Полярное пространство

В математике , в области геометрии , полярное пространство ранга n ( n ≥ 3 ) или проективного индекса n − 1 состоит из множества P , условно называемого набором точек, вместе с определенными подмножествами P , называемыми подпространствами. , которые удовлетворяют этим аксиомам:

Каждое подпространство изоморфно проективному пространству P ^д( K ) с −1 ≤ d ≤ ( n − 1) и K тело - . (То есть это дезаргова проективная геометрия.) Для каждого подпространства соответствующее d называется его размерностью.
Пересечение двух подпространств всегда является подпространством.
Для каждого подпространства A размерности n - 1 и каждой точки p, не принадлежащей A , существует единственное подпространство B размерности n - 1, содержащее p и такое, что A ∩ B является ( n - 2) -мерным. Точки из A ∩ B — это в точности точки из A , находящиеся в общем подпространстве размерности 1 с p .
Существует как минимум два непересекающихся подпространства размерности n − 1 .

Можно определить и изучить немного больший класс объектов, используя только отношения между точками и линиями: полярное пространство — это частичное линейное пространство ( P , L ), так что для каждой точки p ∈ P икаждая линия l ∈ L , множество точек l , коллинеарных p , является либо единичным элементом, либо целым l .

Конечные полярные пространства (где P — конечное множество) также изучаются как комбинаторные объекты .

Обобщенные четырехугольники [ править ]

Обобщенный четырехугольник с тремя точками на линии; полярное пространство ранга 2

Полярное пространство ранга два представляет собой обобщенный четырехугольник ; при этом в последнем определении множество точек прямой $l$ коллинеарно точке p — это все $l$ только если p ∈ $l$ . Первое определение восстанавливается из второго в предположении, что прямые имеют более двух точек, точки лежат более чем на двух прямых и существует линия $l$ и точка p не включена $l$ так что p коллинеарно всем точкам $l$ .

полярные классические Конечные пространства

Позволять $PG(n,q)$ быть проективным пространством измерения $n$ над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ и пусть $f$ быть рефлексивной полуторалинейной формой или квадратичной формой в базовом векторном пространстве. Элементы конечного классического полярного пространства, связанные с этой формой, являются элементами вполне изотропных подпространств (когда $f$ — полуторалинейная форма) или вполне сингулярные подпространства (когда $f$ является квадратичной формой) $PG(n,q)$ относительно $f$ . Индекс Витта формы равен наибольшей размерности векторного пространства подпространства, содержащегося в полярном пространстве, и называется рангом полярного пространства. Эти конечные классические полярные пространства можно резюмировать следующей таблицей, где $n$ - это размерность основного проективного пространства и $r$ – ранг полярного пространства. Количество очков в $PG(k,q)$ обозначается $\theta _{k}(q)$ и оно равно $q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1$ . Когда $r$ равно $2$ , получим обобщенный четырехугольник.

Форма	$n+1$	Имя	Обозначения	Количество очков	Группа коллинеации
Чередование	$2r$	симплектический	$W(2r-1,q)$	$(q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma Sp} (2r,q)$
эрмитовский	$2r$	эрмитовский	$H(2r-1,q)$	$(q^{r-1/2}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma U(2r,q)}$
эрмитовский	$2r+1$	эрмитовский	$H(2r,q)$	$(q^{r+1/2}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma U(2r+1,q)}$
квадратичный	$2r$	гиперболический	$Q^{+}(2r-1,q)$	$(q^{r-1}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O^{+}} (2r,q)$
квадратичный	$2r+1$	Параболический	$Q(2r,q)$	$(q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O} (2r+1,q)$
квадратичный	$2r+2$	Эллиптический	$Q^{-}(2r+1,q)$	$(q^{r+1}+1)\theta _{r-1}(q)$	$\mathrm {P\Gamma O^{-}} (2r+2,q)$

Классификация [ править ]

Жак Тит доказал, что конечное полярное пространство ранга не ниже трех всегда изоморфно одному из трех типов классических полярных пространств, данных выше. Это оставляет открытой лишь проблему классификации конечных обобщенных четырехугольников.

Ссылки [ править ]

Болл, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения , Тексты студентов Лондонского математического общества, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438 .

Букенхаут, Фрэнсис (2000), Предыстория и история полярных пространств и обобщенных многоугольников (PDF)
Букенхаут, Фрэнсис; Коэн, Арье М. (2013), Геометрия диаграмм (относящаяся к классическим группам и зданиям) , Серия современных исследований по математике, часть 3, том. 57, Гейдельберг: Шпрингер, MR 3014979
Кэмерон, Питер Дж. (2015), Проективные и полярные пространства (PDF) , QMW Maths Notes, vol. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR 1153019