Изотропная квадратичная форма
В математике квадратичная форма над полем F называется изотропной, если существует ненулевой вектор, на котором форма равна нулю. В противном случае это определенная квадратичная форма . Более явно, если q является квадратичной формой в векторном пространстве V над F , то ненулевой вектор v в V называется изотропным, если q ( v ) = 0 . Квадратичная форма изотропна тогда и только тогда, когда существует ненулевой изотропный вектор (или нулевой вектор ) для этой квадратичной формы.
Предположим, что V , q ) — квадратичное пространство , а W — подпространство в V. ( Тогда W называется изотропным подпространством V , если некоторый вектор в нем изотропен, вполне изотропным подпространством , если все векторы в нем изотропны, и определенным подпространством, если оно не содержит никаких (отличных от нуля) изотропных векторов. индекс изотропии квадратичного пространства — это максимум размерностей вполне изотропных подпространств. [1]
В более общем смысле, если квадратичная форма невырождена и имеет сигнатуру ( a , b ) , то ее индекс изотропии равен минимуму a и b . Важный пример изотропной формы над действительными числами встречается в псевдоевклидовом пространстве .
Гиперболическая плоскость
[ редактировать ]Пусть F — поле характеристики, отличной от 2, и V = F 2 . рассмотрим общий элемент ( x , y ) V = , то квадратичные формы q = xy и r Если мы x 2 − и 2 эквивалентны, поскольку существует преобразование V линейное , которое делает q похожим на r , и наоборот. Очевидно, ( V , q ) и ( V , r ) изотропны. Этот пример называется гиперболической плоскостью в теории квадратичных форм . Обычный экземпляр имеет F = действительные числа , и в этом случае { x ∈ V : q ( x ) = ненулевая константа} и { x ∈ V : r ( x ) = ненулевая константа} являются гиперболами . В частности, { x ∈ V : r ( x ) = 1} — единичная гипербола . Обозначение ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ использовалось Милнором и Хуземоллером. [1] : 9 знаки членов двумерного многочлена r для гиперболической плоскости показаны .
Аффинная гиперболическая плоскость была описана Эмилем Артином как квадратичное пространство с базисом { M , N }, удовлетворяющим M 2 = Н 2 = 0, NM = 1 , где произведения представляют квадратичную форму. [2]
Через поляризационное тождество квадратичная форма связана с симметричной билинейной формой B ( u , v ) = 1 / 4 ( q ( ты + v ) - q ( ты - v )) .
Два вектора u и v ортогональны , когда B ( u , v ) = 0 . В случае гиперболической плоскости такие u и v ортогональны гиперболически- .
Разделить квадратичное пространство
[ редактировать ]Пространство с квадратичной формой является расщепленным (или метаболическим ), если существует подпространство, равное его собственному ортогональному дополнению ; эквивалентно, индекс изотропии равен половине размерности. [1] : 57 Гиперболическая плоскость является примером, и в поле характеристики, не равной 2, каждое расщепленное пространство является прямой суммой гиперболических плоскостей. [1] : 12, 3
Связь с классификацией квадратичных форм
[ редактировать ]С точки зрения классификации квадратичных форм, пространства с определенными квадратичными формами являются основными строительными блоками квадратичных пространств произвольных размерностей. Для общего поля F классификация определенных квадратичных форм представляет собой нетривиальную задачу. Напротив, с изотропными формами обычно гораздо легче обращаться. По теореме о разложении Витта каждое пространство внутреннего произведения над полем представляет собой ортогональную прямую сумму разделенного пространства и пространства с определенной квадратичной формой. [1] : 56
Теория поля
[ редактировать ]- Если F — алгебраически замкнутое поле, например, поле комплексных чисел , а ( V , q ) — квадратное пространство размерности не менее двух, то оно изотропно.
- Если F — конечное поле и ( V , q ) — квадратичное пространство размерности не менее трёх, то оно изотропно (это следствие теоремы Шевалле–Ворнинга ).
- Если F — поле Q p - адических p чисел и ( V , q ) — квадратное пространство размерности не менее пяти, то оно изотропно.
См. также
[ редактировать ]- Изотропная линия
- Полярное пространство
- Группа Витта
- Кольцо Витта (формы)
- Универсальная квадратичная форма
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-Х . Збл 0292.10016 .
- ^ Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , страница 119 через Интернет-архив
- Пит Л. Кларк, Квадратичные формы, глава I: теория Уиттса , Университет Майами в Корал-Гейблс, Флорида .
- Цит Юэн Лам (1973) Алгебраическая теория квадратичных форм , §1.3 Гиперболическая плоскость и гиперболические пространства, В. А. Беньямин .
- Цит Юэнь Лам (2005) Введение в квадратичные формы над полями , Американское математическое общество ISBN 0-8218-1095-2 .
- О'Мира, ОТ (1963). Введение в квадратичные формы . Спрингер-Верлаг . п. 94 §42D Изотропия. ISBN 3-540-66564-1 .
- Серр, Жан-Пьер (2000) [1973]. Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике : Классика математики. Том. 7 (перепечатка 3-го изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90040-3 . Збл 1034.11003 .