Обобщенный круг

В геометрии , обобщенный круг иногда называемый клином или окружностью , ^[1] представляет собой прямую линию или окружность , кривые постоянной кривизны в евклидовой плоскости .

Естественным окружением для обобщенных кругов является расширенная плоскость, плоскость с одной бесконечной точкой, через которую считается, что проходит каждая прямая линия. Для любых трех различных точек на расширенной плоскости существует ровно одна обобщенная окружность, проходящая через все три.

Обобщенные круги иногда появляются в евклидовой геометрии , в которой есть четко определенное понятие расстояния между точками и где каждый круг имеет центр и радиус: точку на бесконечности можно считать бесконечно удаленной от любой другой точки, а линию можно считать как вырожденный круг без четко определенного центра и с бесконечным радиусом (нулевой кривизной ). Отражение ; через линию — это евклидова изометрия (преобразование, сохраняющее расстояние), которая отображает линии в линии, а круги в круги но инверсия в круге - нет, искажая расстояния и отображая любую линию в круг, проходящий через центр опорного круга, и наоборот.

Однако обобщенные круги имеют основополагающее значение для инверсной геометрии , в которой круги и линии считаются неотличимыми, точка на бесконечности не отличается от любой другой точки, а понятия кривизны и расстояния между точками игнорируются. В инверсной геометрии отражения, инверсии и, в более общем плане, их композиции , называемые преобразованиями Мёбиуса , отображают обобщенные круги в обобщенные круги и сохраняют инверсивные отношения между объектами.

Продолжённую плоскость можно отождествить со сферой с помощью стереографической проекции . Тогда точка, находящаяся на бесконечности, становится обычной точкой на сфере, а все обобщенные окружности становятся окружностями на сфере.

Расширенная сложная плоскость

Расширенную евклидову плоскость можно отождествить с расширенной комплексной плоскостью , так что уравнения комплексных чисел можно использовать для описания линий, окружностей и инверсий.

Двумерное линейное уравнение

Круг $\Gamma$ это набор точек $z$ в плоскости, лежащей на радиусе $r$ из центральной точки $\gamma .$

\Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}

В сложной плоскости $\gamma$ является комплексным числом и $\Gamma$ представляет собой набор комплексных чисел. Используя то свойство, что комплексное число, умноженное на сопряженное, представляет собой квадрат его модуля (его евклидово расстояние от начала координат), неявное уравнение для $\Gamma$ является:

{\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}

Это однородное двумерное линейное полиномиальное уравнение относительно комплексной переменной $z$ и его сопряженное ${\bar {z}},$ формы

Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,

где коэффициенты $A$ и $D$ реальны и , $B$ и $C$ являются комплексно-сопряженными .

Разделив на $A$ а затем, выполняя действия, описанные выше, в обратном порядке, радиус $r$ и центр $\gamma$ можно восстановить из любого уравнения такого вида. Уравнение представляет собой обобщенный круг на плоскости, когда $r$ является реальным, что происходит, когда $AD<BC$ так что квадрат радиуса $r^{2}=(BC-AD)/A^{2}$ является положительным. Когда $A$ равно нулю, уравнение определяет прямую линию.

Сложный обратный

Что взаимное преобразование $z\mapsto w=1/z$ отображает обобщенные круги в обобщенные круги, это несложно проверить:

{\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}

Линии, проходящие через начало координат ( $A=D=0$ ) сопоставить линии, проходящие через начало координат; линии не через начало координат ( $A=0,D\neq 0$ ) сопоставьте круги, проходящие через начало координат; окружности через начало координат ( $A\neq 0,D=0$ ) сопоставить линии, не проходящие через начало координат; и окружности не через начало координат ( $A\neq 0,D\neq 0$ ) сопоставить круги не через начало координат.

Комплексное матричное представление

Определяющее уравнение обобщенной окружности

0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D

можно записать в виде матричного уравнения

0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.

Символически,

0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},

с коэффициентами, помещенными в обратимую эрмитову матрицу ${\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }$ представляющий круг, и $\mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}$ вектор, представляющий расширенное комплексное число.

Две такие матрицы задают один и тот же обобщенный круг тогда и только тогда, когда одна из них скалярно кратна другой.

Чтобы преобразовать обобщенный круг, представленный ${\mathfrak {C}}$ преобразованием Мёбиуса ${\mathfrak {H}},$ применить обратное преобразование Мёбиуса ${\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}$ к вектору $\mathbf {z}$ в неявном уравнении,