Обобщенный четырехугольник

В геометрии — обобщенный четырехугольник это структура инцидентности , основной особенностью которой является отсутствие каких-либо треугольников (но содержащая много четырехугольников). Обобщенный четырехугольник по определению является полярным пространством второго ранга. Это обобщенные n-угольники с n = 4 и около 2n-угольников с n = 2. Они также являются в точности частичными геометриями pg( s , t ,α) с α = 1.

Определение [ править ]

Обобщенный четырехугольник — это структура инцидентности ( P , B ,I), где I ⊆ P × B — отношение инцидентности , удовлетворяющее определенным аксиомам . Элементами P по определению являются точки обобщенного четырехугольника, элементами B прямые — . Аксиомы следующие:

Существует s ( s ≥ 1) такой, что на каждой прямой находится ровно s + 1 точка. На двух различных прямых может быть не более одной точки.
Существует t ( t ≥ 1) такое, что через каждую точку проходит ровно t + 1 прямая. Через две различные точки проходит не более одной линии.
Для каждой точки p, не лежащей на прямой L , существует уникальная линия M и единственная точка q , такие, что находится на M , а q на M и L. p

( s , t ) — параметры обобщенного четырехугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если s или t равны единице, обобщенный четырехугольник называется тривиальным . Например, сетка 3х3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} представляет собой тривиальный GQ с s = 2 и t = 1. Обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ) часто обозначается GQ( s , t ).

Наименьший нетривиальный обобщенный четырехугольник — это GQ(2,2) , представление которого Стэн Пейн в 1973 году назвал «салфеткой».

Свойства [ править ]

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
$(s+t)|st(s+1)(t+1)$
$s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}$
$t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}$

Графики [ править ]

Линейный график обобщенного **четырехугольника** GQ(2,4)

Из обобщенного четырехугольника можно получить два интересных графа.

Граф коллинеарности , вершинами которого являются точки обобщенного четырехугольника, причем коллинеарные точки соединены. Этот граф представляет собой сильно регулярный граф с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), где (s,t) — порядок GQ.
Граф инцидентности, вершинами которого являются точки и прямые обобщенного четырехугольника, причем две вершины смежны, если одна — точка, другая — прямая и точка лежит на этой прямой. Граф инцидентности обобщенного четырехугольника характеризуется тем, что представляет собой двудольный связный граф с диаметром четыре и обхватом восемь. Следовательно, это пример Cage . Графы инцидентности конфигураций сегодня обычно называются графами Леви , но первоначальный граф Леви был графом инцидентности GQ(2,2).

Двойственность [ править ]

Если ( P , B ,I) — обобщенный четырехугольник с параметрами ( s , t ), то ( B , P ,I ⁻¹), с я ⁻¹ обратное отношение инцидентности также является обобщенным четырехугольником. Это двойственный обобщенный четырехугольник . Его параметры: ( t , s ). Даже если s = t , двойственная структура не обязательно должна быть изоморфна исходной структуре.

Обобщенные четырехугольники с линиями размера 3 [ править ]

Существует ровно пять (возможно вырожденных) обобщенных четырехугольников, в которых каждая прямая имеет три инцидентные с ней точки, четырехугольник с пустым множеством прямых, четырехугольник со всеми прямыми, проходящими через фиксированную точку, соответствующую графу ветряной мельницы Wd(3,n) , сетку из размер 3x3, четырехугольник GQ(2,2) и единственный GQ(2,4). четырехугольников соответствуют пяти корневым системам в классах An _{системам} , Dn _. , E6 _Эти , E7 _{ADE -} и E8 _пять , т.е. просто переплетенным корневым ^[1]^[2]

Классические обобщенные четырехугольники [ править ]

Если рассмотреть различные случаи полярных пространств ранга не ниже трех и экстраполировать их до ранга 2, можно обнаружить эти (конечные) обобщенные четырехугольники:

Гиперболическая квадрика $Q^{+}(3,q)$ , параболическая квадрика $Q(4,q)$ и эллиптическая квадрика $Q^{-}(5,q)$ являются единственно возможными квадриками в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Находим эти параметры соответственно:

Q(3,q):\ s=q,t=1

(это просто сетка)

Q(4,q):\ s=q,t=q

Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}

Эрмитианский сорт $H(n,q^{2})$ имеет проективный индекс 1 тогда и только тогда, когда n равно 3 или 4. Мы находим:

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}

Симплектическая полярность в $PG(2d+1,q)$ имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда $d=1$ . Здесь мы находим обобщенный четырехугольник $W(3,q)$ , с $s=q,t=q$ .

Обобщенный четырехугольник, полученный из $Q(4,q)$ всегда изоморфен двойственному $W(3,q)$ , и они оба самодуальны и, следовательно, изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда $q$ четный.

Неклассические примеры [ править ]

Пусть O гиперовал — в $PG(2,q)$ где q — четная простая степень , и вложим эту проективную (десаргову) плоскость $\pi$ в $PG(3,q)$ . Теперь рассмотрим структуру заболеваемости $T_{2}^{*}(O)$ где точки - это все точки, не входящие в $\pi$ , линии - это те, которых нет $\pi$ , пересекающийся $\pi$ в точке O и инцидентность естественная. Это (q-1,q+1) -обобщенный четырехугольник.
Пусть q — степень простого числа (нечетного или четного) и рассмотрим симплектическую полярность $\theta$ в $PG(3,q)$ . Выберем произвольную точку p и определим $\pi =p^{\theta }$ . Пусть все линии нашей структуры инцидентности будут абсолютными линиями, не лежащими на $\pi$ вместе со всеми строками через p, которых нет на $\pi$ , и пусть точками будут все точки $PG(3,q)$ кроме тех, кто в $\pi$ . Заболеваемость снова является естественной. Получаем еще раз (q-1,q+1) -обобщенный четырехугольник

Ограничения на параметры [ править ]

Используя сетки и двойные сетки, любое целое число z , z ≥ 1 позволяет создавать обобщенные четырехугольники с параметрами (1, z ) и ( z ,1). Помимо этого, до сих пор были признаны возможными только следующие параметры, где q — произвольная степень простого числа :

(q,q)

(q,q^{2})

и

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

и

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

и

(q+1,q-1)

Ссылки [ править ]

^ Кэмерон П.Дж.; Гетальс, Дж. М.; Зейдель, Джей Джей; Шульт, Э.Э. Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия.
^ Брауэр, Андриес Э. «Обобщенные четырехугольники» (PDF) . Технический университет Эйндховена . Проверено 30 марта 2024 г.

С.Э. Пейн и Дж.А. Тас . Конечные обобщенные четырехугольники. Исследовательские заметки по математике, 110. Питман (Программа расширенных публикаций), Бостон, Массачусетс, 1984. vi+312 стр. ISBN 0-273-08655-3 , ссылка http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ.pdf.

[1] Кэмерон П.Дж.; Гетальс, Дж. М.; Зейдель, Джей Джей; Шульт, Э.Э. Линейные графики, корневые системы и эллиптическая геометрия.

[2] Брауэр, Андриес Э. «Обобщенные четырехугольники» (PDF) . Технический университет Эйндховена . Проверено 30 марта 2024 г.

[1]

[2]