырожденное квадратичное множество ${\mathcal {O}}$ не содержащий линий, называется овоидом (или овалом в плоском случае).

Следующие эквивалентные определения овала/овоида более распространены:

Определение: (овал) Непустое множество точек ${\mathfrak {o}}$ проективной плоскости называется овал, если выполняются следующие свойства:

(o1) Любая линия пересекается ${\mathfrak {o}}$ не более чем в двух точках.

( o2) Для любой точки $P$ в ${\mathfrak {o}}$ есть одна и только одна строка $g$ такой, что $g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}$.

линия $g$ является внешней , касательной или секущей линией овал, если $|g\cap {\mathfrak {o}}|=0$ или $|g\cap {\mathfrak {o}}|=1$ или $|g\cap {\mathfrak {o}}|=2$ соответственно.

Для конечных плоскостей следующая теорема дает более простое определение.

Теорема: (овал в конечной плоскости) Пусть ${\mathfrak {P}}$ проективная плоскость порядка $n$.Набор ${\mathfrak {o}}$ точек является овалом, если $|{\mathfrak {o}}|=n+1$ а если нет трех балловиз ${\mathfrak {o}}$ коллинеарны.

Согласно этой теореме Беньямино Сегре , для папповских проективных плоскостей нечетного порядка овалы представляют собой просто коники:

Теорема: Пусть будет ${\mathfrak {P}}$ Паппова нечетного проективная плоскость порядка .Любой овал в ${\mathfrak {P}}$ — овальная коника (невырожденная квадрика ).

Определение: (овоидный) Непустое множество точек ${\mathcal {O}}$ проективного пространства называется овоидным, если выполняются следующие свойства:

(O1) Любая линия встречается ${\mathcal {O}}$ не более чем в двух точках.

( $g$ называется внешней, касательной и секущей , если $|g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ |g\cap {\mathcal {O}}|=1$ и $|g\cap {\mathcal {O}}|=2$ соответственно.)

(O2) Для любой точки $P\in {\mathcal {O}}$ союз ${\mathcal {O}}_{P}$ всех касательных, проходящих через $P$ является гиперплоскостью (касательной плоскостью в точке $P$).

Пример:

а) Любая сфера (квадрика индекса 1) является овалом.

б) В случае вещественных проективных пространств можно построить овоиды, комбинируя половины подходящих эллипсоидов так, чтобы они не были квадриками.

Для конечных проективных пространств размерности $n$ над полем $K$ у нас есть:
Теорема:

а) В случае $|K|<\infty$ яйцевидная форма в ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$ существует только если $n=2$ или $n=3$.

б) В случае $|K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2$ яйцевидная форма в ${\mathfrak {P}}_{n}(K)$ является квадрикой.

Контрпримеры (овал Титса–Сузуки) показывают, что утверждение б) приведенной выше теоремы неверно для $\operatorname {char} K=2$:

Ссылки

• Альбрехт Бойтельспахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ к приложениям , Глава 4: Квадратичные множества, страницы 137–179, Cambridge University Press ISBN   978-0521482776
• Ф. Букенхаут (редактор) (1995) Справочник по геометрии падения , Elsevier ISBN   0-444-88355-X
• П. Дембовский (1968) Конечные геометрии , Springer-Verlag ISBN   3-540-61786-8 , с. 48

Внешние ссылки

• Эрика Хартмана Конспект лекции «Геометрия плоского круга: введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского» , Технический университет Дармштадта.